上海理工大学 867 自动控制理论（含现控） 2022 年真题思维导图
强势双非共 16 题
难度：中等 填空7+简答6+计算9，覆盖梅森、劳斯、根轨迹、超前校正、奈氏与状态空间、李雅普诺夫
一1、一2、一4基本概念填空（控制方式·连接·输入信号）#
思路
- 填空：三种控制方式、结构图三种基本连接方式、常用的四种单位输入信号
本卷实例
- 关键一步：按有无反馈分：开环控制、闭环控制、复合控制
- 中间结果：复合控制等于反馈控制与按扰动控制相结合
- 卡点：把按给定信号分类的恒值、随动、程序误答进去
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
- 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
- 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
- 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
- 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
- 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
- 按信号流向把环节串成闭环方框图
- 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
- 本卷考过填出自动控制系统的三种控制方式
- 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
- 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
- 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
- 把被控量与操纵量搞反
- 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半
本卷实例
- 关键一步：串联、并联、反馈连接三种
- 中间结果：串联相乘、并联相加、反馈按 G/(1±GH) 等效
- 卡点：把三种连接方式写成开环、闭环、复合
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
- 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
- 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
- 识别环节之间的连接方式
- 分别套用串联、并联或反馈等效公式
- 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
- 本卷考过填出结构图的三种基本连接方式
- 多环节系统求闭环传递函数
- 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
- 把负反馈的分母写成 1-GH
- 并联环节相减时符号取反
本卷实例
- 关键一步：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度（抛物线）
- 中间结果：四类输入分别用于考查动态性能与稳态精度
- 卡点：把斜坡与加速度信号的阶次写错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 常用典型输入有冲激、阶跃、斜坡、抛物线（加速度）与正弦五类
- 阶跃信号用于考查快速性与稳定性，斜坡与抛物线用于考查稳态精度
- 正弦信号用于频域分析，冲激响应就是系统的传递函数
- 各典型信号的拉氏变换是分析全响应的起点
步骤
- 按题意写出输入信号的时域表达式
- 对输入取拉氏变换得到该信号的复域形式
- 由输入类型判断考查的是动态性能还是稳态精度
- 把输入代入误差或响应公式计算
通用考法
- 本卷考过填出常用的四种单位输入信号
- 写出典型输入信号的拉氏变换
- 说明某一典型输入信号用于考查哪类性能
- 由输入类型判断稳态误差是否为有限值
常见易错
- 把斜坡与抛物线信号的阶次写错
- 阶跃的拉氏变换漏掉系数（幅度不为 1 时）
一3、一5、一6、一7数学模型与频域填空#
思路
- 填空：无阻尼响应特点、单位负反馈三种传函、最小相位系统定义、一阶积分加惯性环节的幅频相频
本卷实例
- 关键一步：ζ=0 时特征方程有一对纯虚根
- 关键一步：响应为等幅振荡，即无阻尼情形
- 中间结果：无阻尼时振荡频率等于自然频率 ωn
- 卡点：把等幅振荡与衰减振荡说反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过填出 ζ=0 时二阶系统单位阶跃响应的特点
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
本卷考法
- 由前向通道 G(s) 写单位负反馈的开环、闭环与误差传函
本卷实例
- 关键一步：开环传函即 G(s)
- 关键一步：闭环传函为 G/(1+G)
- 关键一步：误差传函为 1/(1+G)
- 中间结果：单位负反馈时误差取在输入端，E/R=1/(1+G)
- 卡点：把闭环传函写成 G/(1-G)
- 卡点：误差传函写成 G/(1+G)
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
- 误差传递函数由结构决定
- 单位反馈时两种定义等价
步骤
- 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
- 由结构图写出误差传递函数
- 乘输入后取 s→0 的极限
通用考法
- 本卷考过由前向通道 G(s) 写单位负反馈的开环、闭环与误差传函
- 写出误差传递函数
- 说明不同误差定义对结果的影响
常见易错
- 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
- 忘记先判断系统是否稳定
