华中科技大学 829 自动控制理论（含现控） 2021 年真题思维导图

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难度：中等偏难　11 题：信号流图、复合控制提高系统型别、直流电机参数测定、含正零点根轨迹、非最小相位奈氏判据、超前与滞后校正、离散脉冲传函、最少拍、饱和描述函数、相平面、状态反馈极点配置，覆盖自控与现控主干

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1一、信号流图求 C(s)/X(s)10 分#

思路

• 由信号流图用梅森增益公式求输出节点到中间节点 X 的传递函数

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由信号流图求中间节点 X(s) 到输出的传递函数

本卷实例

• 关键一步：先列 R 到 C 与 R 到 X 两个传函，再用其比值求 C/X
• 关键一步：X 不是源节点，单独对 X 用梅森公式会漏掉公共回路
• 关键一步：公共分母是同一特征式，两条通道差异只在分子
• 中间结果：分子保留两条前向通道及其余子式，分母为公共特征式
• 卡点：直接把 X 当源节点列前向通路，忽略中间变量关系

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由信号流图求中间节点 X(s) 到输出的传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

2二、复合控制把系统由 I 型提高为 III 型10 分#

思路

• 按前馈通道改写闭环传函，再由等效开环含三个积分环节确定前馈系数

反馈校正与复合控制 系统校正

本卷考法

• 设计前馈通道使系统型别由 I 型提高到 III 型

本卷实例

• 关键一步：先求闭环传函，再由闭环与开环关系反解等效开环
• 关键一步：等效开环中积分环节个数即型别，令其含三个积分
• 中间结果：前馈系数由等效开环相应系数为零的两个条件确定
• 卡点：直接在原开环上数积分环节，未换成等效开环

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 反馈校正可改变被包围环节的特性，抑制参数波动
• 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
• 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
• 前馈不改变闭环稳定性，可与反馈叠加使用

步骤

• 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
• 写出等效后的传递函数
• 按不变性原理列写前馈补偿器条件
• 求解补偿器并校验可实现性

通用考法

• 本卷考过设计前馈通道使系统型别由 I 型提高到 III 型
• 设计反馈校正装置改善被包围环节
• 求前馈补偿器实现不变性
• 分析复合控制对稳态误差的作用

常见易错

• 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分，不可实现却直接采用
• 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由等效开环判断系统型别与静态误差系数

本卷实例

• 关键一步：型别等于开环传递函数中积分环节 s 的个数
• 关键一步：提高型别可让某种典型输入下的稳态误差变为零
• 中间结果：由 s 的幂次对齐可列出待定系数的两个方程
• 卡点：把开环增益大小与型别混淆，误以为加大增益能提高型别

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由等效开环判断系统型别与静态误差系数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

3三、直流电机传递函数参数测定#

思路

• 由稳态转速定出增益，由一阶响应到达 50% 或 63.2% 的时间定出时间常数

直流电机等机电系统 建模与机电系统

本卷考法

• 由电枢电压与稳态转速测定直流电机的传递函数

本卷实例

• 关键一步：把给定的转角传函先化成角速度对电压的一阶传函
• 关键一步：稳态转速对应一阶环节的直流增益，与时间常数分开确定
• 中间结果：角速度传函的分子分母系数与待求两个参数一一对应
• 卡点：把转角传函直接当角速度传函，漏掉一次积分关系

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由电枢回路电压方程与转矩平衡方程联立
• 反电动势与转速成正比，电磁转矩与电枢电流成正比
• 机电时间常数由电气与机械两方面参数共同决定

步骤

• 写出电枢回路电压平衡方程
• 写出转矩平衡方程（含负载与粘性摩擦）
• 消去电枢电流，得到转速或转角对电压的传递函数

通用考法

• 本卷考过由电枢电压与稳态转速测定直流电机的传递函数
• 求直流电机转速或位置对电枢电压的传递函数
• 分析机电时间常数与电气时间常数的数量级关系

常见易错

• 漏掉反电动势与电磁转矩的耦合项
• 把电气时间常数与机电时间常数混淆

公式

一阶系统的单位阶跃响应 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由一阶响应曲线上特定时刻的取值反求时间常数

本卷实例

• 关键一步：一阶响应到达稳态值 63.2% 的时刻即时间常数
• 关键一步：到达 50% 的时刻与时间常数由指数关系换算
• 中间结果：由实测时间可解出衰减系数，再由稳态值定出增益
• 卡点：把 50% 与 63.2% 两个时刻混用，或稳态值未扣除输入幅值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 一阶系统只有一个时间常数 T，响应单调无振荡
• 经过一个 T 达到稳态值的 63.2%，3T 达到 95%，4T 达到 98%
• 调节时间按误差带取 3T（5%）或 4T（2%）

