北京化工大学 841 控制原理 2024 年真题思维导图

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难度：中等偏难　全卷八道大题，自控与现控并重，含参数根轨迹、由响应曲线辨识参数、Bode 图反求与延时稳定性、状态反馈与全维观测器、离散脉冲传函与差分方程、离散李雅普诺夫第一法判稳。各题题面均印本题满分，合计 150 分。

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1一、由闭环传函与初始条件求输出响应#

思路

• 由闭环传递函数写出微分方程，代入非零初始条件作拉氏变换，解出 C(s) 后取拉氏反变换得 c(t)。

线性微分方程的时域求解与全响应 基本概念与信号

本卷考法

• 由微分方程与初始条件求系统全响应

本卷实例

• 关键一步：把闭环传函化为微分方程再作拉氏变换
• 关键一步：把非零初始值代入微分定理
• 中间结果：C(s) 的分子含初始条件项，分母为特征多项式
• 卡点：初始条件为零时才能直接用传函求响应

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
• 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
• 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
• 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变

步骤

• 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
• 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
• 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
• 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值

通用考法

• 本卷考过由微分方程与初始条件求系统全响应
• 由微分方程与初始条件求系统的全响应
• 分别求零输入响应与零状态响应
• 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值

常见易错

• 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
• 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上

公式

2二、由结构图求闭环传递函数#

思路

• 对给定结构图先逐层化简，或直接画信号流图用梅森增益公式求 Y(s)/R(s)。

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森增益公式求结构图的闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：独立回路有两条且互不接触
• 关键一步：前向通路各有对应的余子式
• 中间结果：特征式为两回路的代数和
• 中间结果：分子为两条前向通路乘余子式之和
• 卡点：题面含图未读图，回路增益与支路方向需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森增益公式求结构图的闭环传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 逐层化简含两条反馈回路的结构图

本卷实例

• 关键一步：从内环开始把反馈环等效为单个环节
• 中间结果：化简后得到输入到输出的单回路形式
• 卡点：比较点与引出点的移动规则易混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过逐层化简含两条反馈回路的结构图
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

3三、以 a 为参数的根轨迹与等幅振荡条件#

思路

• 把闭环特征方程整理成以 a 为可变参数的等效开环形式，按 K 的区间讨论实轴段、渐近线、分离点与起始角；再由指定角频率的等幅振荡条件确定 K 与 a。

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以参数 a 为变量绘制参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把特征方程中不含 a 的项除到一边做等效开环
• 中间结果：等效开环的零极点随 K 的区间变化
• 卡点：参数根轨迹的相角条件仍是一百八十度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以参数 a 为变量绘制参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 分 K 区间画实轴段、渐近线与起始角

本卷实例

• 关键一步：按开环零极点数目定分支数与渐近线夹角
• 中间结果：实轴段由右侧零极点个数奇偶判定
• 卡点：K 大于一与小于一时开环极点分布不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过分 K 区间画实轴段、渐近线与起始角
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求分离点并按是否落在实轴段取舍

本卷实例

• 关键一步：由特征方程令增益对 s 的导数为零
• 中间结果：分离点位置含 K，需按 K 区间分类讨论
• 卡点：K 超过临界值时分离点方程无实根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求分离点并按是否落在实轴段取舍
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 由等幅振荡条件求 K 与 a 及虚轴交点

本卷实例

• 关键一步：令闭环特征方程的一对根落在虚轴上
• 中间结果：由劳斯表辅助方程得振荡频率与参数关系
• 卡点：虚轴交点频率须与题给振荡角频率一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过由等幅振荡条件求 K 与 a 及虚轴交点
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

4四、由结构图与阶跃响应求 K、v、T、a#

思路

• 由结构图写闭环传函，先由稳态位置误差为零确定积分环节个数，再由阶跃响应稳态值定增益，最后由超调量与峰值时间反求阻尼比、自然频率与各时间常数。

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由阶跃响应曲线与稳态值反求系统参数

本卷实例

• 关键一步：由响应稳态值确定比例增益
• 中间结果：闭环传函化为标准二阶形式再比系数
• 卡点：响应曲线读数须回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由阶跃响应曲线与稳态值反求系统参数
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 把闭环传函化为标准二阶形式并与响应比对