本卷实例
- 关键一步：最小相位系统的全部零点和极点都位于左半平面
- 中间结果：同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
- 卡点：只说零点在左半平面而漏掉极点
- 卡点：把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
- 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
- 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
- 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向
步骤
- 检查零点实部符号判断是否最小相位
- 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
- 分析右半平面零点对时域响应的影响
通用考法
- 本卷考过填出最小相位系统的定义
- 判断系统是否最小相位
- 解释阶跃响应初始反向的原因
- 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数
常见易错
- 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
- 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
本卷考法
- 由 G(s)=1/[s(Ts+1)] 写幅频与相频特性
本卷实例
- 关键一步：令 s=jω 代入，分母取模得幅频
- 关键一步：分子相角减分母相角得相频
- 中间结果：A(ω)=1/[ω√((Tω)²+1)]，φ(ω)=-90°-arctan(Tω)
- 卡点：求幅值时没把分母复数取模
- 卡点：漏掉积分环节的 -90°
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过由 G(s)=1/[s(Ts+1)] 写幅频与相频特性
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
二1、二2反馈控制优缺点与稳准快#
思路
- 简答：反馈控制的优缺点并举例；控制系统的稳定性、准确性、快速性三条要求
本卷考法
- 简述反馈控制的优缺点并各举实例
- 答出控制系统的三条基本要求及含义
本卷实例
- 关键一步：优点：抑制扰动、减小偏差、降低对参数变化的敏感度
- 关键一步：缺点：结构复杂、反馈前偏差已产生、可能引起振荡
- 关键一步：稳准快：稳定性第一，准确性看稳态误差，快速性看过渡过程
- 中间结果：三条要求缺一不可，稳定性是讨论其他两条的前提
- 卡点：只答优点不答缺点
- 卡点：三条要求只答名词不解释含义
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
- 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
- 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
- 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
- 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
- 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
- 按信号流向把环节串成闭环方框图
- 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
- 本卷考过简述反馈控制的优缺点并各举实例
- 本卷考过答出控制系统的三条基本要求及含义
- 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
- 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
- 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
- 把被控量与操纵量搞反
- 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半
二3二阶系统参数与性能指标#
思路
- 简答：二阶系统标准形式、两个结构参数以及各动态性能指标的计算公式
本卷实例
- 关键一步：标准形式 Φ(s)=ωn²/(s²+2ξωn s+ωn²)
- 关键一步：结构参数为阻尼比 ξ 与自然频率 ωn
- 中间结果：ξ 决定超调与响应类型，ωn 决定时间尺度
- 卡点：化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过写出二阶系统标准形式及其两个结构参数
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
本卷实例
- 关键一步：σ%=e^(-πξ/√(1-ξ²))×100%
- 关键一步：tp=π/(ωn√(1-ξ²))
- 关键一步：ts≈3.5/(ξωn)（5% 带）或 4.4/(ξωn)（2% 带）
- 中间结果：超调量只由 ξ 决定，各时间指标与 ωn 成反比
- 卡点：把两种误差带的调节时间系数搞混
- 卡点：峰值时间与上升时间公式混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过写出欠阻尼二阶系统各动态性能指标的计算公式
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
二4三种数学模型及转换关系#
思路
- 简答：常用三种数学模型（微分方程、传递函数、频率特性）及它们之间的转换关系
本卷实例
- 关键一步：三种模型为微分方程、传递函数、频率特性
- 关键一步：微分方程在零初始下取拉氏变换得传递函数
- 关键一步：传递函数令 s=jω 得频率特性
