1一、由非零初值响应反求传递函数#
思路
- 输出含常数项与两个衰减分量，先按非零初值写出响应的一般形式定出各分量系数，再对输出取拉氏变换，按响应变换与输入变换之比还原传递函数。
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 由非零初始条件下的阶跃响应反求系统传递函数
本卷实例
- 关键一步：输出含常数项与形如多项式乘指数的分量，先按非零初值写出响应的一般形式
- 关键一步：用响应及其一阶导数在零时刻的取值联立定出各分量系数
- 中间结果：常数项由稳态分量确定，两个指数分量的系数由初始状态条件决定
- 卡点：题面初值条件文字有缺失，响应一般形式是否含多项式乘指数项需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过由非零初始条件下的阶跃响应反求系统传递函数
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
由响应曲线反求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由已知的阶跃响应表达式还原系统传递函数
本卷实例
- 关键一步：对输出作拉氏变换得到输出变换，再除以单位阶跃输入的拉氏变换
- 中间结果：输出变换与输入变换约去公共因子后，传递函数分母整理为二次多项式
- 卡点：非零初值会把与初始状态有关的项混入输出变换，不能直接当作零状态响应
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态值决定增益 K
- 超调量只由阻尼比 ξ 决定
- 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
- 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
- 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
- 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
- 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
- 写出标准形式并补上增益
通用考法
- 本卷考过由已知的阶跃响应表达式还原系统传递函数
- 由实验阶跃响应曲线求传递函数
- 由给出的性能指标反求参数
常见易错
- 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
- 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式