上海理工大学 867 自动控制理论（含现控） 2021 年真题思维导图

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难度：中等　填空6+简答5+计算9，自控与现控各半，含状态空间、观测器与 LQR 最优控制

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一1、一2、一3反馈控制与 PID 填空#

思路

• 填空：反馈控制系统比较的量、复合控制的组成、PID 三项作用、改善二阶性能的常用方法

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 填出反馈控制系统所比较的量与复合控制的组成

本卷实例

• 关键一步：反馈控制按偏差控制，被控量与给定值比较后得偏差
• 关键一步：复合控制=反馈控制与按扰动控制相结合
• 中间结果：第一空为「给定值」
• 中间结果：复合控制的两路由按偏差控制与按扰动控制组成
• 卡点：把被控量与给定值混用
• 卡点：复合控制漏掉按扰动控制这一路

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过填出反馈控制系统所比较的量与复合控制的组成
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 填出 PID 中 P、I、D 三项各自的作用
• 填出改善二阶系统性能的两种常用方法

本卷实例

• 关键一步：比例项 P 加快响应、提高调节精度
• 关键一步：积分项 I 消除稳态误差
• 关键一步：微分项 D 改善动态性能；PD 控制与测速反馈可改善二阶性能
• 中间结果：三项作用对号：P 管快速性、I 管稳态精度、D 管动态性能
• 卡点：把积分项说成加快响应
• 卡点：把微分项与积分项的作用对调

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过填出 PID 中 P、I、D 三项各自的作用
• 本卷考过填出改善二阶系统性能的两种常用方法
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

一4、一6二阶系统与动态性能填空#

思路

• 填空：由阻尼比判断特征根形式与响应类型；欠阻尼二阶系统 tr、tp、σ% 的公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由 0<ξ<1 与 ξ=1 判断特征根形式和响应类型

本卷实例

• 关键一步：0<ξ<1 时特征方程有一对负实部共轭复根，响应为欠阻尼振荡
• 关键一步：ξ=1 时有两个相等负实根，响应为临界阻尼
• 中间结果：按 ξ 与 1 的大小对号：欠阻尼、临界、过阻尼、无阻尼
• 卡点：把临界阻尼与过阻尼的特征根形式说反
• 卡点：漏掉「负实部」只写共轭复根

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由 0<ξ<1 与 ξ=1 判断特征根形式和响应类型
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 写出欠阻尼二阶系统上升时间、峰值时间与超调量的公式

本卷实例

• 关键一步：tr=(π-β)/(ωn√(1-ξ²))，β=arccosξ
• 关键一步：tp=π/(ωn√(1-ξ²))
• 关键一步：σ%=e^(-πξ/√(1-ξ²))×100%
• 中间结果：三个公式都含 ωn√(1-ξ²)，即阻尼振荡频率 ωd
• 卡点：峰值时间与上升时间公式混用
• 卡点：超调量公式漏乘 100%

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过写出欠阻尼二阶系统上升时间、峰值时间与超调量的公式
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

一5极点配置与状态反馈条件填空#

思路

• 填空：极点配置的含义，状态反馈与输出反馈可任意配置极点的充要条件

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 填出状态反馈与输出反馈可任意配置极点的充要条件

本卷实例

• 关键一步：状态反馈任意配置极点 ⇔ 被控系统完全能控
• 关键一步：输出反馈任意配置极点 ⇔ 系统完全能控且完全能观
• 中间结果：「极值配置」是 OCR 误写，应为「极点配置」，即把闭环极点移到希望位置
• 卡点：把输出反馈的条件也写成只需能控
• 卡点：漏掉能观这一条

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过填出状态反馈与输出反馈可任意配置极点的充要条件
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

二1传递函数与零初始条件简答#

思路

• 简答：微分方程转传递函数的条件限制，以及零初始状态两方面的含义

传递函数的定义与基本性质 传递函数

本卷考法

• 答出微分方程转传递函数的条件限制与零初始状态的两方面含义

本卷实例

• 关键一步：核心条件：系统线性、定常，且按零初始条件定义
• 关键一步：零初始一是输入及其各阶导数在 t=0- 为零
• 关键一步：零初始二是输出及其各阶导数在 t=0- 也为零
• 中间结果：传递函数只由结构参数决定，与输入形式无关
• 卡点：只答「线性」漏掉「零初始」
• 卡点：把零初始只理解成输入为零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
• 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
• 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
• 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）

步骤

• 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
• 把输出项移到左边、输入项移到右边
• 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式

通用考法

• 本卷考过答出微分方程转传递函数的条件限制与零初始状态的两方面含义
• 由微分方程直接写出传递函数
• 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
• 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数