- 中间结果：转换链为微分方程到传递函数再到频率特性
- 卡点：漏掉零初始条件这一前提
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过答出常用三种数学模型并写它们之间的转换关系
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
本卷实例
- 关键一步：在传递函数中令 s=jω 即得频率特性
- 中间结果：频率特性是传递函数在虚轴上的取值
- 卡点：把 s=jω 的代换方向写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
- 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
- 相频特性表示输出相对输入的相位差
- 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
- 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
- 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
- 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
- 本卷考过说明传递函数与频率特性之间的转换关系
- 求给定传递函数的幅频与相频表达式
- 计算某频率处的幅值与相角
- 说明频率特性的物理含义
常见易错
- 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
- 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
二5零输入零状态与零初始#
思路
- 简答：零输入响应、零状态响应的理解，以及零初始两方面的含义
本卷实例
- 关键一步：零输入响应：无外加输入，仅由初始储能引起
- 关键一步：零状态响应：初始无储能，仅由输入引起
- 关键一步：零初始：输入侧与输出侧各阶导数在 t=0- 都为零
- 中间结果：全响应等于零输入响应与零状态响应之和
- 卡点：把零初始与零输入响应混为一谈
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过说明零输入响应、零状态响应及零初始两方面的含义
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
二6最优控制概念与方法#
本卷实例
- 关键一步：最优控制：在给定约束下选控制律使性能指标取极值
- 关键一步：主要方法为变分法、极小值原理、动态规划
- 中间结果：性能指标通常写成泛函或二次型，需给出约束与终端条件
- 卡点：只说方法名不说明各自适用场合
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 最优控制问题由状态方程、性能指标与控制量约束共同描述
- 哈密顿函数对控制量取极值是极大值原理的核心条件
- 协态方程与横截条件由哈密顿函数分别对状态量和终端条件给出
- 终端自由时横截条件要求终端协态为零
步骤
- 构造哈密顿函数（性能指标的被积函数加上协态与状态方程的乘积）
- 由哈密顿函数对控制量取极值解出最优控制与协态的关系
- 写出协态方程与边界条件，与状态方程联立
- 求状态与协态的解析解，再回代得最优控制与最优轨线
通用考法
- 本卷考过答出最优控制的基本概念与主要方法
- 用极大值原理求使性能指标极小的最优控制与最优轨线
- 构造哈密顿函数并写出正则方程组
- 判断终端约束对应的横截条件
常见易错
- 终端自由时仍把协态终值取零以外的值，或反之错把终端固定当自由
- 解出控制量后忘记回代状态方程验证
三1梅森公式求传函10 分#
本卷实例
- 关键一步：找出全部单独回路，求特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-…
- 关键一步：找出全部前向通路 Pk 与各自余子式 Δk
- 关键一步：代入 P=ΣPkΔk/Δ
- 中间结果：不接触回路才计入高阶项
- 中间结果：余子式要剔除与该通路接触的回路
- 卡点：不接触回路找漏或重复计数
- 卡点：本题信号流图以图给出，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过用梅森公式求信号流图的 C(s)/R(s)
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
三2劳斯判据判根分布10 分#
思路
- 由特征方程 D=s⁴+5s³+4s²+6s+8=0 判断负实部根、纯虚根与右半平面根的个数
本卷实例
- 关键一步：对特征方程列完整劳斯表
- 关键一步：首列符号变化次数等于右半平面根数
- 关键一步：令 s=jω 代入原方程检验有无纯虚根
- 中间结果：D=s⁴+5s³+4s²+6s+8，缺项要补零
- 中间结果：s⁰ 行为常数项，可据此核对表尾
- 卡点：首列出现 0 不用 ε 法
- 卡点：只数变号次数就断定无纯虚根
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过用劳斯判据判断负实部根、纯虚根与右半平面根的个数
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
三3由性能指标反求参数与稳态误差10 分#
思路
- 由结构图要求 ξ=0.5、单位斜坡稳态误差 0.1，反求参数 k 与 τ
本卷考法
- 由 ξ=0.5 与单位斜坡稳态误差 0.1 反求结构参数 k、τ
本卷实例
- 关键一步：把闭环传函化成标准二阶形式，列出 ωn² 与 2ξωn 的表达式
- 关键一步：由斜坡误差公式写含 k、τ 的误差表达式
- 关键一步：两式联立求 k、τ
- 中间结果：本题闭环特征式含 kτ+1 与 10k 两个组合量
- 卡点：只满足单项指标就下结论
- 卡点：本题结构图以图给出，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