本卷实例

• 关键一步：按标准二阶形式分离阻尼比与自然频率
• 中间结果：系数关系给出时间常数与参数的方程组
• 卡点：二次项系数须先归一化再比对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过把闭环传函化为标准二阶形式并与响应比对
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与峰值时间反求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：超调量只与阻尼比有关，先解阻尼比
• 中间结果：峰值时间公式给出自然频率
• 卡点：比例环节不改变按百分比定义的动态指标

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由超调量与峰值时间反求阻尼比与自然频率
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由稳态位置误差为零确定系统型别与积分环节个数

本卷实例

• 关键一步：由位置误差为零判定系统含积分环节
• 中间结果：型别由原点处极点个数确定
• 卡点：稳定是误差为零的前提，须先判稳

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由稳态位置误差为零确定系统型别与积分环节个数
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

5五、由 Bode 图反求传函、稳定裕度与延时影响#

思路

• 由最小相位系统 Bode 图读低频高度与各转折频率写开环传函；再算相角裕度与幅值裕度，用频域法求临界增益，并分析串联延时环节对稳定性的影响与允许延时上限。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由 Bode 图读转折频率与低频高度求最小相位传函

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率定积分环节个数与增益
• 中间结果：每处负二十转折对应一个惯性环节
• 卡点：转折频率与低频高度须回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由 Bode 图读转折频率与低频高度求最小相位传函
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求相角裕度与幅值裕度并定临界增益

本卷实例

• 关键一步：由幅频等于一求剪切频率
• 关键一步：由相频负一百八十度求相位穿越频率
• 中间结果：幅值裕度为穿越频率处幅值的倒数
• 卡点：两个特征频率不可用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求相角裕度与幅值裕度并定临界增益
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 说明最小相位条件对幅频与相频关系的作用

本卷实例

• 关键一步：检查开环零点是否全在左半平面
• 中间结果：最小相位系统幅频唯一确定相频
• 卡点：非最小相位系统相位滞后更大

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过说明最小相位条件对幅频与相频关系的作用
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

含纯延迟环节的系统稳定性 稳定性分析

本卷考法

• 分析串联延时环节对稳定性的影响并求允许延时

本卷实例

• 关键一步：延时环节只加相位滞后、不改变幅频
• 中间结果：剪切频率处相位裕度为零给出延时上限
• 卡点：延时相角以弧度计，注意角度与弧度换算

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 延迟环节 e^{-τs} 的幅值为 1、相位为 -τω，只恶化相位
• 延迟会显著缩小稳定域，τ 越大越难稳定
• 频域判据需用相位裕度扣除延迟引起的附加滞后

步骤

• 写出含延迟的开环传递函数
• 分别求幅值与相位表达式
• 在相频特性中扣除 τω 的滞后量
• 按稳定裕度或奈氏判据求临界 τ 或临界 K

通用考法

• 本卷考过分析串联延时环节对稳定性的影响并求允许延时
• 求使系统稳定的最大延迟时间
• 求含延迟系统的临界开环增益
• 分析延迟对稳定裕度的影响

常见易错

• 把延迟环节当成惯性环节处理
• 相位计算时忘记角度与弧度换算

公式

6六、状态观测器、状态反馈与稳态误差#

思路

• 先由能控与能观判别矩阵判定能否用观测器配置极点；再由期望极点写理想特征多项式比较系数求状态反馈增益阵与观测器增益阵；最后画闭环框图并求单位阶跃输入下的稳态误差。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统能否用状态观测器任意配置极点

本卷实例

• 关键一步：构造能观判别矩阵并求秩
• 中间结果：能观矩阵满秩则观测器极点可任意配置
• 卡点：能控性与能观性两个判别矩阵易构造错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统能否用状态观测器任意配置极点
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 用状态反馈把闭环极点配置到指定位置

