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同济大学 825 自动控制理论(含现控) 2016 年真题思维导图

985 院校共 12 题

难度:中等 12题覆盖过程控制方框图、机械建模、二阶响应辨识、根轨迹与阻尼比、正弦稳态输出、奈氏判稳、Bode反求、斜坡无差校正、非线性相平面、状态反馈与观测器、非线性奇点稳定性、采样系统

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1一、锅炉液位控制系统方框图10 分#

思路
  • 由锅炉液位控制系统示意图写出控制方框图,并说明各组成部分的作用
本卷考法
  • 写出控制方框图并指认各环节功能
本卷实例
  • 关键一步:按给定值、被控量、执行器与测量反馈梳理闭环
  • 中间结果:逐环节说明变送、调节、执行与被控对象作用
  • 卡点:系统示意图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过写出控制方框图并指认各环节功能
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 本卷考过只画方框图而不说明各环节作用
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 指出被控对象、被控量与操纵量
本卷实例
  • 关键一步:由锅炉液位工艺确定被控量为液位
  • 中间结果:操纵量为调节阀开度并指出主要扰动
  • 卡点:工艺流程图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过指出被控对象、被控量与操纵量
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 本卷考过把被控量与操纵量搞反
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

2二、机械系统微分方程与传函10 分#

思路
  • 以重力平衡点为初始点列机械系统运动方程,消去中间变量求传递函数
机械系统建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 列写含重力平衡的机械系统微分方程
本卷实例
  • 关键一步:以平衡点为原点列合力等于质量乘加速度
  • 中间结果:整理成输入 F 到输出 y 的微分方程
  • 卡点:受力图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
  • 三种基本元件:质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
  • 同一方向取正,反向取负,逐项列出合力
步骤
  • 选定正方向并作受力分析
  • 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
  • 按 F=ma 列写运动方程
  • 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
  • 本卷考过列写含重力平衡的机械系统微分方程
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
  • 本卷考过受力方向容易写反
  • 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
本卷考法
  • 由微分方程求输入到输出的传递函数
本卷实例
  • 关键一步:对微分方程两端作拉氏变换
  • 中间结果:整理成输出比输入的有理分式
  • 卡点:方程系数需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 电路用复阻抗法:电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
  • 机械平移系统三种元件:质量 m、阻尼 f、弹簧 k
  • 先列物理定律方程,再消去中间变量
  • 列方程的依据:KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
  • 画出复阻抗等效电路或受力分析图
  • 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
  • 消去中间变量,得到只含输入输出的方程
  • 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
  • 本卷考过由微分方程求输入到输出的传递函数
  • 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
  • 本卷考过零初始条件之外仍把初值带入变换
  • 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
  • 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式

3三、由阶跃响应求二阶传函与调节时间#

思路
  • 由单位阶跃响应曲线读超调量与峰值时间,反求二阶传函参数再算调节时间
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由阶跃响应求二阶系统阻尼比与自然频率
本卷实例
  • 关键一步:由超调量与峰值时间公式联立求阻尼比与自然频率
  • 中间结果:代入增益得闭环传递函数
  • 卡点:响应曲线读数需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由阶跃响应求二阶系统阻尼比与自然频率
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 本卷考过把 s 平方项系数未归一化就读参数
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 计算给定误差带下的调节时间
本卷实例
  • 关键一步:按题目给定误差带选调节时间公式
  • 中间结果:由阻尼比与自然频率算出调节时间
  • 卡点:误差带要求需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过计算给定误差带下的调节时间
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 本卷考过把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
本卷考法
  • 由阶跃响应曲线反求二阶传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先由稳态值确定增益
  • 中间结果:再由峰值与超调量确定动态参数
  • 卡点:曲线坐标需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态值决定增益 K
  • 超调量只由阻尼比 ξ 决定
  • 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
  • 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
  • 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
  • 判断系统是一阶还是二阶(看有无振荡)
  • 由超调量反求 ξ,再由峰值时间反求 ωn
  • 写出标准形式并补上增益
通用考法
  • 本卷考过由阶跃响应曲线反求二阶传递函数
  • 由实验阶跃响应曲线求传递函数
  • 由给出的性能指标反求参数
常见易错
  • 本卷考过未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式

