东北电力大学 841 自动控制原理 2022 年真题思维导图

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难度：中等　10题覆盖网络建模、结构图多输入传函、二阶指标、劳斯判据、根轨迹、奈氏判据、超前校正、离散系统与状态空间；多题以图给出。

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1无源网络求传递函数#

思路

• 先由复阻抗列网络方程，再整理成 v_o(s)/v_i(s) 的多项式比。

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 求图示网络的 v_o(s)/v_i(s)
• 由复阻抗列方程并整理成 s 的有理分式

本卷实例

• 关键一步：把电阻、电容、电感写成复阻抗，按分压或节点电流列方程
• 中间结果：先得复阻抗形式的输出比输入，再交叉相乘还原成 s 的多项式比
• 卡点：网络题为原卷插图，元件串并联关系需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过求图示网络的 v_o(s)/v_i(s)
• 本卷考过由复阻抗列方程并整理成 s 的有理分式
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

2结构图多输入传递函数#

思路

• 两输入分别置零，按梅森公式或逐层化简求 C(s)/R1(s) 与 C(s)/R2(s)。

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 由含两个输入的结构图分别求 C(s)/R1(s) 与 C(s)/R2(s)
• 求某一输入传函时把另一输入置零

本卷实例

• 关键一步：求某一输入传函时把另一输入置零，按线性系统分别处理
• 中间结果：分别写两条前向通路与所有回路增益，再整理成 s 的有理分式
• 卡点：结构图为原卷插图，交叉支路走向与比较点位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过由含两个输入的结构图分别求 C(s)/R1(s) 与 C(s)/R2(s)
• 本卷考过求某一输入传函时把另一输入置零
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 用梅森增益公式求多回路结构图的传递函数
• 判断回路是否与前向通路接触

本卷实例

• 关键一步：列前向通路 Pk、回路 L 与两两不接触回路，套梅森公式
• 中间结果：先写 Δ 与各余子式 Δk，再把 PkΔk/Δ 合并
• 卡点：不接触回路易漏算或重复计数；图形需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过用梅森增益公式求多回路结构图的传递函数
• 本卷考过判断回路是否与前向通路接触
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

3二阶系统标准形式与指标#

思路

• 先由图写闭环传函，化成标准二阶式，由 ξ 解出 a，再算各动态指标。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由方框图求闭环传函并化为标准二阶形式
• 由 ξ 与闭环系数反求结构参数 a

本卷实例

• 关键一步：先把闭环传函分母写成 s²+2ξωn s+ωn²，再逐项对应系数
• 中间结果：由 ωn² 与一次项系数联立即可解出 a 的表达式
• 卡点：方框图为原卷插图，内环反馈系数与接法需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由方框图求闭环传函并化为标准二阶形式
• 本卷考过由 ξ 与闭环系数反求结构参数 a
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 已知 ξ 求 ωn、tp、σ%、ts 与 tr
• 注意题目指定 ts 的误差带为 ±2%

本卷实例

• 关键一步：先用 ξ 判断确为欠阻尼，再按对应公式逐项代入 ξ 与 ωn
• 中间结果：tp、σ%、ts、tr 都与 ωn 或 ξ 直接对应
• 卡点：ts 的系数随 2% 与 5% 误差带不同，不要混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过已知 ξ 求 ωn、tp、σ%、ts 与 tr
• 本卷考过注意题目指定 ts 的误差带为 ±2%
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由给定 ξ 要求反求结构参数 a

本卷实例

• 关键一步：由标准二阶形式的一次项系数 2ξωn 反解 a
• 中间结果：ωn 与一次项系数联立后消去 ωn，只剩 a 的一次方程
• 卡点：先判系统是否确为二阶；结构图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由给定 ξ 要求反求结构参数 a
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

4劳斯判据与等幅振荡#

思路

• 列含 K 的闭环特征方程，用劳斯表求临界 K 与持续振荡频率，再定稳定范围。

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据求系统持续等幅振荡的 K 值
• 求产生持续振荡的频率

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表，出现全零行时用上一行系数写辅助方程
• 中间结果：辅助方程的根给出持续振荡角频率，临界 K 由全零行条件定
• 卡点：全零行要用辅助方程求振荡参数，不能直接判不稳