- 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
- 指标之间往往相互制约，需权衡取舍
步骤
- 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
- 在参数平面上画出各不等式的可行域
- 取交集并选取合适的参数值
- 回代验证全部指标是否满足
通用考法
- 本卷考过由 ξ=0.5 与单位斜坡稳态误差 0.1 反求结构参数 k、τ
- 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
- 求满足指标要求的参数取值范围
- 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
- 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
- 把 ξ 的可行域方向取反
本卷实例
- 关键一步：Ⅰ型系统斜坡误差 ess=1/Kv
- 关键一步：先判闭环稳定再用终值定理
- 中间结果：令 ess 等于给定值反解 Kv，再折算开环增益
- 卡点：未判稳就套终值定理求 ess
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过由单位斜坡输入下的稳态误差要求反求开环增益
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
三4根轨迹绘制与临界增益10 分#
思路
- 由 G=K/[s(0.1s+1)(0.2s+1)] 画概略根轨迹，并求系统临界稳定时的 K
本卷考法
- 由 G=K/[s(0.1s+1)(0.2s+1)] 画概略根轨迹
本卷实例
- 关键一步：化成尾 1 形式，开环极点为 0、-5、-10
- 关键一步：实轴段按右侧零极点数为奇数判断
- 关键一步：渐近线 3 条，夹角为 ±60° 与 180°
- 中间结果：分离点方程 1/d+1/(d+5)+1/(d+10)=0，两解中只有一个落在根轨迹上
- 卡点：渐近线夹角公式里 2k+1 写成 2k
- 卡点：分离点求出后不筛选不在根轨迹上的解
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过由 G=K/[s(0.1s+1)(0.2s+1)] 画概略根轨迹
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
本卷实例
- 关键一步：写闭环特征方程 s³+15s²+50s+50K=0
- 关键一步：令 s=jω，实部与虚部分别为零
- 关键一步：联立解出 ω 与临界 K
- 中间结果：由实部方程可先定 ω，再代虚部定 K
- 卡点：只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过求根轨迹与虚轴交点并指出临界稳定时的 K
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
三5串联超前校正设计10 分#
思路
- 原系统 G=K/[s(s+1)]，设计超前校正使 ess≤0.1、ωc≥4.4、γ≥45°、Kg≥10dB
本卷考法
- 设计串联超前校正控制器满足 ess、ωc、γ、Kg 四项指标
本卷实例
- 关键一步：先由 ess≤0.1 定开环增益 K
- 关键一步：算未校正系统在目标 ωc 处的幅值缺口，定最大超前角与 α
- 关键一步：由 α 与 ωm 求两个转折频率，写 Gc(s) 并验算
- 中间结果：超前网络零点是两个转折频率中较高的一个
- 中间结果：ωm 取校正后的目标截止频率
- 卡点：计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
- 卡点：α 与超前角公式方向取反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
- 会使截止频率提高，响应加快
- 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
- 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显
步骤
- 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
- 由最大超前角公式求 α
- 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
- 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
- 本卷考过设计串联超前校正控制器满足 ess、ωc、γ、Kg 四项指标
- 设计串联超前校正装置
- 计算校正后的相角裕度与截止频率
- 分析超前校正的局限性
常见易错
- 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
- α 的取值与超前角公式方向取反
三6奈奎斯特判据判稳10 分#
思路
- 已知开环型别 V=1、右半平面极点数 P=0，由奈氏曲线判断闭环稳定性
本卷考法
- 已知型别 V=1、开环右半平面极点数 P=0，由奈氏曲线判闭环稳定性
本卷实例
- 关键一步：V=1 表明有积分环节，需补画无穷大半径圆弧使曲线闭合
- 关键一步：先确认开环右半平面极点数 P
- 关键一步：数曲线对 (-1,j0) 的净包围圈数 N，按 Z=N+P 判断
- 中间结果：逆时针与顺时针包围要分开计数再取净圈数
- 卡点：看到 V≥1 忘记补画无穷大圆弧
- 卡点：包围圈数符号约定用反
- 卡点：本题奈氏曲线以图给出，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
- P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
- N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