4四、由闭环传函求开环、根轨迹与阻尼比15 分#

思路
  • 由闭环传函反求开环传函,画根轨迹并求阻尼比 0.707 对应的增益
串联、并联与反馈等效 结构图与方框图
本卷考法
  • 由闭环传递函数反求开环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:由闭环传函等于 G 除以 1 加 G 解出 G
  • 中间结果:整理成开环有理分式
  • 卡点:闭环表达式需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 串联环节相乘,并联环节相加(同向)或相减(反向)
  • 负反馈等效为 G/(1+GH),正反馈为 G/(1-GH)
  • 反馈等效的前提是单回路、无交叉
步骤
  • 识别环节之间的连接方式
  • 分别套用串联、并联或反馈等效公式
  • 逐层化简直到只剩一个等效环节
通用考法
  • 本卷考过由闭环传递函数反求开环传递函数
  • 多环节系统求闭环传递函数
  • 判断反馈极性对分母符号的影响
常见易错
  • 本卷考过负反馈分母写成 1 加 GH 时符号取反
  • 把负反馈的分母写成 1-GH
  • 并联环节相减时符号取反
公式
本卷考法
  • 绘制闭环系统根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:找出开环零点与极点并定分支数
  • 中间结果:按渐近线与实轴段画轨迹
  • 卡点:开环零极点需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过绘制闭环系统根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 本卷考过实轴段判据的零极点个数算错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 由指定阻尼比求根轨迹增益
本卷实例
  • 关键一步:在 s 平面画等阻尼比射线
  • 中间结果:与根轨迹交点处用幅值条件求增益
  • 卡点:增益定义需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过由指定阻尼比求根轨迹增益
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 本卷考过把等阻尼线画成垂直线
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式

5五、正弦输入下的稳态输出20 分#

思路
  • 由单位反馈开环传函求闭环频率特性,再按正弦输入的幅值与相角写稳态输出
本卷考法
  • 由开环传函求闭环频率特性并算正弦稳态输出
本卷实例
  • 关键一步:先求闭环传函再代入 s 等于 jω
  • 中间结果:算输入频率处的幅值与相角
  • 卡点:输入幅值与频率需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由开环传函求闭环频率特性并算正弦稳态输出
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 本卷考过相角累加时漏掉环节的负相角
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

6六、由幅相曲线判断闭环稳定性15 分#

思路
  • 按给定 P 值数奈氏曲线包围临界点圈数,分别判断三条幅相曲线的闭环稳定性
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 由幅相曲线和开环右半平面极点数判断闭环稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先读 P 再数曲线对临界点的包围次数
  • 中间结果:按闭环右极点数等于 P 减两倍包围次数判稳
  • 卡点:三条曲线需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过由幅相曲线和开环右半平面极点数判断闭环稳定性
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 本卷考过把包围圈数的正负号定义搞反
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式
本卷考法
  • 识别幅相曲线的起点、终点与坐标轴交点
本卷实例
  • 关键一步:由开环传函判断低频与高频走向
  • 中间结果:在曲线上标出与实虚轴交点
  • 卡点:曲线形状需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过识别幅相曲线的起点、终点与坐标轴交点
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 本卷考过把幅相曲线与根轨迹混淆
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式

7七、由Bode图求传函与裕度15 分#

思路
  • 由Bode图读转折频率与低频斜率反求传函,再求穿越频率与相角裕度
本卷考法
  • 由Bode图反求开环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:由低频斜率定积分环节个数
  • 中间结果:由各转折频率处斜率变化定时间常数
  • 卡点:Bode图坐标需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由Bode图反求开环传递函数
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 本卷考过把斜率变化对应的环节阶数判错
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 求穿越频率与相角裕度
本卷实例
  • 关键一步:由幅频渐近线求截止频率
  • 中间结果:代入相频表达式算相角裕度
  • 卡点:幅频渐近线需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过求穿越频率与相角裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 本卷考过把截止频率与相位穿越频率用反
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

