浙江大学 845 自动控制理论（含现控） 2021 年真题思维导图

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难度：难　9 题把经典与现代控制串起来：李雅普诺夫、结构图误差、由响应反求参数、劳斯与主导极点、根轨迹、相角裕度极值、纯延迟稳定、采样离散化、状态反馈与稳态误差改善；多数题要先建模或先判稳再作答

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1一、李雅普诺夫平衡点稳定性#

思路

• 对给定二阶状态方程，用李雅普诺夫方程或直接求特征值判断平衡点稳定性

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 判断给定线性状态方程在平衡点处的稳定性

本卷实例

• 关键一步：线性定常系统平衡点稳定与否，由系统矩阵特征值的实部符号决定
• 关键一步：也可先设正定矩阵解李雅普诺夫方程，再由解的正定性反推稳定性
• 中间结果：二阶矩阵的特征多项式为二次式，判别式大于零时得到两个同号实根
• 卡点：把要判断的平衡点误当作原点以外的点，本题平衡点就在原点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过判断给定线性状态方程在平衡点处的稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

2二、结构图闭环传函与稳态误差#

思路

• 由多回路结构图求闭环传递函数，先判稳再求给定阶跃输入下的稳态误差

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 化简含局部反馈的多回路结构图求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：按内环到外环的顺序逐层化简，先合并被局部反馈包围的环节
• 关键一步：从误差定义点出发写出输入到误差的传递关系
• 中间结果：整理后的特征多项式为高次多项式，可交给劳斯表判稳
• 卡点：内环还没化简就直接写总传递函数，容易漏掉回路项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过化简含局部反馈的多回路结构图求闭环传递函数
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求给定输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：用终值定理前先检查闭环是否稳定，这是使用前提
• 关键一步：闭环不稳定时系统没有有限稳态误差，终值定理不适用
• 中间结果：参考输入幅度不为一，误差表达式里要保留这个幅度系数
• 卡点：未判稳就套终值定理，会算出一个看似有限的错误结果

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求给定输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯表判断闭环系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征多项式按幂次排好，从最高次开始列劳斯表
• 关键一步：首列元素全部大于零才稳定，首列出现变号即不稳定
• 中间结果：本题首列含负元素，出现两次符号变化，对应两个右半平面极点
• 卡点：首列出现零时要用小正数替换再继续，不能直接下结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯表判断闭环系统稳定性
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

3三、由响应特征反求传函参数#

思路

• 依次用阶跃稳态值、斜坡有限误差、脉冲等幅振荡三个条件列方程，反求开环传函的增益与两个极点参数

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由多种响应特征反求传递函数中的待定参数

本卷实例

• 关键一步：阶跃输入下的稳态值等于闭环直流增益乘以输入幅度，给出一个关系式
• 关键一步：再由脉冲输入下的等幅振荡关系建立第二个方程
• 中间结果：开环分母含参数的因子按型别要求变为带原点极点的形式
• 卡点：把稳态值直接当成开环增益，忽略输入幅度与闭环直流的区别

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由多种响应特征反求传递函数中的待定参数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由稳态误差有限判断系统型别并确定参数

本卷实例

• 关键一步：对照输入类型与型别对应表，斜坡下误差有限说明系统恰为 I 型
• 关键一步：型别由开环积分环节个数决定，据此定出两个参数中必有一个为零
• 中间结果：参数之一取零后，开环传函化为标准的 I 型结构
• 卡点：把型别与开环增益混为一谈，误以为误差有限与增益无关

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由稳态误差有限判断系统型别并确定参数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由等幅振荡条件求增益与临界参数

本卷实例

• 关键一步：输出为等幅正弦说明闭环特征方程含一对纯虚根
• 关键一步：把纯虚根代入特征多项式，令实部与虚部分别为零得到两个方程
• 中间结果：振荡周期换算成角频率后，与那对纯虚根对应的频率相等
• 卡点：把周期直接当成角频率代入，漏掉二倍圆周率的换算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由等幅振荡条件求增益与临界参数
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

4四、三阶系统稳定条件与主导极点#

思路

• 先用劳斯判据求三个增益乘积的稳定范围，再用主导极点近似按调节时间指标定增益并检验

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求使闭环系统稳定的一组参数范围

本卷实例

• 关键一步：三个增益只以乘积形式出现，可先合并成一个待求量再列劳斯表
• 关键一步：令劳斯表首列各元素同号，得到关于该乘积的不等式组
• 中间结果：上界由一个一次不等式给出，下界由增益取正的条件给出
• 卡点：只取一条首列不等式，漏掉另一条会把稳定域判宽

