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同济大学 825 自动控制理论(含现控) 2025 年真题思维导图

985 院校共 11 题

难度:中等偏难 11 题 150 分;从「人走路」的生活系统建模起手,后面是能观标准型、劳斯定稳定域与斜坡误差、奈奎斯特圆证明、由误差响应反求参数、频域定义与裕度、超前校正、PID 全指标、极点配置、相平面、根轨迹三小问,概念题与计算题并重

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1一、生活系统的闭环控制建模#

思路
  • 把人眼识路看作闭环控制系统,指出四个环节并画方框图
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 指出系统的被控对象、检测变送、控制器与执行器
  • 画出系统的闭环控制方框图
本卷实例
  • 关键一步:按四大环节对号入座
  • 关键一步:被控量是要维持的工艺变量,这里是人走的路线或方向;给出参考的是环境中的路标
  • 关键一步:方框图按给定、比较、控制、执行、对象、反馈的顺序串起来,反馈支路从被控量回到比较点
  • 关键一步:眼睛相当于检测变送,大脑相当于控制器,肢体相当于执行器,行进方向相当于被控对象
  • 中间结果:这类题的难点不在计算,而在把生活语言的每个动作对应到工程术语,对应错一个后面全错
  • 卡点:把眼睛当成执行器或把大脑当成检测环节;或方框图漏掉反馈支路就不是闭环了
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过指出系统的被控对象、检测变送、控制器与执行器
  • 本卷考过画出系统的闭环控制方框图
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

2二、由微分方程写可观测标准型#

思路
  • 由二阶微分方程求传函,再写成可观测标准型的状态空间表达式
本卷考法
  • 由微分方程或传递函数写出可观测标准型实现
本卷实例
  • 关键一步:先在零初始条件下取拉氏变换,得到分子是一次的真分式传函
  • 关键一步:分母首一化后把各次系数按升幂或降幂填入系统矩阵的相应位置,分子系数填入输入向量
  • 关键一步:可观测标准型的输出矩阵取成只取出第一个状态,本题输出矩阵第一个元素为 1、其余为零
  • 中间结果:分母是二次三项式、分子是一次多项式,系统矩阵是二阶
  • 中间结果:输入向量两维,写出后可用传函公式回算校验
  • 卡点:分子分母系数填错行;或把可观测标准型与能控标准型混淆,两者互为对偶形式,填法正好转置
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过由微分方程或传递函数写出可观测标准型实现
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式

3三、劳斯判据定稳定域与斜坡误差#

思路
  • 由劳斯判据求稳定增益范围,再按型别求单位斜坡下的稳态误差
劳斯判据 稳定性分析
本卷考法
  • 用劳斯判据确定系统稳定时的增益取值范围
本卷实例
  • 关键一步:写出闭环特征方程,把含增益的项展开后逐项整理成系数多项式
  • 关键一步:列劳斯表时首列所有元素必须同号,逐个列出不等式
  • 关键一步:本题分子的零点进入特征方程的常数项与一次项,使不等式退化为对增益的单一符号要求
  • 中间结果:整理后可发现劳斯表首列的两个约束合并成一个,也就是只要增益为正系统就稳定
  • 卡点:只列部分首列不等式;或把开环增益与特征方程系数混为一谈
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 特征方程各项系数全为正只是必要条件,不充分
  • 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
  • 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
  • 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
  • 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
  • 若某次幂系数缺项,该项补零
  • 列劳斯表:前两行为系数,之后各行按交叉相减
  • 检查首列符号:全同号则稳定,有变号则数出个数
通用考法
  • 本卷考过用劳斯判据确定系统稳定时的增益取值范围
  • 判断给定系统的稳定性
  • 指出右半平面闭环极点的个数
  • 求使系统稳定的参数范围
常见易错
  • 系数有缺项时不补零,直接套用判据
  • 首列出现 0 后仍按常规继续算,未用 ε 法
公式
本卷考法
  • 求单位斜坡输入下的稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:先数积分环节个数确定型别,本题分母含一个 s,属 Ⅰ 型系统
  • 关键一步:求静态速度误差系数时要保留分子常数项,它是把型别折算后乘进来的增益
  • 关键一步:稳态误差等于斜坡幅度除以速度误差系数,本题结果是一个与增益成反比的表达式
  • 中间结果:开环分子是增益乘一个一次因式,求极限后速度误差系数等于增益乘零点常数再除以分母常数
  • 卡点:未判稳就代终值定理;或求速度误差系数时把 s 乘错位置
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过求单位斜坡输入下的稳态误差
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式