常见易错

• 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
• 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒

公式

二2、二4、二5频域概念（谐振·裕度·频段）#

思路

• 简答：谐振现象与 Mr、ωr 公式；相角裕度与幅值裕度含义；开环频率特性各频段含义

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 简述谐振现象、出现谐振的阻尼比范围，并写 Mr、ωr 公式

本卷实例

• 关键一步：谐振是系统在特定频率下输出幅值达到极大的现象
• 关键一步：出现谐振要求 0<ξ<0.707
• 关键一步：Mr=1/(2ξ√(1-ξ²))，ωr=ωn√(1-2ξ²)
• 中间结果：谐振频率低于自然频率 ωn，ξ 越小 Mr 越大
• 卡点：把出现谐振的范围写成 0<ξ<1
• 卡点：ξ 大于 0.707 时仍套用 Mr 公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过简述谐振现象、出现谐振的阻尼比范围，并写 Mr、ωr 公式
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 阐释相角裕度与幅值裕度的含义

本卷实例

• 关键一步：相角裕度：在幅值穿越频率 ωc 处再滞后多少度就到临界
• 关键一步：幅值裕度：在相位穿越频率 ωg 处还能放大多少倍才到临界
• 中间结果：相角裕度在 ωc 处定义，幅值裕度在 ωg 处定义，两个频率要对号
• 卡点：只说公式不给物理含义，题目问的是含义
• 卡点：把 ωc 与 ωg 用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过阐释相角裕度与幅值裕度的含义
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 说明开环频率特性低、中、高频段各自表征的含义（借 fd_03 的频率分段结论）

本卷实例

• 关键一步：低频段表征稳态性能，由型别与开环增益决定
• 关键一步：中频段表征动态性能，与 ξ、ωc 相关
• 关键一步：高频段表征抗高频干扰能力
• 中间结果：三段分别对应稳、快、抗噪三件事
• 卡点：把中频段与高频段的表征说反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过说明开环频率特性低、中、高频段各自表征的含义（借 fd_03 的频率分段结论）
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

二3能控性与能观性含义简答#

思路

• 简答：说明系统可控（能控）与可观测（能观）的含义

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 简述系统可控与可观测的含义

本卷实例

• 关键一步：能控：存在输入能在有限时间内把任意初态驱动到原点
• 关键一步：能观：能由输出在有限时间内唯一确定初始状态
• 中间结果：两个概念都从状态方程出发，判据靠相应矩阵的秩
• 卡点：把能控说成输出可跟随输入
• 卡点：把能观说成状态能测到

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过简述系统可控与可观测的含义
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

三1结构图化简与误差传函#

思路

• 用结构图等效化简求 C(s)/R(s) 与 E(s)/R(s)，注意 E(s) 在回路内不能先化简该回路

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 对多回路结构图逐层化简求 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：从最内层回路开始，逐层向外把内环化成等效环节
• 关键一步：再用串联、并联、反馈公式合并
• 中间结果：内环先化成 G/(1+GH) 再参与外层
• 卡点：化简顺序混乱导致漏项
• 卡点：本题以结构图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过对多回路结构图逐层化简求 C(s)/R(s)
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 由结构图写出误差传递函数 E(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：误差取在输入端时 E(s)=R(s)-C(s)
• 关键一步：E(s)/R(s)=1-C(s)/R(s)
• 中间结果：关键点：E 位于反馈回路内，求 E 时不能先把该回路化简掉
• 卡点：先化简含 E 的回路再求误差传函
• 卡点：误差点位置以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过由结构图写出误差传递函数 E(s)/R(s)
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

三2劳斯判据与参数稳定域#

思路

• 由特征方程 s³+10s²+20s+k=0 用劳斯判据求稳定 K 范围，并求闭环极点全在 s=-1 左侧的 K

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求使系统稳定的 K 范围

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表，令第一列各元素大于零
• 关键一步：s¹ 行首列为 (200-k)/10，s⁰ 行为 k
• 中间结果：两条不等式联立取交集即得稳定域
• 卡点：只算到 s² 行就下结论
• 卡点：缺项未补零直接套判据

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求使系统稳定的 K 范围
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求使闭环极点全位于 s=-1 垂线左边的 K 范围

本卷实例

• 关键一步：令 z=s+1 平移，把 s=-1 左侧化为 z 左半平面
• 关键一步：对 z 的特征多项式再列劳斯表求 K
• 中间结果：平移后 z 的常数项与一次项都含 k，要两条都满足
• 卡点：平移方向写反，令成 z=s-1
• 卡点：只列部分首列不等式漏掉约束

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求使闭环极点全位于 s=-1 垂线左边的 K 范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