步骤

• 把传递函数化为标准形式 1/(Ts+1)
• 读出时间常数 T
• 按误差带要求给出调节时间

通用考法

• 本卷考过由一阶响应曲线上特定时刻的取值反求时间常数
• 求一阶系统的调节时间与上升时间
• 由响应曲线求时间常数
• 比较不同时间常数下响应快慢

常见易错

• 把 63.2% 对应的时刻记成 50% 对应的时刻
• 增益 K 不为 1 时仍直接读稳态值

公式

4四、含右半平面零点的根轨迹与振荡状态15 分#

思路

• 开环有正零点需画零度根轨迹，由分离点与虚轴交点分界判断三种振荡状态

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 零点为正时改用零度相角条件绘制根轨迹

本卷实例

• 关键一步：特征方程整理出正反馈形式，改用零度相角条件
• 关键一步：实轴段判据改用两侧零极点个数之和为偶数
• 中间结果：渐近线夹角按零度根轨迹的偶数倍规则取
• 卡点：仍按 180 度相角条件画，实轴段与渐近线全错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过零点为正时改用零度相角条件绘制根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则画出根轨迹的实轴段与渐近线

本卷实例

• 关键一步：先由开环零极点定实轴段与渐近线，再求特殊点
• 关键一步：渐近线交点由极点之和减零点之和再除以个数差
• 中间结果：分离点由增益对 s 导数为零的方程解出并筛选
• 卡点：实轴段判据中零极点个数算错，分离点未经筛选

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则画出根轨迹的实轴段与渐近线
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及对应的临界增益

本卷实例

• 关键一步：把 s 换成 jω 代入特征方程，令实部虚部同时为零
• 关键一步：由虚部方程解出交点频率，再由实部方程求临界增益
• 中间结果：交点频率与临界增益一一对应，等幅振荡就发生在该增益
• 卡点：只令虚部为零而漏掉实部约束，解出结果不完整

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及对应的临界增益
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹分界增益判断无振荡、衰减振荡与等幅振荡

本卷实例

• 关键一步：根全为负实根时无振荡，出现共轭复根时衰减振荡
• 关键一步：共轭根落在虚轴上时即等幅振荡，对应临界增益
• 中间结果：分离点对应无振荡转衰减振荡的增益，虚轴交点对应等幅
• 卡点：把增益分段顺序记反，或漏掉实根与复根之间的分界

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹分界增益判断无振荡、衰减振荡与等幅振荡
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5五、非最小相位系统的幅相曲线与稳定临界 T15 分#

思路

• 开环有右半平面极点，先画幅相曲线再按奈氏判据求 T 的临界值

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环幅相曲线与奈奎斯特判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数，再数曲线包围临界点的圈数
• 关键一步：判据用闭环右半平面根数等于开环极点数与包围圈数之差
• 中间结果：包围与否对应两种稳定性，临界时曲线正好穿过临界点
• 卡点：漏掉右半平面极点使极点数数错；正负圈数定义搞反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环幅相曲线与奈奎斯特判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 写出幅频与相频表达式并画出幅相曲线大致形状

本卷实例

• 关键一步：把 s 换成 jω，分别求模与相角随频率的变化
• 关键一步：由起点、终点与负实轴交点即可勾出曲线走向
• 中间结果：起点幅值无穷，相角由积分环节与右半平面极点共同决定
• 卡点：相角累加时漏掉右半平面极点贡献的附加相移

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过写出幅频与相频表达式并画出幅相曲线大致形状
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

6六、由校正网络特性图设计超前与滞后校正20 分#

思路

• 先画未校正渐近线与相角裕度，再识别两种校正网络并按裕度与频宽比较

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制开环对数幅频特性渐近线并求截止频率

本卷实例

• 关键一步：最低频段斜率由积分环节个数决定，高度由开环增益定
• 关键一步：按转折频率逐段累加斜率，标出截止频率位置
• 中间结果：渐近线与零分贝线的交点即近似截止频率
• 卡点：改斜率时替换而非累加，或低频段高度漏乘型别系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制开环对数幅频特性渐近线并求截止频率
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前后的相角裕度

本卷实例

• 关键一步：在截止频率处代入相频表达式算相角，再加 180 度
• 关键一步：相角裕度为正表示稳定，越接近零越易振荡
• 中间结果：由未校正相角裕度判断原系统是否稳定及主要缺陷
• 卡点：把截止频率与相位穿越频率用反，或忘记 180 度基准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前后的相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

超前校正 系统校正

本卷考法

• 识别超前校正网络并说明其提高稳定性的原理

本卷实例

• 关键一步：由校正装置两个转折频率的先后判断超前或滞后
• 关键一步：超前网络在中频段提供正相角，抬高相角裕度
• 中间结果：超前校正同时抬高截止频率，加快响应但抗扰下降
• 卡点：误用未校正截止频率算补偿角，忽略频率移动的附加损失

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过识别超前校正网络并说明其提高稳定性的原理
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 识别滞后校正网络并说明其改善稳定性的原理

本卷实例

• 关键一步：滞后网络在中高频段提供衰减，压低截止频率
• 关键一步：压低截止频率后利用原系统自身相角抬高相角裕度
• 中间结果：滞后校正响应变慢，但稳定裕度提高
• 卡点：滞后网络两转折频率顺序写反，相角损失抵掉增益改善

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过识别滞后校正网络并说明其改善稳定性的原理
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