4四、奈奎斯特圆与闭环稳定条件#

思路
  • 证明一类特殊开环的奈奎斯特图是圆,并分 aᵢ 全正与部分为负讨论稳定条件
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 证明给定开环传递函数的奈奎斯特图是圆
  • 分情形给出闭环稳定的条件
本卷实例
  • 关键一步:把每个因式写成分子分母同为一次的形式
  • 关键一步:模为一的乘积仍是一,因此开环传函的轨迹上每一点到点的距离都等于常数,轨迹必落在圆上
  • 关键一步:圆的圆心由常数项决定、半径由增益决定,位置关系由此确定
  • 关键一步:s 取纯虚数时分子与分母的模相等,每个因式的模都是一
  • 中间结果:aᵢ 全为正时开环没有右半平面极点
  • 中间结果:aᵢ 中有负数时右半平面开环极点数等于负数的个数
  • 中间结果:闭环稳定要求临界点落在圆外,即常数加一大于增益的绝对值
  • 中间结果:临界点须落在圆内并满足对应的包围圈数要求
  • 卡点:证明圆时只算两个特殊频率点就下结论;或讨论稳定条件时忘记先数右半平面开环极点数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过证明给定开环传递函数的奈奎斯特图是圆
  • 本卷考过分情形给出闭环稳定的条件
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式

5五、由误差响应与性能指标反求参数#

思路
  • 同一被控对象,两小问分别由误差响应表达式与阶跃指标反求增益与极点参数
本卷考法
  • 由单位阶跃下的误差响应表达式反求系统参数
本卷实例
  • 关键一步:误差响应是误差传函乘输入的拉氏反变换,先把它拉氏变换成 s 的有理分式
  • 关键一步:再乘 s 除掉输入因子,即得误差传函的有理分式形式
  • 关键一步:把误差传函与由开环传函写出的一加开环分之一逐项比较系数,解出增益与极点参数
  • 中间结果:本题误差响应的两个指数项对应误差传函的两个实极点,系数比较后得到一组很整齐的参数
  • 卡点:忘记乘以 s 这一步,直接把误差响应当成误差传函;或把误差传函写成开环传函本身
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差有两种定义:输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s),须看清题意
  • 误差传递函数由结构决定
  • 单位反馈时两种定义等价
步骤
  • 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
  • 由结构图写出误差传递函数
  • 乘输入后取 s→0 的极限
通用考法
  • 本卷考过由单位阶跃下的误差响应表达式反求系统参数
  • 写出误差传递函数
  • 说明不同误差定义对结果的影响
常见易错
  • 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
  • 忘记先判断系统是否稳定
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由峰值时间与超调量反求系统参数
本卷实例
  • 关键一步:超调量只由阻尼比决定,先由超调量公式反解阻尼比
  • 关键一步:再由峰值时间公式与已求出的阻尼比解出自然频率
  • 关键一步:闭环传函的增益等于自然频率的平方,极点参数等于二倍阻尼比乘自然频率
  • 中间结果:超调量按给定倍数取指数后反解阻尼比
  • 中间结果:本题阻尼比与自然频率都是整齐的数,代回可核对峰值时间
  • 卡点:把超调量公式里的指数写反;或先解自然频率再用超调量,导致迭代
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过由峰值时间与超调量反求系统参数
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式