三3输入与扰动共同作用下的稳态误差#

思路

• r(t)=3t² 与 n(t)=2t 同时作用，须先判稳、再分别求输入误差与扰动误差

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求加速度输入 r(t)=3t² 引起的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：由结构图写出开环传递函数并求系统型别
• 关键一步：先判闭环稳定，再用终值定理求 ess
• 中间结果：闭环特征方程由结构图导出的开环传函确定
• 卡点：未判稳就用终值定理
• 卡点：把加速度输入误按斜坡公式处理
• 卡点：本题结构图以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求加速度输入 r(t)=3t² 引起的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求扰动 n(t)=2t 引起的稳态误差，并与输入误差叠加

本卷实例

• 关键一步：令参考输入 r=0，求扰动到误差的传递函数
• 关键一步：把 n(s) 代入后用终值定理求扰动误差
• 中间结果：总误差等于输入误差与扰动误差的代数和
• 卡点：把扰动误差当作总误差
• 卡点：求扰动传函时没有把 r 置零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求扰动 n(t)=2t 引起的稳态误差，并与输入误差叠加
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

三4参数根轨迹（a 从 0 到 +∞）#

思路

• 由 G(s)=0.25(s-a)/(s²(s+1)) 画 a 从 0 到 +∞ 的闭环根轨迹

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以参数 a 为变量绘制闭环根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先写闭环特征方程，把含 a 的项提到分子构造等效开环传函
• 关键一步：本题等效开环为 -0.25a/[s(s+0.5)²]，a 从 0 到 +∞ 对应零度根轨迹
• 中间结果：三个开环极点为 0 与 -0.5（二重），无有限零点
• 中间结果：实轴段判据用零度：右侧零极点数为偶数
• 卡点：参数没完整提到分子就套常规根轨迹法则
• 卡点：零度根轨迹仍用 180° 相角条件

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以参数 a 为变量绘制闭环根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

三5由开环传函绘制 Bode 图#

思路

• 由答案段给出的开环传函 G(s)=1000(1+10s)/(s²(100+s)) 画对数渐近幅频特性并求剪切频率

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由开环传递函数绘制对数渐近幅频特性，并求剪切频率

本卷实例

• 关键一步：写成尾 1 标准型，读出型别 v=2 与开环增益
• 关键一步：低频段斜率为 -40dB/dec，从 ω=1 处高度起画
• 关键一步：按转折频率 0.1 与 100 逐段改斜率
• 中间结果：转折频率为 0.1（一阶微分）与 100（惯性）
• 中间结果：剪切频率落在最后一段高频渐近线上
• 卡点：低频段起始高度没乘型别的 -20v
• 卡点：源文第5题题干缺失，仅答案段有此传函，需回原卷核对题干

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由开环传递函数绘制对数渐近幅频特性，并求剪切频率
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

三6串联滞后校正设计#

思路

• G(s)=K/[s(s+1)(0.25s+1)]，要求 Kv≥5、相角裕度≥45°，设计串联校正装置（答案采用滞后校正）

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 设计串联校正装置，使 Kv≥5 且相角裕度≥45°

本卷实例

• 关键一步：由 Kv≥5 定开环增益 K
• 关键一步：算未校正系统 ωc 与相角裕度，发现裕度为负
• 关键一步：改用滞后校正：先定满足 γ 的新 ωc′，再定衰减量与转折频率
• 中间结果：滞后网络转折频率取在新 ωc′ 的 0.1 倍附近，极点转角更低
• 卡点：转折频率取高会引入过多相位滞后
• 卡点：只满足 Kv 就下结论，未复核相角裕度

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过设计串联校正装置，使 Kv≥5 且相角裕度≥45°
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

三7机械系统状态空间与状态转移矩阵#

思路

• 弹簧-质量-阻尼减震器：列力平衡方程写状态空间，再求特征根、Φ(t) 与零输入响应

机械系统建模 建模与机电系统

本卷考法

• 由弹簧-质量-阻尼系统列力平衡方程并写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：按牛顿第二定律列 mÿ+fẏ+ky=u
• 关键一步：取 x1=y、x2=ẏ，得 ẋ=Ax+Bu、y=Cx
• 中间结果：A 第二行为 [-k/m, -f/m]，B=[0, 1/m]ᵀ
• 卡点：阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 卡点：本题系统以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
• 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
• 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力

步骤

• 选定正方向并作受力分析
• 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
• 按 F=ma 列写运动方程
• 取拉氏变换整理成传递函数

通用考法

• 本卷考过由弹簧-质量-阻尼系统列力平衡方程并写状态空间表达式
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模

常见易错

• 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求系统特征根与状态转移矩阵 Φ(t)，并由初值求零输入响应