7七、离散系统输出 z 变换表达式10 分#

思路

• 按采样开关位置分别对环节做 z 变换，求出输出的 z 变换表达式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求多采样开关离散系统的输出脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按采样开关位置判断哪些环节一起做 z 变换
• 关键一步：先写连续部分输出关系，再对含开关的项单独离散化
• 中间结果：输出等于输入通道与反馈通道两部分之和，分母含公共项
• 卡点：把无采样开关隔开的两个连续环节直接相乘后再离散

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求多采样开关离散系统的输出脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

8八、脉冲传函稳定性与最少拍控制器设计15 分#

思路

• 先由闭环特征方程判稳，再按最少拍要求构造闭环与误差脉冲传函

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环特征方程判断离散系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：写出闭环脉冲传函的特征方程，检验根是否在单位圆内
• 关键一步：也可代入 z 等于正负一与常数项做朱利判据
• 中间结果：有一个根的模大于一即可判定系统不稳定
• 卡点：把稳定条件写成实部小于零而非根的模小于一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程判断离散系统稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

数字控制器与最少拍设计 离散控制系统

本卷考法

• 按最少拍要求设计数字控制器 D(z)

本卷实例

• 关键一步：按输入型别与单位圆上极点选取误差脉冲传函
• 关键一步：由闭环传函与开环传函、误差传函的关系反解控制器
• 中间结果：闭环脉冲传函取纯延迟形式，过渡过程在有限拍结束
• 卡点：忽略控制器需因果可实现，或在单位圆上极点处未加约束

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最少拍系统指在典型输入下经过有限拍达到无稳态误差
• 设计需要满足可实现性与稳定性约束
• 最少拍系统的闭环脉冲传递函数由输入类型确定
• 最少拍设计通常导致很大的控制量，需加限制

步骤

• 确定输入类型及对应的误差传函形式
• 按无稳态误差要求构造闭环脉冲传递函数
• 由 D(z)=Φ(z)/[G(z)(1-Φ(z))] 求数字控制器
• 检验可实现性、稳定性与控制量大小

通用考法

• 本卷考过按最少拍要求设计数字控制器 D(z)
• 设计最少拍数字控制器
• 比较不同输入类型下的最少拍数
• 分析最少拍系统存在的问题

常见易错

• 忽略 D(z) 必须是物理可实现的因果系统
• 闭环传函构造时未满足稳定性约束条件

公式

9九、饱和非线性系统的描述函数分析15 分#

思路

• 用负倒描述函数与线性部分幅相曲线有无交点判断自振与临界增益

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法判断饱和系统是否产生自持振荡

本卷实例

• 关键一步：画出负倒描述函数曲线与线性部分幅相曲线
• 关键一步：两曲线有交点即存在周期运动，交点处得频率与振幅
• 中间结果：负倒描述函数随振幅从有限值出发并趋于无穷远
• 卡点：画的是描述函数本身而非负倒描述函数，判断方向反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法判断饱和系统是否产生自持振荡
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

非线性系统的稳定性与改善 非线性系统

本卷考法

• 调节开环增益使系统稳定且不产生自持振荡

本卷实例

• 关键一步：让线性部分幅相曲线与负倒描述函数曲线不相交
• 关键一步：临界时两条曲线正好在起点相切，据此定增益边界
• 中间结果：增益落入使两曲线无交点的区间即无自持振荡
• 卡点：只改增益不检查是否把交点移到另一侧，仍会自振

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 非线性系统只有局部稳定性概念，与初始条件有关
• 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
• 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
• 用描述函数或相平面结果指导参数选择

步骤

• 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
• 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
• 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
• 重新分析确认自振消除或幅值达标

通用考法

• 本卷考过调节开环增益使系统稳定且不产生自持振荡
• 提出消除自振的工程措施
• 分析增益变化对极限环幅值的影响
• 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊

常见易错

• 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
• 把不稳定极限环误判为可观测的自振

10十、相平面法分析非线性系统稳定性#

思路

• 按饱和分段列相平面方程，求奇点类型并判断是否存在极限环

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 由相平面方程判断奇点类型与系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：按非线性分段把系统化为不同区域的线性方程
• 关键一步：由各区域特征根定奇点类型，再拼出完整相轨迹
• 中间结果：特征根为负实根时是稳定节点，共轭复根时是稳定焦点
• 卡点：相轨迹斜率公式分子分母写反，或漏掉初始条件定常数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过由相平面方程判断奇点类型与系统稳定性
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式

11十一、状态空间能控能观与状态反馈极点配置#

思路

• 先算能控与能观判别阵判秩，再用状态反馈把闭环极点配置到指定位置

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断给定状态空间系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控判别阵与能观判别阵并求秩
• 关键一步：两者满秩则系统既能控又能观
• 中间结果：秩等于状态维数是完全能控或完全能观的充要条件
• 卡点：只算到最后一次矩阵乘法前就下结论，秩判不全

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断给定状态空间系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置

本卷实例

• 关键一步：先确认能控，再写闭环特征多项式并与期望多项式比系数
• 关键一步：比较同次项系数得到反馈增益方程组
• 中间结果：期望多项式由给定闭环极点直接相乘展开
• 卡点：未验能控就配置；反馈矩阵代入时符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式