1、2、3、4、5一、填空题（5 题）#
思路
- 5 空分别考一阶电路全响应、以参数 a 为变量的等效根轨迹传函、正弦输入下的稳态误差、非线性方程奇点类型、由状态转移矩阵反求状态矩阵，逐空写结论与简要依据。
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 由 RC 电路与初始电压求电容电压全响应
本卷实例
- 关键一步：用三要素法或列一阶微分方程，代入初值与稳态值
- 中间结果：时间常数为电阻乘电容，稳态值为电源电压
- 卡点：RC 电路图未读，初始电压与开关接法需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过由 RC 电路与初始电压求电容电压全响应
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
广义根轨迹与参数根轨迹
根轨迹法
本卷考法
- 写出以参数 a 为变量的等效开环传递函数
本卷实例
- 关键一步：把特征方程中含 a 的项提公因式写成 a 乘分式
- 中间结果：等效开环传函分母为原特征方程中不含 a 的部分
- 卡点：参数要完整提到分子位置，不能留在分母里
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
- 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
- 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
- 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
- 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
- 按常规根轨迹法则绘制
- 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
- 本卷考过写出以参数 a 为变量的等效开环传递函数
- 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
- 绘制正反馈系统的零度根轨迹
- 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
- 整理时没有把参数完整地提到分子位置
- 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
误差定义与误差传递函数
稳态误差
本卷考法
- 写正弦输入下的误差传函求稳态误差
本卷实例
- 关键一步：单位负反馈下误差传函等于一除以一加开环传函
- 中间结果：稳态误差为误差频率特性在该频率处的幅值与相角
- 卡点：正弦输入无终值，必须用频率特性而非终值定理
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
- 误差传递函数由结构决定
- 单位反馈时两种定义等价
步骤
- 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
- 由结构图写出误差传递函数
- 乘输入后取 s→0 的极限
通用考法
- 本卷考过写正弦输入下的误差传函求稳态误差
- 写出误差传递函数
- 说明不同误差定义对结果的影响
常见易错
- 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
- 忘记先判断系统是否稳定
公式
频率特性的物理意义与求法
频域分析
本卷考法
- 算误差频率特性在给定频率处的幅值与相角
本卷实例
- 关键一步：把 jω 代入误差传函并有理化求模与相角
- 中间结果：误差幅值乘输入幅值即稳态误差幅值
- 卡点：相角要按实部虚部所在象限取，不能只看主值
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过算误差频率特性在给定频率处的幅值与相角
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
相平面法
非线性系统
本卷考法
- 由非线性微分方程判断奇点类型
本卷实例
- 关键一步：先求平衡点再在平衡点处线性化得特征方程
- 中间结果：特征根为共轭复根且实部为正时是不稳定焦点
- 卡点：本题方程与 2022 年题仅差一个系数，注意区分
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
- 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
- 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
- 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
- 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
- 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
- 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
- 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
- 本卷考过由非线性微分方程判断奇点类型
- 画出给定初始条件下的相轨迹
- 判断奇点类型与稳定性
- 分析极限环的存在与形态
常见易错
- 相轨迹斜率公式中分子分母写反
- 把相轨迹与根轨迹混淆
公式
状态转移矩阵
状态空间分析
本卷考法
- 由状态转移矩阵反求状态矩阵
本卷实例
- 关键一步：对状态转移矩阵逐元素求导后令时间为零
- 中间结果：所得数值矩阵即为状态矩阵
- 卡点：矩阵中部分元素疑有两处印成同一式，回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过由状态转移矩阵反求状态矩阵
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
公式