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据求系统持续等幅振荡的 K 值
• 本卷考过求产生持续振荡的频率
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 确定系统稳定时 K 的取值上界
• 结合劳斯表首列各元素同号列不等式组

本卷实例

• 关键一步：由劳斯表首列全部大于零列出 K 的不等式组
• 中间结果：稳定域是各不等式解的交集，注意端点是否包含
• 卡点：答案段对稳定上界先后印两个不同数值，以劳斯表不等式自洽解为准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过确定系统稳定时 K 的取值上界
• 本卷考过结合劳斯表首列各元素同号列不等式组
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

5根轨迹绘制与欠阻尼范围#

思路

• 按开环零极点画根轨迹，再求分离点与欠阻尼 K 范围。

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 绘制 K 从 0→∞ 的闭环根轨迹
• 写出开环零极点、实轴段与渐近线

本卷实例

• 关键一步：由 G(s) 的分母写出开环极点，分子写出开环零点
• 中间结果：实轴段按右侧零极点个数为奇数判断；渐近线条数由 n−m 决定
• 卡点：题目只给 G(s) 表达式，根轨迹草图需逐项按法则绘制

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过绘制 K 从 0→∞ 的闭环根轨迹
• 本卷考过写出开环零极点、实轴段与渐近线
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹分离点坐标
• 确定分离点对应的 K 值

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征方程按重根条件列分离点方程
• 中间结果：解出候选 d 后要筛选落在根轨迹上的实根
• 卡点：两个候选根中只有位于实轴根轨迹段上的才有效

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹分离点坐标
• 本卷考过确定分离点对应的 K 值
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 求系统呈欠阻尼状态时 K 的范围
• 证明复数根轨迹是圆的一部分

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征根写作 σ±jω，用根与系数关系消去 K
• 中间结果：由 s1+s2 与 s1s2 关系可整理出圆的方程
• 卡点：欠阻尼对应闭环共轭复根；端点由分离点处 K 值界定
• 卡点：圆轨迹证明属根轨迹几何性质，借 rl_07 收录

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过求系统呈欠阻尼状态时 K 的范围
• 本卷考过证明复数根轨迹是圆的一部分
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

6奈氏判据判稳#

思路

• 先写频率特性画 Nyquist 曲线，再用 Z=P−2N 判稳。

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 写出开环 G(jω) 的幅频与相频表达式
• 求曲线与负实轴交点频率处的幅值

本卷实例

• 关键一步：令 φ(ω)=−180° 求相位穿越频率 ωx
• 中间结果：把 ωx 代回 |G(jω)| 得曲线与负实轴交点坐标
• 卡点：G(s) 含一个右半平面极点时 P=1，画曲线前先数清

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过写出开环 G(jω) 的幅频与相频表达式
• 本卷考过求曲线与负实轴交点频率处的幅值
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用 Nyquist 判据确定闭环稳定时 K 的取值

本卷实例

• 关键一步：数开环右半平面极点数 P，再数曲线包围 (−1,j0) 的净圈数 N
• 中间结果：按 Z=P−2N 判闭环右半平面极点数，Z=0 即稳定
• 卡点：包围圈数正负号易记反；含积分环节时还要补画无穷大圆弧

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用 Nyquist 判据确定闭环稳定时 K 的取值
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

7串联超前校正#

思路

• 由校正装置表达式画 Bode 并说明超前校正原理。

超前校正 系统校正

本卷考法

• 说明基于频率法的串联超前校正原理
• 分析超前校正对中频段与相角裕度的影响

本卷实例

• 关键一步：把 Gc=(aTs+1)/(Ts+1) 的最大超前角与转折频率对应起来
• 中间结果：最大超前角发生在两个转折频率的几何中点
• 卡点：最大超前角只在一段频率内有效，不是全频段相角提升

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
• 会使截止频率提高，响应加快
• 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
• 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显

步骤

• 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
• 由最大超前角公式求 α
• 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
• 写出校正装置传递函数并校验

通用考法

• 本卷考过说明基于频率法的串联超前校正原理
• 本卷考过分析超前校正对中频段与相角裕度的影响
• 设计串联超前校正装置
• 计算校正后的相角裕度与截止频率
• 分析超前校正的局限性