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求使闭环系统稳定的一组参数范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• 用主导极点近似把三阶系统降为二阶并确定参数

本卷实例

• 关键一步：三阶系统有一对共轭主导极点和一个远离虚轴的实极点，可忽略后者
• 关键一步：由调节时间反推主导极点的实部与阻尼，写出期望特征多项式
• 中间结果：把期望特征多项式与含待求增益的特征多项式逐项比对可定出增益
• 卡点：实极点距虚轴不够远时仍作降阶，近似结论偏差较大

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过用主导极点近似把三阶系统降为二阶并确定参数
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

5五、根轨迹绘制与阻尼比反求参数#

思路

• 先按法则画根轨迹，再由阻尼比范围求增益区间，最后由指定闭环极点反求增益与稳态值

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画出给定开环传函的根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先定开环极点零点个数与实轴上的根轨迹段
• 关键一步：再求分离点、渐近线与虚轴交点，据此勾勒草图
• 中间结果：本题开环含一个位于右半平面的极点，实轴段方向按零极点个数判定
• 卡点：实轴段判据中的零极点个数数错，导致实轴段方向画反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画出给定开环传函的根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 求满足给定阻尼比范围的增益取值

本卷实例

• 关键一步：欠阻尼对应闭环一对共轭复根，位于左半平面且不在实轴上
• 关键一步：把特征方程化为标准二阶形式，令阻尼比落在给定开区间内
• 中间结果：由稳定条件给出增益下界，由复根条件给出上界
• 卡点：只由稳定条件给出下界就收尾，漏掉复根条件给出的上界

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过求满足给定阻尼比范围的增益取值
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由给定闭环极点确定增益后求稳态值

本卷实例

• 关键一步：把指定复极点代入闭环特征方程，实部虚部分别为零求出增益
• 关键一步：稳态值要分别求参考通道与扰动通道的闭环传函再按叠加处理
• 中间结果：参考与扰动两路输入幅度相同而符号相反，两路输出要叠加
• 卡点：只算参考输入一项，漏掉扰动通道对稳态值的贡献

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由给定闭环极点确定增益后求稳态值
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

6六、相角裕度最大值#

思路

• 写出含参数开环传函的相角表达式，对截止频率求极值得到最大相角裕度

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求增益变化下相角裕度的最大值

本卷实例

• 关键一步：相角裕度等于一百八十度加上截止频率处的相角，先写相角表达式
• 关键一步：相角对频率求导并令导数为零，得到相角取极值的频率
• 中间结果：极值频率由两个转折频率的几何平均值给出
• 卡点：把相角裕度写成截止频率处的相角本身，漏掉一百八十度基准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求增益变化下相角裕度的最大值
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 求含两个一阶环节的开环频率特性

本卷实例

• 关键一步：把各环节写成频率特性相乘，幅值相乘、相角相加
• 关键一步：含两个积分环节时相角固定贡献负一百八十度
• 中间结果：相角表达式为两个反正切之差，可直接用于求极值
• 卡点：求幅值时把分母复数的模漏开方，或相角漏掉积分环节的负九十度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过求含两个一阶环节的开环频率特性
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

7七、含纯延迟系统的稳定范围#

思路

• 对含延迟环节的开环频率特性，用相角裕度大于零求使闭环稳定的延迟上界

含纯延迟环节的系统稳定性 稳定性分析

本卷考法

• 求使含纯延迟闭环系统稳定的延迟时间范围

本卷实例

• 关键一步：延迟环节只改变相角不改变幅值，先由幅值条件定出截止频率
• 关键一步：在截止频率处令相角裕度大于零，反解延迟时间的上界
• 中间结果：截止频率由幅值等于一的方程解出，本题为一弧度每秒
• 中间结果：延迟项按弧度与角度换算后与其他环节相角相加
• 卡点：把延迟环节当成惯性环节，漏掉其随频率线性增长的相位滞后

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 延迟环节 e^{-τs} 的幅值为 1、相位为 -τω，只恶化相位
• 延迟会显著缩小稳定域，τ 越大越难稳定
• 频域判据需用相位裕度扣除延迟引起的附加滞后

