一一、由状态转移矩阵反求传函8 分#
思路
- 由给定状态转移矩阵反求系统矩阵，再用状态空间求传递函数
状态转移矩阵
状态空间分析
本卷考法
- 由状态转移矩阵经拉氏变换反求系统矩阵
本卷实例
- 关键一步：状态转移矩阵的拉氏变换即系统矩阵的预解矩阵
- 关键一步：把预解矩阵的四个元素与转移矩阵各元素的变换结果逐一对照，解出系统矩阵
- 中间结果：预解矩阵各元素的公共分母即特征多项式，可由转移矩阵的分母直接读出
- 卡点：直接把状态转移矩阵当代入传函公式，忽略它与预解矩阵的拉氏关系
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过由状态转移矩阵经拉氏变换反求系统矩阵
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
公式
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 由状态空间表达式求传递函数
本卷实例
- 关键一步：传递函数等于输出矩阵乘预解矩阵再乘输入矩阵
- 关键一步：把已求出的系统矩阵与给定的输入、输出矩阵代入计算
- 中间结果：分子与分母出现公因式相消后，传函只剩一个一阶极点
- 卡点：相消后不约简就按二阶报传函，导致系统阶数判断错误
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过由状态空间表达式求传递函数
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式