本卷实例

• 关键一步：写出含反馈增益的闭环特征多项式
• 中间结果：与期望特征多项式比较系数得增益阵
• 卡点：比较系数时反馈项的符号易写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过用状态反馈把闭环极点配置到指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计全维状态观测器配置观测器极点

本卷实例

• 关键一步：由 A 减 E 乘 C 写观测器误差特征多项式
• 中间结果：与期望观测器极点多项式比较系数求增益阵
• 卡点：观测器增益阵与状态反馈增益阵的求法易混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计全维状态观测器配置观测器极点
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求含观测器的闭环系统在单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：写出输出稳态值与期望值之差
• 中间结果：极点配置后系统为有差或无差由型别决定
• 卡点：须先确认闭环稳定再取终值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求含观测器的闭环系统在单位阶跃输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 借 bd_01 绘制含状态反馈与观测器的闭环系统框图

本卷实例

• 关键一步：把状态反馈律与观测器状态估计代入原系统
• 中间结果：框图含被控对象、反馈增益与观测器三个模块
• 卡点：观测器输出与真实状态的连接点须回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过借 bd_01 绘制含状态反馈与观测器的闭环系统框图
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

7七、离散系统脉冲传函、差分方程与稳定性#

思路

• 由零阶保持器与连续环节求开环脉冲传函，再得闭环脉冲传函与差分方程，最后在 z 域用朱利判据判断稳定性。

采样过程与香农采样定理 离散控制系统

本卷考法

• 写零阶保持器的传递函数

本卷实例

• 关键一步：零阶保持器由两个延时项与积分构成
• 中间结果：其传函为两个单位阶跃响应之差
• 卡点：保持器引入的相位滞后勿漏

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
• 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
• 采样频率不足会产生频率混叠
• 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟

步骤

• 确定信号最高频率或系统带宽
• 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
• 必要时加入前置滤波器抑制混叠

通用考法

• 本卷考过写零阶保持器的传递函数
• 由信号最高频率确定采样周期
• 判断给定采样频率是否满足采样定理
• 说明零阶保持器的频率特性

常见易错

• 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
• 忽略零阶保持器带来的相位滞后

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 求连续环节单位阶跃响应对应的 z 变换

本卷实例

• 关键一步：对连续传函作部分分式后逐项查 z 变换表
• 中间结果：指数型极点映射为含采样周期的 z 极点
• 卡点：部分分式漏项会使 z 变换整体错位

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过求连续环节单位阶跃响应对应的 z 变换
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求开环与闭环脉冲传递函数并写差分方程

本卷实例

• 关键一步：按采样开关位置对连续部分整体做 z 变换
• 中间结果：闭环脉冲传函分子分母系数对应差分方程
• 卡点：题面含图未读图，采样开关位置需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求开环与闭环脉冲传递函数并写差分方程
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据判断离散系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：对闭环特征多项式列朱利表并写三条判据
• 中间结果：判据化为含指数衰减项的采样周期不等式
• 卡点：离散稳定条件是特征根模小于一而非实部小于零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据判断离散系统稳定性
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

8八、离散状态方程用李雅普诺夫第一法判稳#

思路

• 求离散系统状态矩阵的特征值，按李雅普诺夫第一法要求特征值全落在单位圆内，反解参数 a 的渐近稳定范围。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第一法判断离散系统零平衡点稳定性

本卷实例

• 关键一步：先求状态矩阵的全部特征值
• 中间结果：离散系统渐近稳定对应特征值均在单位圆内
• 卡点：李雅普诺夫第一法与第二法的结论口径不同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第一法判断离散系统零平衡点稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由特征值落在单位圆内反求参数 a 的范围

本卷实例

• 关键一步：列出各特征值并要求其模小于一
• 中间结果：条件化为对参数 a 的不等式组
• 卡点：参数 a 为正的前提要保留

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由特征值落在单位圆内反求参数 a 的范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式