一一、填空题30 分#
思路
- 八个空覆盖劳斯判据、特征方程、稳态误差、二阶指标、频率特性、脉冲传函、状态空间与状态转移矩阵，逐空按定义或公式直接求解。
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 由闭环特征多项式列劳斯表数右半平面特征根个数
本卷实例
- 关键一步：写出闭环特征多项式并按降幂排列
- 关键一步：列劳斯表数首列符号变化次数
- 中间结果：右半平面根数等于劳斯表首列变号次数
- 卡点：首列出现零时未用ε法处理
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过由闭环特征多项式列劳斯表数右半平面特征根个数
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 由开环传递函数写单位负反馈系统的特征方程
本卷实例
- 关键一步：令1加开环传函为零并通分
- 关键一步：按降幂整理成多项式
- 中间结果：特征方程为开环分母与分子之和式
- 卡点：把开环分母直接当成特征方程
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由开环传递函数写单位负反馈系统的特征方程
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式
系统型别与静态误差系数
稳态误差
本卷考法
- 由开环传函判断系统型别并求静态误差系数
本卷实例
- 关键一步：数开环积分环节个数定型别
- 关键一步：再取s趋于零求静态系数
- 中间结果：型别决定有限误差对应的输入类型
- 卡点：把开环增益当成静态误差系数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
- 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
- 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
- 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
- 按型别选择对应的静态误差系数公式
- 代入求值
通用考法
- 本卷考过由开环传函判断系统型别并求静态误差系数
- 判断系统型别
- 求静态位置、速度、加速度误差系数
- 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
- 把开环增益与静态误差系数混为一谈
- 数错积分环节个数导致型别判错
公式
典型输入下的稳态误差计算
稳态误差
本卷考法
- 求单位阶跃输入下单位负反馈系统的稳态误差
本卷实例
- 关键一步：先判闭环稳定再用终值定理
- 关键一步：由误差传函取s趋于零的极限
- 中间结果：阶跃误差由静态位置误差系数决定
- 卡点：未判稳就套终值定理
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过求单位阶跃输入下单位负反馈系统的稳态误差
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环传函化标准二阶形式求阻尼比与自然频率
本卷实例
- 关键一步：把s平方项系数归一化
- 关键一步：与标准二阶形式逐项比对
- 中间结果：由一次项与常数项解出ξ与ωn
- 卡点：忘记归一化导致读过系数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传函化标准二阶形式求阻尼比与自然频率
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由阻尼比与自然频率求超调量和调节时间
本卷实例
- 关键一步：按超调量与阻尼比关系式求σ%
- 关键一步：按误差带确定调节时间系数
- 中间结果：动态指标只由ξ与ωn决定
- 卡点：两种误差带对应的调节时间系数混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过由阻尼比与自然频率求超调量和调节时间
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
频率特性的物理意义与求法
频域分析
本卷考法
- 由开环传递函数求幅频特性与相频特性表达式
本卷实例
- 关键一步：令s等于jω
- 关键一步：分子分母分别取模与相角
- 中间结果：幅频为两复数模之比，相频为相角之差
- 卡点：相角累加时漏掉环节符号
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过由开环传递函数求幅频特性与相频特性表达式
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
脉冲传递函数
离散控制系统
本卷考法
- 由差分方程求脉冲传递函数
本卷实例
- 关键一步：对方程两边取z变换
- 关键一步：按零初始条件整理
- 中间结果：脉冲传函为输出与输入z变换之比
- 卡点：遗漏差分项的延迟阶次
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
- 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
- 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
- G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
- 确定采样开关位置并画出离散化结构图
- 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
- 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
- 本卷考过由差分方程求脉冲传递函数
- 求开环或闭环脉冲传递函数
- 比较不同采样开关位置对结果的影响
- 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
- 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
- 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 由状态空间表达式求传递函数
本卷实例
- 关键一步：按C(sI减A)逆B加D计算
- 关键一步：先求sI减A的逆矩阵
- 中间结果：二阶系统化为一个有理分式
- 卡点：求逆时行列式展开出错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过由状态空间表达式求传递函数
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
状态转移矩阵
状态空间分析
本卷考法
- 由对角阵状态方程求状态转移矩阵
本卷实例
- 关键一步：对角阵的矩阵指数逐元素取e的λt次
- 关键一步：再用拉氏反变换验证
- 中间结果：转移矩阵仍为同阶对角阵
- 卡点：非对角元素误留非零值
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过由对角阵状态方程求状态转移矩阵
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
公式