8八、斜坡无差时校正装置的最简形式20 分#

思路
  • 要使单位反馈系统在斜坡输入下无稳态误差,须提高系统型别,再校核闭环稳定性
本卷考法
  • 由斜坡无差要求判断所需系统型别
本卷实例
  • 关键一步:由速度误差系数有限反推系统型别
  • 中间结果:确定校正装置至少含几个积分环节
  • 卡点:原系统结构图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
  • 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
  • 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
  • 把开环传递函数写成分式,数出 s 的幂次即型别
  • 按型别选择对应的静态误差系数公式
  • 代入求值
通用考法
  • 本卷考过由斜坡无差要求判断所需系统型别
  • 判断系统型别
  • 求静态位置、速度、加速度误差系数
  • 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
  • 本卷考过数错积分环节个数导致型别判错
  • 把开环增益与静态误差系数混为一谈
  • 数错积分环节个数导致型别判错
公式
本卷考法
  • 求单位斜坡输入下的稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:写出误差传函后应用终值定理
  • 中间结果:由速度误差系数得稳态误差表达式
  • 卡点:输入类型需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过求单位斜坡输入下的稳态误差
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 本卷考过未判稳就使用终值定理
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
本卷考法
  • 说明单纯增加积分环节对稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:增加积分环节提高型别但降低稳定裕度
  • 中间结果:再引入零点或校正环节恢复稳定
  • 卡点:闭环特征方程需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 提高开环增益可减小有差系统的误差,但会削弱稳定性
  • 增加积分环节可提高型别,代价是相位滞后与超调增大
  • 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
  • 采用扰动补偿可提高扰动不变性
步骤
  • 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
  • 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
  • 校验补偿后系统仍然稳定
  • 重新计算稳态误差确认达标
通用考法
  • 本卷考过说明单纯增加积分环节对稳定性的影响
  • 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
  • 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
  • 说明为何单纯提高增益不可行
常见易错
  • 本卷考过只谈误差减小而不检查稳定性
  • 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
  • 把增加积分环节的影响单一化,忽略超调
公式

9九、非线性系统奇点与相轨迹10 分#

思路
  • 令导数项为零求非线性系统奇点,再在奇点附近线性化并画相轨迹
相平面法 非线性系统
本卷考法
  • 求奇点并在奇点附近作相轨迹
本卷实例
  • 关键一步:令速度与加速度为零解奇点坐标
  • 中间结果:在奇点处线性化后判奇点类型
  • 卡点:相轨迹形状需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相平面以误差及其导数为坐标,适用于一、二阶非线性系统
  • 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
  • 奇点对应系统的平衡状态,奇点类型决定局部行为
  • 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
  • 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
  • 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
  • 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
  • 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
  • 本卷考过求奇点并在奇点附近作相轨迹
  • 画出给定初始条件下的相轨迹
  • 判断奇点类型与稳定性
  • 分析极限环的存在与形态
常见易错
  • 本卷考过相轨迹斜率公式中分子分母写反
  • 相轨迹斜率公式中分子分母写反
  • 把相轨迹与根轨迹混淆
公式
非线性系统的特点 非线性系统
本卷考法
  • 说明非线性系统奇点类型与稳定性的关系
本卷实例
  • 关键一步:由线性化特征根实部判断奇点类型
  • 中间结果:结合非线性项说明局部结论
  • 卡点:方程系数需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 不满足叠加原理,输出与初始条件、输入幅值都有关
  • 可能出现自持振荡即极限环
  • 响应可能对初始条件敏感,出现跳跃谐振
  • 线性系统的稳定性概念需要推广为局部稳定性
步骤
  • 确认系统含明显非线性环节
  • 判断该非线性是本质非线性还是可线性化的弱非线性
  • 按非线性分析方法选择描述函数法或相平面法
通用考法
  • 本卷考过说明非线性系统奇点类型与稳定性的关系
  • 说明非线性系统与线性系统的本质差别
  • 指出同步振荡、跳跃谐振等特有现象
  • 判断某系统应选用哪种分析方法
常见易错
  • 本卷考过把非线性系统线性化后沿用全部线性结论
  • 把非线性环节线性化后直接沿用线性理论的全部结论
  • 认为非线性系统一定不稳定

