1一、微分方程全响应与传递函数25 分#
思路
- 由带初始值的二阶微分方程在单位阶跃输入下求输出全响应；再由方程在零初始条件下求系统传递函数。
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
本卷实例
- 关键一步：对微分方程逐项取拉氏变换，把两个初始值并入变换式
- 关键一步：解出输出象函数后部分分式展开并取拉氏反变换
- 中间结果：输出象函数含输入项与由初值产生的附加项
- 卡点：只求零状态响应会漏掉初值决定的自由响应；初值符号易代错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 由微分方程求系统的传递函数
本卷实例
- 关键一步：去掉初值项，按零初始条件对微分方程取拉氏变换
- 关键一步：整理成输出象函数与输入象函数之比
- 中间结果：传函分母为微分方程左端对应的特征多项式
- 卡点：把带初值的全响应象函数直接当传函；忽略零初始前提
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由微分方程求系统的传递函数
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式