本卷实例

• 关键一步：由 det(sI-A)=0 求特征根
• 关键一步：对 (sI-A)⁻¹ 取拉氏反变换得 Φ(t)
• 关键一步：零输入响应 x(t)=Φ(t)x(0)
• 中间结果：A 的两个特征根为相异负实根，Φ(t) 是两项指数组合
• 卡点：得到 (sI-A)⁻¹ 后不做反变换
• 卡点：把初值的 y 与 ẏ 两个分量对应错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求系统特征根与状态转移矩阵 Φ(t)，并由初值求零输入响应
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

三8离散系统渐近稳定性#

思路

• X(k+1)=[[1,4],[-1,-2]]X(k)，判断系统是否渐近稳定

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断给定离散系统 X(k+1)=AX(k) 是否渐近稳定

本卷实例

• 关键一步：离散系统渐近稳定 ⇔ A 的全部特征值模小于 1
• 关键一步：求 det(λI-A)=0 的根并看模
• 关键一步：也可解离散李雅普诺夫方程 AᵀPA-P=-I，判 P 是否正定
• 中间结果：特征多项式为 λ²+λ+2，两根为一对共轭复根
• 卡点：把离散稳定条件写成实部小于零
• 卡点：只解出 P 不检验其正定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断给定离散系统 X(k+1)=AX(k) 是否渐近稳定
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

三9状态反馈极点配置与全维观测器#

思路

• 由 g0(s)=1/[s(s+1)(s+3)] 求状态反馈阵使极点为 -1、-2、-4，并设计观测器极点为 -1、-1、-2

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 求状态反馈矩阵 K，使闭环极点配置为 -1、-2、-4

本卷实例

• 关键一步：先由能控性矩阵满秩确认可任意配置极点
• 关键一步：由期望极点写出期望特征多项式
• 关键一步：比较 det(sI-A+BK) 与期望式的系数解 K
• 中间结果：期望式由 (s+1)(s+2)(s+4) 展开
• 中间结果：闭环特征式末行系数含 k1、k2、k3
• 卡点：未验证能控性就直接配置极点
• 卡点：比较系数时符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过求状态反馈矩阵 K，使闭环极点配置为 -1、-2、-4
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计全维状态观测器，使观测器极点为 -1、-1、-2

本卷实例

• 关键一步：先验证能观性
• 关键一步：设观测器增益阵，由 det(sI-A+GC) 与期望特征多项式比较系数
• 关键一步：观测器方程为 x̂̇=Ax̂+Bu+G(y-Cx̂)
• 中间结果：期望式由 (s+1)²(s+2) 展开
• 中间结果：观测器极点应比系统极点更快
• 卡点：把观测器增益阵与状态反馈增益阵的形式写反
• 卡点：忘记观测器极点需比系统极点快

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计全维状态观测器，使观测器极点为 -1、-1、-2
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

三10LQR 最优控制#

思路

• 由性能指标 J=∫(x2²+u²/4)dt 求最优控制 u*(t) 与最优性能指标

线性二次型最优控制 最优控制

本卷考法

• 由二次型性能指标求最优控制 u*(t) 与最优性能指标

本卷实例

• 关键一步：把性能指标配成标准二次型 xᵀQx+uᵀRu 的形式，定出 Q、R
• 关键一步：解黎卡提代数方程取正定解 P
• 关键一步：由 u*=-R⁻¹BᵀPx 得最优反馈，J*=½xᵀ(0)Px(0)
• 中间结果：B=[1, 0]ᵀ，Q 只在 x2² 上有权重
• 中间结果：黎卡提方程展开为三个代数方程联立
• 卡点：黎卡提方程各项顺序写错导致 P 不对称
• 卡点：取到非正定解而舍去正定解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 性能指标由状态量的二次型与控制量的二次型加权求和
• 最优控制是状态的线性反馈，反馈阵由黎卡提方程的解给出
• 加权阵对状态惩罚越重，闭环响应越快、控制量越大
• 无限时间问题中黎卡提方程取稳态解

步骤

• 写出性能指标与状态方程，确定加权阵
• 写出黎卡提代数方程并列写矩阵元素方程
• 解出正定的解阵，再由反馈公式得到最优反馈增益
• 校验闭环稳定性与加权阵的对称正定性

通用考法

• 本卷考过由二次型性能指标求最优控制 u*(t) 与最优性能指标
• 由性能指标求最优控制律与闭环系统
• 解黎卡提方程求反馈增益阵
• 分析加权阵变化对响应快慢与控制量的影响

常见易错

• 黎卡提方程里的项顺序写错，导致解阵不对称
• 只找到解阵的非正定解而舍去正定解

公式