步骤

• 写出含延迟的开环传递函数
• 分别求幅值与相位表达式
• 在相频特性中扣除 τω 的滞后量
• 按稳定裕度或奈氏判据求临界 τ 或临界 K

通用考法

• 本卷考过求使含纯延迟闭环系统稳定的延迟时间范围
• 求使系统稳定的最大延迟时间
• 求含延迟系统的临界开环增益
• 分析延迟对稳定裕度的影响

常见易错

• 把延迟环节当成惯性环节处理
• 相位计算时忘记角度与弧度换算

公式

8八、采样系统圆内特征根个数#

思路

• 连续状态方程先离散化，再由 z 平面圆域映射回 s 平面，用劳斯判据数右半平面根的个数

连续系统的离散化 离散控制系统

本卷考法

• 求连续系统按给定采样周期离散化后的状态矩阵

本卷实例

• 关键一步：离散状态矩阵等于连续状态矩阵的矩阵指数在采样周期处取值
• 关键一步：矩阵指数可由拉氏反变换求出，也可由系统矩阵的特征值写出
• 中间结果：采样周期为一秒，离散状态矩阵即矩阵指数的自然对数底数次幂
• 卡点：把采样周期直接乘进状态矩阵，误当成连续系统做缩放

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
• 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
• 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变

步骤

• 求连续系统的状态转移矩阵
• 把采样周期代入得到离散状态矩阵
• 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
• 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应

通用考法

• 本卷考过求连续系统按给定采样周期离散化后的状态矩阵
• 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
• 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
• 计算采样点上的状态与输出序列

常见易错

• 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
• 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散特征根落在给定圆域内的个数

本卷实例

• 关键一步：把圆半径取对数映射成 s 平面上的竖直线，问题转为数竖直线右侧的根
• 关键一步：对平移后的特征多项式列劳斯表，首列变号次数即为右侧根的个数
• 中间结果：平移量取半径的自然对数，本题半径为自然对数底的负一次幂，平移量即负一
• 卡点：直接对 z 域特征多项式用劳斯判据，未先作对数映射

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散特征根落在给定圆域内的个数
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

9九、结构图传函与状态反馈设计#

思路

• 由结构图求传函并建状态空间，设计状态反馈配置极点，再分析超调、调节时间与稳态误差改善

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森公式由信号流图求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：先把结构图改画成信号流图，标出各回路与两两不接触的回路
• 关键一步：按梅森公式写出特征式与各前向通路的余子式
• 中间结果：本题两个自回路互不接触，特征式里要加上它们的增益乘积项
• 卡点：余子式里没有剔除与通路接触的回路，导致分子多算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森公式由信号流图求闭环传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由结构图列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：每个积分器的输出取作一个状态变量，积分器输入即状态的导数
• 关键一步：按节点关系写出一阶微分方程组，再整理成矩阵形式
• 中间结果：三个积分器对应三阶状态方程，输出方程由输出节点表达式给出
• 卡点：状态变量个数与积分器个数不一致，导致矩阵阶数搭错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由结构图列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：先求能控性矩阵的秩，判断能否任意配置极点
• 关键一步：把期望极点展开成期望特征多项式，与含反馈增益的闭环特征多项式比对
• 中间结果：反馈增益有三个分量，比较三个系数即可联立解出
• 卡点：未验能控就直接配置，或特征多项式系数符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

减小稳态误差的措施 稳态误差

本卷考法

• 分析状态反馈下稳态误差并提出改进措施

本卷实例

• 关键一步：状态反馈只改变极点不改变零点，可由误差传函判断稳态误差是否为零
• 关键一步：要提高型别可在前向通道串联积分环节
• 中间结果：本题单位阶跃下误差传函在原点不为零，说明存在非零稳态误差
• 卡点：误以为任意极点配置都能顺便把稳态误差配置到零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 提高开环增益可减小有差系统的误差，但会削弱稳定性
• 增加积分环节可提高型别，代价是相位滞后与超调增大
• 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
• 采用扰动补偿可提高扰动不变性

步骤

• 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
• 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
• 校验补偿后系统仍然稳定
• 重新计算稳态误差确认达标

通用考法

• 本卷考过分析状态反馈下稳态误差并提出改进措施
• 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
• 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
• 说明为何单纯提高增益不可行

常见易错

• 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
• 把增加积分环节的影响单一化，忽略超调

公式