一一、选择题（稳定性·正弦稳态·根轨迹·采样定理·劳斯判据）#
思路
- 5 道选择题分考稳定性判别、正弦输入下的稳态输出、根轨迹点归属、采样定理与劳斯判据判稳
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 由特征方程、闭环极点或响应发散判断系统稳定性
- 用劳斯判据数右半平面闭环极点数
本卷实例
- 关键一步：响应含 e^t 增长项或闭环极点在右半平面即不稳定
- 关键一步：劳斯表首列变号次数等于右半平面根数
- 中间结果：s²+5s+5 的两根实部均为负，系统稳定
- 中间结果：斜坡响应趋于定值说明系统稳定
- 卡点：斜坡响应含正弦衰减项，勿只看 2t 项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过由特征方程、闭环极点或响应发散判断系统稳定性
- 本卷考过用劳斯判据数右半平面闭环极点数
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
零极点分布与响应模态
传递函数
本卷考法
- 由闭环极点实部符号判断响应是否衰减
本卷实例
- 关键一步：先解特征方程定出各闭环极点
- 中间结果：极点在左半平面则对应模态衰减
- 卡点：含零极点对消时以实际闭环极点为准
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
- 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
- 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
- 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量
步骤
- 求特征方程得到全部闭环极点
- 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
- 找出主导极点对，近似为低阶系统
- 结合零点判断各模态权重大小
通用考法
- 本卷考过由闭环极点实部符号判断响应是否衰减
- 由极点分布写出响应的大致形式
- 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
- 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统
常见易错
- 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零
公式
频率特性的物理意义与求法
频域分析
本卷考法
- 由 G(s)=1/(s+1) 求正弦输入下的稳态输出
本卷实例
- 关键一步：把 s=jω 代入得幅频与相频
- 中间结果：稳态输出幅值为幅频、相角为相频叠加输入相角
- 卡点：输入 sin(t+π/2) 的初相要计入
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过由 G(s)=1/(s+1) 求正弦输入下的稳态输出
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
根轨迹的基本概念与幅相条件
根轨迹法
本卷考法
- 由根轨迹相角与幅值条件判断给定点是否为闭环极点
本卷实例
- 关键一步：把给定点代入特征方程求对应 k
- 中间结果：k=1 时解出对应闭环极点
- 卡点：要同时满足相角条件与幅值条件
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
- 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
- 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
- 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数
步骤
- 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
- 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
- 用相角条件判断某点是否在根轨迹上
通用考法
- 本卷考过由根轨迹相角与幅值条件判断给定点是否为闭环极点
- 判断给定点是否在根轨迹上
- 由幅值条件求该点对应的 K
- 说明相角条件与幅值条件各自的作用
常见易错
- 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
- 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途
公式
采样过程与香农采样定理
离散控制系统
本卷考法
- 由信号最高频率确定采样周期上限
本卷实例
- 关键一步：按香农定理写出采样角频率不小于两倍最高频率
- 中间结果：采样周期与最高频率成反比
- 卡点：勿把 2π/ωmax 与 π/ωmax 混淆
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
- 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
- 采样频率不足会产生频率混叠
- 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟
步骤
- 确定信号最高频率或系统带宽
- 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
- 必要时加入前置滤波器抑制混叠
通用考法
- 本卷考过由信号最高频率确定采样周期上限
- 由信号最高频率确定采样周期
- 判断给定采样频率是否满足采样定理
- 说明零阶保持器的频率特性
常见易错
- 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
- 忽略零阶保持器带来的相位滞后
公式