- 逆时针包围为正，顺时针为负
步骤
- 先求开环极点，数出右半平面个数 P
- 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
- 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
- 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
- 本卷考过已知型别 V=1、开环右半平面极点数 P=0，由奈氏曲线判闭环稳定性
- 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
- 求使闭环稳定的开环增益范围
- 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
- 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
- 把包围圈数的正负号定义搞反
- 没有先数开环右半平面极点数 P
三7状态响应与传递函数10 分#
思路
- 由 ẋ=[[0,1],[-2,-3]]x+[0,1]ᵀu 与初值 [1,1]ᵀ、u=1(t) 求输出响应 y(t) 与传递函数
本卷实例
- 关键一步：先求 Φ(t)=L⁻¹[(sI-A)⁻¹]
- 关键一步：用 x(t)=Φ(t)x(0)+∫Φ(t-τ)Bu dτ 求全响应
- 关键一步：再由 y=Cx 得输出响应
- 中间结果：A 的特征值为 -1 与 -2，Φ(t) 是两个指数项的线性组合
- 卡点：卷积积分中变量代换写错
- 卡点：输出方程 y= 源文未印出，需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过由状态方程与初值求系统输出响应 y(t)
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
本卷实例
- 关键一步：计算 (sI-A)⁻¹
- 关键一步：按 G(s)=C(sI-A)⁻¹B 整理成 s 的有理分式
- 中间结果：特征多项式为 s²+3s+2
- 中间结果：本题为真分式，直接项 D=0
- 卡点：漏掉直接传递项 D
- 卡点：把 C(sI-A)⁻¹B 中 C 与 B 的位置写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过由状态空间表达式求传递函数 G(s)
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
三8李雅普诺夫判稳（两法）10 分#
思路
- 求系统平衡状态，并分别用李氏第二法（能量函数）与第一法（特征值）判稳
本卷实例
- 关键一步：令 ẋ1=ẋ2=0 求平衡状态
- 关键一步：第二法取 V=x1²+½x2²，算 V̇ 并判其负定性
- 关键一步：第一法求 A 的特征值，由实部符号判稳
- 中间结果：V̇ 只含 x2² 项，为半负定且只在 x2=0 时为零
- 中间结果：A 的特征值为两个负实根
- 卡点：V 半负定就下结论，未讨论 V̇ 恒为零的情形
- 卡点：把第一法与第二法的依据搞混
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
- 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
- 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
- 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
- 选取或构造李雅普诺夫函数
- 沿系统轨迹求其对时间的导数
- 判断函数与导数的正负定性
- 据此得出稳定性结论
通用考法
- 本卷考过求系统平衡状态，并分别用李氏第二法与第一法判稳
- 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
- 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
- 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
- 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
- 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
三9状态反馈任意极点配置20 分#
思路
- 判断给定状态空间系统能否用状态反馈实现任意极点配置，并求状态反馈阵
本卷考法
- 判断给定状态空间系统能否用状态反馈实现任意极点配置
本卷实例
- 关键一步：构造能控性矩阵 [b, Ab, A²b]
- 关键一步：求秩并与阶数 n=3 比较
- 中间结果：能控性矩阵满秩则系统完全能控
- 卡点：只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 卡点：把能控性矩阵与能观性矩阵的构造搞混
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过判断给定状态空间系统能否用状态反馈实现任意极点配置
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
本卷实例
- 关键一步：验证能控后设 u=-kx+v
- 关键一步：由期望极点写期望特征多项式
- 关键一步：比较 det(sI-A+Bk) 与期望式的系数解 k
- 中间结果：期望式由给定极点展开
- 中间结果：k 由三组系数等式共同确定
- 卡点：未验证能控性就直接配置极点
- 卡点：比较系数时符号写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过求状态反馈阵使闭环极点配置到指定位置
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