10十、状态反馈与全维状态观测器20 分#

思路
  • 验证能控能观后设计状态反馈实现极点配置,再设计全维观测器配置观测器极点
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判断系统的能控性与能观性
本卷实例
  • 关键一步:按定义构造能控与能观判别阵
  • 中间结果:由秩判断是否完全能控能观
  • 卡点:系统矩阵元素需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判断系统的能控性与能观性
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 本卷考过只算到二阶矩阵就下结论
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 设计状态反馈矩阵配置闭环极点
本卷实例
  • 关键一步:由期望极点写特征多项式并与实际比较
  • 中间结果:解出反馈增益矩阵各元素
  • 卡点:反馈符号约定需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过设计状态反馈矩阵配置闭环极点
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 本卷考过未验证能控性就直接配置极点
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式
状态观测器设计 状态空间分析
本卷考法
  • 设计全维状态观测器配置观测器极点
本卷实例
  • 关键一步:由期望观测器极点写特征多项式
  • 中间结果:比较系数求观测器增益阵
  • 卡点:输出矩阵需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态观测器用输出与输入重构状态,前提是系统能观
  • 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
  • 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
  • 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
  • 验证系统能观性
  • 写出观测器方程并求误差动态矩阵
  • 按期望特征多项式比较系数求出 L
  • 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
  • 本卷考过设计全维状态观测器配置观测器极点
  • 设计全维状态观测器
  • 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
  • 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
  • 本卷考过把观测器增益阵写成状态反馈增益阵形式
  • 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
  • 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式

11十一、非线性状态方程奇点稳定性#

思路
  • 在奇点处求雅可比矩阵并化线性化系统,再由特征值判断稳定性
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 用李雅普诺夫第一法分析非线性系统奇点稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先求奇点再算雅可比矩阵
  • 中间结果:由线性化系统特征值判断稳定性
  • 卡点:非线性方程OCR残缺需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过用李雅普诺夫第一法分析非线性系统奇点稳定性
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 本卷考过只判断平衡点存在就下稳定性结论
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
本卷考法
  • 说明非线性系统在奇点附近的稳定性判据
本卷实例
  • 关键一步:区分线性化稳定与李雅普诺夫稳定
  • 中间结果:据特征值实部符号给出结论
  • 卡点:方程第二式需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 非线性系统只有局部稳定性概念,与初始条件有关
  • 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
  • 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
  • 用描述函数或相平面结果指导参数选择
步骤
  • 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
  • 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
  • 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
  • 重新分析确认自振消除或幅值达标
通用考法
  • 本卷考过说明非线性系统在奇点附近的稳定性判据
  • 提出消除自振的工程措施
  • 分析增益变化对极限环幅值的影响
  • 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊
常见易错
  • 本卷考过把不稳定极限环误判为可观测的自振
  • 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
  • 把不稳定极限环误判为可观测的自振

12十二、采样系统脉冲传函与稳定性10 分#

思路
  • 由采样系统结构图求开环与闭环脉冲传函,再用 z 域判据判断 K 等于 8 时的稳定性
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求采样系统的脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先求连续部分的 z 变换并计入零阶保持器
  • 中间结果:按系统结构写出闭环脉冲传函
  • 卡点:采样开关位置需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求采样系统的脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 本卷考过把无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 判断离散系统在给定增益下的稳定性
本卷实例
  • 关键一步:求闭环特征方程并按 z 域判据分析
  • 中间结果:代入给定增益判断特征根是否在单位圆内
  • 卡点:采样周期与结构图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过判断离散系统在给定增益下的稳定性
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而非模小于 1
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式