1-10一、选择题（1 至 10）#
思路
- 十道选择逐题独立：一阶与二阶动态指标、劳斯判据求稳定增益范围、根轨迹实轴段与相角条件、正弦输入下的稳态输出、典型环节的对数频率特性、相角裕度正负判断。第 2、3 题都落到二阶系统阻尼比与自然频率这一条主线上。
一阶系统的单位阶跃响应
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由一阶传递函数的时间常数求调节时间
本卷实例
- 关键一步：先把一阶环节化成时间常数形式读出 T，再按 2% 误差带取四倍 T
- 关键一步：输入幅值只改稳态值，不影响调节时间
- 中间结果：一阶系统响应单调无振荡，调节时间只由时间常数决定
- 卡点：误按 5% 误差带取三倍时间常数，与其他小题的误差带混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 一阶系统只有一个时间常数 T，响应单调无振荡
- 经过一个 T 达到稳态值的 63.2%，3T 达到 95%，4T 达到 98%
- 调节时间按误差带取 3T（5%）或 4T（2%）
步骤
- 把传递函数化为标准形式 1/(Ts+1)
- 读出时间常数 T
- 按误差带要求给出调节时间
通用考法
- 本卷考过由一阶传递函数的时间常数求调节时间
- 求一阶系统的调节时间与上升时间
- 由响应曲线求时间常数
- 比较不同时间常数下响应快慢
常见易错
- 把 63.2% 对应的时刻记成 50% 对应的时刻
- 增益 K 不为 1 时仍直接读稳态值
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环极点位置或开环参数写出阻尼比与自然频率
本卷实例
- 关键一步：由一对共轭极点的实部与虚部分别读出阻尼比乘自然频率、自然频率
- 关键一步：第 3 题增益变化时先看阻尼比与自然频率各自如何随增益改变
- 中间结果：极点实部绝对值等于阻尼比乘自然频率，虚部含自然频率与阻尼比
- 卡点：把极点实部直接当成自然频率；或忘记最高次项系数要先归一化
- 卡点：题 2 的共轭极点由原卷插图给出，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环极点位置或开环参数写出阻尼比与自然频率
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由阻尼比与自然频率计算或比较调节时间、峰值时间与超调量
本卷实例
- 关键一步：超调量只由阻尼比决定，峰值时间与调节时间还要用到自然频率
- 关键一步：比较增益影响时抓住阻尼比乘自然频率这个乘积是否变化
- 中间结果：调节时间近似反比于阻尼比乘自然频率，峰值时间近似反比于自然频率
- 卡点：两种误差带的调节时间系数混用；或把超调量随阻尼比的变化方向说反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过由阻尼比与自然频率计算或比较调节时间、峰值时间与超调量
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 列劳斯表求使三阶系统稳定的增益范围
本卷实例
- 关键一步：写出闭环特征方程后按降幂排列表，缺项补零
- 关键一步：首列全部同号给出增益范围，边界值使首列出现零
- 中间结果：本题特征方程为三阶，首列第三行含增益，令其大于零即得上界
- 卡点：只写首列同号而不说明边界处首列为零；或系数缺项未补零
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过列劳斯表求使三阶系统稳定的增益范围
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
根轨迹的绘制法则
根轨迹法
本卷考法
- 用实轴段判据判断某段实轴是否属于根轨迹
本卷实例
- 关键一步：看某点右侧实轴上开环实数零极点总个数是否为奇数
- 关键一步：复数零极点不参与实轴段计数，只有实数零极点计入
- 中间结果：奇偶性由右侧实数零极点个数决定，与左侧无关
- 卡点：把重极点只算一次；或把复数零极点也计入右侧个数
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过用实轴段判据判断某段实轴是否属于根轨迹
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
根轨迹的基本概念与幅相条件
根轨迹法
本卷考法
- 说明根轨迹相角条件与幅值条件各自的作用和充要性
本卷实例
- 关键一步：相角条件画出轨迹形状，幅值条件给出该点对应的参数值
- 关键一步：同时满足两个条件的点才落在根轨迹上
- 中间结果：只满足相角条件的点不能确定参数，需再用幅值条件定值
- 卡点：把相角条件的判定与幅值条件混用；或把常规根轨迹的相角条件写成零度
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹是开环某一参数由 0 变到无穷时闭环极点在 s 平面上的移动轨迹
- 同时满足相角条件与幅值条件的 s 才是根轨迹上的点
- 相角条件决定根轨迹的形状，幅值条件决定对应的参数值
- 常规根轨迹以开环增益 K 为可变参数
步骤
- 写出以 K 为参变量的闭环特征方程
- 整理成 1+KG₀(s)=0 的标准形式
- 用相角条件判断某点是否在根轨迹上
通用考法
- 本卷考过说明根轨迹相角条件与幅值条件各自的作用和充要性
- 判断给定点是否在根轨迹上
- 由幅值条件求该点对应的 K
- 说明相角条件与幅值条件各自的作用
常见易错
- 把相角条件的 180° 写成 0°（正反馈时才用 0°）
- 用幅值条件判点，搞混两个条件的用途
公式
频率特性的物理意义与求法
频域分析
本卷考法
- 求一阶系统在正弦输入下的稳态输出表达式
本卷实例
- 关键一步：稳态输出与输入同频，幅值乘幅频值、相位加相频值
- 关键一步：把工作频率代入传递函数求模与相角，再乘输入幅值
- 中间结果：一阶环节的相角为负的反正切，输出相位滞后于输入
- 卡点：忘记输出幅值要乘输入幅值；或把相频的符号写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过求一阶系统在正弦输入下的稳态输出表达式
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
典型环节的对数频率特性
频域分析
本卷考法
- 说明理想积分环节与不稳定一阶环节的对数频率特性
本卷实例
- 关键一步：积分环节的对数幅频是一条斜率为负二十的直线
- 关键一步：不稳定一阶环节的相频随频率从负一百八十度升到负九十度
- 中间结果：积分环节在双对数坐标下幅频为直线，相频恒为负九十度
- 卡点：把理想积分环节的幅频当成折线；或不稳定一阶环节的相频起止方向写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 比例环节是水平线，积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
- 惯性环节转角频率为 1/T，高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
- 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
- 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰，ξ 越小峰越高
步骤
- 把传递函数分解为典型环节乘积
- 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
- 代数相加得到总特性
通用考法
- 本卷考过说明理想积分环节与不稳定一阶环节的对数频率特性
- 画出某一典型环节的 Bode 图
- 由 Bode 图识别环节类型
- 说明转角频率处的幅值与相角
常见易错
- 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
- 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn
公式
稳定裕度
频域分析
本卷考法
- 由转折频率与相频判断相角裕度的正负
本卷实例
- 关键一步：先分解出各典型环节，按转折频率确定低频段与各段斜率
- 关键一步：相角裕度取正还是负，看相频在幅值穿越频率处是否高于负一百八十度
- 中间结果：一阶微分环节的相角为正，惯性环节为负，二者叠加决定相频走势
- 卡点：把转折频率的个数或位置数错；或相角裕度正负与稳定性的对应关系弄反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过由转折频率与相频判断相角裕度的正负
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
公式