一一、参数根轨迹绘制#
思路
- 以τ为可变参数整理闭环特征方程，写出等效开环传函，按根轨迹法则求实轴段、渐近线、分离点、出射角与虚轴交点，讨论τ变化时根轨迹的形状。
广义根轨迹与参数根轨迹
根轨迹法
本卷考法
- 把τ变化的问题整理成以τ为参数的参数根轨迹
本卷实例
- 关键一步：由1加G(s)等于零整理出τ的显式表达式
- 关键一步：把τ提到分子位置写出等效开环传函
- 中间结果：等效开环传函的分母为不含τ的多项式
- 卡点：未把参数完整提到分子位置
- 卡点：参数根轨迹仍沿用普通180度相角条件的画法
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
- 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
- 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l
步骤
- 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
- 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
- 按常规根轨迹法则绘制
- 注意相角条件是否变成 0°
通用考法
- 本卷考过把τ变化的问题整理成以τ为参数的参数根轨迹
- 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
- 绘制正反馈系统的零度根轨迹
- 比较零度与 180 度根轨迹的差别
常见易错
- 整理时没有把参数完整地提到分子位置
- 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件
公式
根轨迹的绘制法则
根轨迹法
本卷考法
- 按根轨迹法则求实轴段、渐近线与分离点
本卷实例
- 关键一步：数实轴段右侧零极点个数判断实轴根轨迹
- 关键一步：按渐近线夹角与交点公式求渐近线
- 中间结果：渐近线的交点与夹角由零极点分布确定
- 卡点：实轴段判据中零极点个数算错
- 卡点：渐近线夹角公式中2k加1写成2k
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过按根轨迹法则求实轴段、渐近线与分离点
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点
根轨迹法
本卷考法
- 用重根条件求根轨迹的分离点并取舍
本卷实例
- 关键一步：对闭环特征方程用重根条件列方程
- 关键一步：解出候选点后按是否落在实轴根轨迹上取舍
- 中间结果：分离点满足关于d的代数方程
- 卡点：求出根后不筛选保留了不在根轨迹上的解
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
- 分离点必满足 dK/ds=0
- 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
- 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
- 令 dK/ds=0 得分离点方程
- 解方程并用实轴段判据筛选
- 代回求分离点处的 K 值
通用考法
- 本卷考过用重根条件求根轨迹的分离点并取舍
- 求根轨迹的分离点坐标
- 确定分离点处的临界增益
- 判断解的取舍
常见易错
- 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
- 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
出射角与入射角
根轨迹法
本卷考法
- 求复数极点的出射角并判断根轨迹起始方向
本卷实例
- 关键一步：按相角条件累加其余零极点对该极点的相角
- 关键一步：由180度减去累加值得出射角
- 中间结果：出射角由各零极点相角之代数和确定
- 卡点：累加相角时把该极点自身的相角也算进去
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 出射角是根轨迹离开开环极点的方向
- 入射角是根轨迹进入开环零点的方向
- 计算时需代入相角条件并逐项累加各零极点贡献的相角
- 共轭复数极点的出射角互为相反数
步骤
- 取待求极点（或零点）为参考点
- 写出相角条件并代入该点
- 把其余零极点的相角移到等式右边累加
- 求反正切得到出射角或入射角
通用考法
- 本卷考过求复数极点的出射角并判断根轨迹起始方向
- 求复数极点的出射角
- 根据出射角画出根轨迹起始方向
- 由入射角确定根轨迹终止方向
常见易错
- 累加相角时把该极点自身的相角也算进去
- 忘记判断象限导致角度差 180°
公式
与虚轴的交点及临界参数
根轨迹法
本卷考法
- 求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界参数
本卷实例
- 关键一步：令s等于jω代入特征方程并分离实部虚部
- 关键一步：联立两式解出交点频率与临界参数
- 中间结果：临界参数对应一对纯虚根
- 卡点：只代一个频率就下结论漏掉另一组交点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界参数
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式