西安交通大学 871 自动控制理论（含现控） 2022 年真题思维导图

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难度：中等偏难　8道大题：方块图等幅振荡求参、方块图斜坡零误差求参、由阶跃与正弦响应求传函、根轨迹与超调量约束、由Bode图求传函与相角裕量、状态响应恒零条件、状态转移矩阵判能控能观、第二能控标准型与状态反馈；含图题三道，全卷一字分值未印

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1一、由方块图求等幅振荡参数#

思路

• 由方块图写闭环特征方程，等幅振荡对应特征根为纯虚根，用劳斯表某行首列为零和辅助方程求参数与振荡角频率

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 由等幅振荡条件用劳斯判据求系统参数与振荡频率

本卷实例

• 关键一步：由方块图写出闭环特征方程并列劳斯表
• 中间结果：首列某行为零时取上一行写辅助方程，其根即纯虚根
• 卡点：方块图以图给出，前向与反馈通路需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过由等幅振荡条件用劳斯判据求系统参数与振荡频率
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

2二、由方块图求斜坡零误差参数#

思路

• 由方块图求误差传递函数，按斜坡输入用终值定理写稳态误差表达式，令其为零解出待定参数

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 由方块图求斜坡输入下稳态误差为零的参数条件

本卷实例

• 关键一步：先用梅森公式写误差传函E(s)比R(s)
• 中间结果：斜坡稳态误差由误差传函分子中s的零次项决定
• 卡点：方块图以图给出，前馈支路接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过由方块图求斜坡输入下稳态误差为零的参数条件
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、由阶跃与正弦响应求传函#

思路

• 设二阶系统标准传函，由单位阶跃稳态输出定增益，由正弦输入的幅值放大与相移定阻尼比与自然频率，再算调节时间

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由正弦输入的稳态输出求系统频率特性参数

本卷实例

• 关键一步：把正弦输出写成输入幅值乘幅频、相角加相频
• 中间结果：输出幅值为输入的根号2倍、相角滞后90度
• 卡点：二阶无零点系统稳态输出等于直流增益乘输入幅值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由正弦输入的稳态输出求系统频率特性参数
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由频域条件反求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：令频率特性实部与虚部分别等于输出相量的实虚部
• 中间结果：解出自然频率与阻尼比两个参数
• 卡点：相角为负90度说明频率特性实部为零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由频域条件反求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比与自然频率算调节时间

本卷实例

• 关键一步：按5%误差带公式计算调节时间
• 中间结果：调节时间与阻尼比和自然频率的乘积成反比
• 卡点：串联比例环节不改变动态性能，不要重复计入

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由阻尼比与自然频率算调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

4四、根轨迹与超调量约束求增益#

思路

• 由开环传函画根轨迹，求分离点、出射角与与虚轴交点，据此得稳定增益范围；再由超调量要求定阻尼比下限，在根轨迹上求对应增益

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 画含右半平面开环极点的根轨迹（第(1)问）

本卷实例

• 关键一步：标出三个开环极点并判断实轴上根轨迹区间
• 中间结果：根轨迹关于实轴对称，有分离点与两条出射角
• 卡点：一个开环极点在右半平面，根轨迹起点不全稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过画含右半平面开环极点的根轨迹（第(1)问）
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹与虚轴交点求稳定增益范围（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表求辅助方程对应的临界增益与交点频率
• 中间结果：使首列变号的增益即稳定上界
• 卡点：还有另一个使根落在原点的临界值要一并判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由根轨迹与虚轴交点求稳定增益范围（第(2)问）
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由超调量要求确定增益范围（第(3)问）

本卷实例

• 关键一步：把超调量换算成阻尼比下限再定阻尼角
• 中间结果：阻尼角边界与根轨迹的交点对应所求增益
• 卡点：阻尼比大于下限时增益落在两个临界值之间

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由超调量要求确定增益范围（第(3)问）
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5五、由Bode图求传函与相角裕量#

思路

• 由低频段斜率与高度辨识积分环节与开环增益，由转折频率辨识一阶与二阶环节，再算截止频率与相角裕量并分析增益影响

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由开环对数幅频特性曲线反求传递函数（第(1)问）

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率定环节个数、由高度定开环增益
• 中间结果：转折频率处斜率的变化对应一阶或二阶环节
• 卡点：幅频曲线以图给出，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环对数幅频特性曲线反求传递函数（第(1)问）
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率处的相角裕量（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：令开环幅值等于1求截止频率再代相频
• 中间结果：相角裕度等于180度加截止频率处相角
• 卡点：二阶环节相角要按阻尼比代入而非直接取180度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率处的相角裕量（第(2)问）
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 分析开环增益对相角裕量的影响并求稳定增益边界（第(3)问）

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程列劳斯表求稳定增益边界
• 中间结果：相角裕度随增益增大先增后减
• 卡点：稳定增益最值来自劳斯判据的边界条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过分析开环增益对相角裕量的影响并求稳定增益边界（第(3)问）
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

6六、状态响应恒零条件#

思路

• 先求状态转移矩阵，按状态方程解写含初始状态与输入的系统输出，令各模态系数同时为零解出输入参数与初始状态

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 由状态转移矩阵与指数输入求输出恒零的条件

本卷实例

• 关键一步：用状态转移矩阵写零输入响应再叠加卷积项
• 中间结果：输出按不同衰减率展开为三个指数模态之和
• 卡点：第六题题干在逐年OCR中缺失，仅据同年答案段还原

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过由状态转移矩阵与指数输入求输出恒零的条件
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由状态转移矩阵反推系统矩阵并建立状态方程

本卷实例

• 关键一步：求状态转移矩阵的拉氏变换在零时刻的导数得系统矩阵
• 中间结果：系统矩阵为对角阵，输入向量各分量不为零
• 卡点：初始状态两个分量都是待定量，须与输入参数联立

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由状态转移矩阵反推系统矩阵并建立状态方程
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

7七、状态转移矩阵判能控能观#

思路

• 由状态转移矩阵在零时刻求导得系统矩阵，构造能控判别矩阵与能观判别矩阵，由秩判断能控性与能观性

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 由转移矩阵构造判别矩阵判断能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：对转移矩阵求导并取零时刻得系统矩阵A
• 中间结果：按B、AB、A平方B、A立方B构造能控阵并求秩
• 卡点：系统为四阶且输入两列，秩不满四即不完全能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过由转移矩阵构造判别矩阵判断能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

8八、第二能控标准型与状态反馈#

思路

• 由传函写第二能控标准型状态空间表达式并验证能控性，再让闭环特征多项式与期望极点多项式逐项相等解出反馈增益

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传函写第二能控标准型状态空间表达式（第(1)问）

本卷实例

• 关键一步：按传函分母系数排状态矩阵、按分子系数定输出矩阵
• 中间结果：得到标准型后验证能控判别阵满秩
• 卡点：第二能控标准型与第一能控标准型系数排列不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传函写第二能控标准型状态空间表达式（第(1)问）
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 按期望极点设计状态反馈增益（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：写闭环特征多项式并与期望极点多项式逐项比较
• 中间结果：三个增益由对应系数相等的三个方程解出
• 卡点：期望极点含共轭对，实部虚部都要对上

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过按期望极点设计状态反馈增益（第(2)问）
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式