常见易错

• 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
• α 的取值与超前角公式方向取反

公式

典型环节的对数频率特性 频域分析

本卷考法

• 绘制超前校正装置的 Bode 图
• 标出两个转折频率与高频段斜率

本卷实例

• 关键一步：写出 Gc(jω) 的幅频与相频，找转折频率 1/(aT) 与 1/T
• 中间结果：幅频在低频为 1，高频趋近 1/a；相频先升后降
• 卡点：分子转折频率更低，幅频先升后平；不要把超前网络判成滞后

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例环节是水平线，积分与微分分别是 -20 与 +20 dB/dec 的斜线
• 惯性环节转角频率为 1/T，高频段渐近线斜率为 -20 dB/dec
• 一阶微分环节与惯性环节幅频互为镜像
• 振荡环节在 ωn 附近出现谐振峰，ξ 越小峰越高

步骤

• 把传递函数分解为典型环节乘积
• 逐环节画出对数幅频渐近线与相频曲线
• 代数相加得到总特性

通用考法

• 本卷考过绘制超前校正装置的 Bode 图
• 本卷考过标出两个转折频率与高频段斜率
• 画出某一典型环节的 Bode 图
• 由 Bode 图识别环节类型
• 说明转角频率处的幅值与相角

常见易错

• 把惯性环节高频渐近线的 -20 写成 -40
• 振荡环节谐振峰位置误当作 ωn

公式

8离散系统闭环脉冲传函与稳定性#

思路

• 先求开环脉冲传函，再写闭环 Φ(z)，由闭环极点判稳。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由结构图与连续部分求开环脉冲传函 G(z)
• 由 G(z) 写闭环脉冲传函 Φ(z)

本卷实例

• 关键一步：按结构图判断采样开关位置，再对连续部分作 z 变换
• 中间结果：开环脉冲传函写成 z 的有理分式后，Φ=G/(1+G)
• 卡点：题面结构图与采样周期在 OCR 中缺失，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由结构图与连续部分求开环脉冲传函 G(z)
• 本卷考过由 G(z) 写闭环脉冲传函 Φ(z)
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散系统闭环稳定性
• 用闭环极点模小于 1 或朱莉判据判稳

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征方程 D(z)=0，解出闭环极点
• 中间结果：所有闭环极点模小于 1 时系统稳定
• 卡点：离散稳定判据是模小于 1，不是实部小于零；图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散系统闭环稳定性
• 本卷考过用闭环极点模小于 1 或朱莉判据判稳
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

9状态转移矩阵与状态响应#

思路

• 由 A 求 (sI−A)⁻¹ 得 Φ(t)，再乘初值求 u=0 状态响应，并由 C 求 G(s)。

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求状态转移矩阵 Φ(t)=e^{At}
• 求 u=0 时由初值引起的状态响应 x(t)

本卷实例

• 关键一步：先算 (sI−A)⁻¹，再逐项取拉氏反变换
• 中间结果：x(t)=Φ(t)x(0)，把初值列向量代入即可
• 卡点：题面矩阵有 OCR 乱码；A、B、C 需回原卷核对题面

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求状态转移矩阵 Φ(t)=e^{At}
• 本卷考过求 u=0 时由初值引起的状态响应 x(t)
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数 G(s)

本卷实例

• 关键一步：按 G(s)=C(sI−A)⁻¹B 计算，若含直通项再加 D
• 中间结果：先求逆矩阵，再左乘 C、右乘 B，最后合并
• 卡点：漏掉直接传递项 D 是常见错误；矩阵以原卷为准

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数 G(s)
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

10能控性与能观性#

思路

• 分别构造能控、能观判别矩阵，比较秩与状态维数。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性
• 判断系统的能观性

本卷实例

• 关键一步：能控矩阵取 [B AB A²B]，能观矩阵取 [C; CA; CA²]
• 中间结果：分别求两个判别矩阵的秩，与状态维数 3 比较
• 卡点：题面 OCR 只印第1问，答案段另有能观性；A、B、C 需回原卷核对图中矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性
• 本卷考过判断系统的能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式