6六、频域定义与由对数幅频求裕度#

思路
  • 先默写频率特性与三个频域指标的定义,再由给定对数幅频渐近线求传函、画相频并计算裕度
本卷考法
  • 给出线性定常系统频域特性的定义与各频域指标的定义
本卷实例
  • 关键一步:频率特性是传递函数中把复变量替换成纯虚数后得到的复变函数,反映系统对正弦输入的稳态响应
  • 关键一步:截止频率是开环幅值等于一处对应的频率,相角裕度是该频率处相角与负一百八十度的差
  • 关键一步:幅值裕度是相位等于负一百八十度处幅值的倒数,用分贝表示时取负二十倍对数
  • 中间结果:几个定义要写成一句话,含「在什么频率处、量的是什么、与什么相减」,不含公式的口述容易丢分
  • 卡点:把截止频率与相位穿越频率用反;或幅值裕度忘记取倒数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过给出线性定常系统频域特性的定义与各频域指标的定义
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
本卷考法
  • 由开环对数幅频渐近线求传递函数并概略画相频特性
本卷实例
  • 关键一步:低频段斜率定型别、高度定增益,转折频率处的斜率变化定环节类型
  • 关键一步:最小相位系统的相频特性可由各环节相角累加得到,注意积分环节固定贡献负九十度
  • 关键一步:画相频时按转折频率分段,用每段趋近的相角值定位
  • 中间结果:题面给出的反正切数值就是为读传递函数与算裕度准备的,正好对应某个转折频率处的相角
  • 卡点:最小相位系统的相频也可由渐近线直接推,但不要忘记积分环节的相位起点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由开环对数幅频渐近线求传递函数并概略画相频特性
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 计算相角裕度与幅值裕度
  • 说明截止频率与相角裕度对动态性能的影响
本卷实例
  • 关键一步:先由幅频曲线求幅值穿越频率,代进相频表达式得相角裕度
  • 关键一步:再找相频等于负一百八十度的频率,该处幅值取倒数并换算成分贝即为幅值裕度
  • 关键一步:截止频率越大响应越快但抗噪能力下降;相角裕度越大超调越小、但过大时响应变慢
  • 中间结果:两个裕度都用同一个开环传函计算,只是代入的频率不同,注意别把两个频率用反
  • 卡点:把幅值裕度写成幅值的分贝值而不取倒数;或把截止频率与相角裕度的作用说反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过计算相角裕度与幅值裕度
  • 本卷考过说明截止频率与相角裕度对动态性能的影响
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

7七、串联超前校正设计#

思路
  • 开环增益已定为 200,设计超前校正网络使相角裕度不低于 50° 并校验
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 设计串联超前校正网络使相角裕度达到给定要求并验证
本卷实例
  • 关键一步:先算未校正系统在给定增益下的相角裕度,确认差多少度
  • 关键一步:把需要的相角增量再留余量,作为超前网络的最大超前角
  • 关键一步:把最大超前角出现的频率安放在校正后的幅值穿越频率处,再由该频率处的幅值条件定另一个参数
  • 关键一步:用最大超前角公式反解两个时间常数之比
  • 中间结果:校正后要重新算一次穿越频率与相角裕度,确认不小于五十度;题给的两个反正切数值正是用在这一步
  • 卡点:只按相角差配参数而不校核幅值穿越频率是否移动;或忘记留补偿余量导致裕度刚好差一点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过设计串联超前校正网络使相角裕度达到给定要求并验证
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式

8八、PID 闭环性能指标估算#

思路
  • 给定 PID 三个参数与对象,先写出闭环特征方程,再由主导极点估算超调量与调节时间
本卷考法
  • 由给定 PID 参数写出闭环特征方程
本卷实例
  • 关键一步:把 PID 控制器写成同一分母的形式
  • 关键一步:开环传函等于控制器乘对象,闭环特征方程是一加开环传函等于零,两边同乘分母整理成多项式
  • 关键一步:题面已经给出该多项式的三个根,可直接用来判断主导极点
  • 关键一步:比例、积分、微分三项通分后分子为二次、分母为一个 s
  • 中间结果:三个根里有一对共轭复根和一个离虚轴很远的实根,说明系统可按这对共轭复根做二阶近似
  • 卡点:控制器通分时漏掉积分项的 s;或忘记闭环特征方程要乘上开环分母
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 比例项提高快速性但存在稳态误差
  • 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
  • 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
  • PD 相当于超前校正,PI 相当于滞后校正
步骤
  • 按误差类型选择需要引入的环节
  • 先调比例再调积分最后调微分
  • 用稳定裕度或性能指标校验并微调
通用考法
  • 本卷考过由给定 PID 参数写出闭环特征方程
  • 设计 PID 控制器满足给定指标
  • 分析各参数变化对系统性能的影响
  • 说明微分项对噪声的影响
常见易错
  • 把 PI 的相位影响说成超前
  • 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由主导极点估算超调量与调节时间
本卷实例
  • 关键一步:主导极点的实部绝对值就是阻尼比与自然频率的乘积,虚部绝对值与自然频率一起决定阻尼比
  • 关键一步:超调量由阻尼比按指数公式给出,题面给的指数近似值就是为这一步准备的
  • 关键一步:调节时间按误差带取系数除以实部绝对值,本题阻尼比很小,衰减很慢
  • 中间结果:实部约零点三二、虚部约二点九,算出阻尼比约零点一一,超调量接近百分之七十
  • 卡点:忽略另一个实极点与闭环零点的影响直接套二阶公式;或调节时间的误差带系数取错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过由主导极点估算超调量与调节时间
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式

9九、能控能观判断与极点配置#

思路
  • 先判断能控性与能观性,能控时再设计状态反馈把极点配置到指定位置
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判断给定状态空间模型的能控性与能观性
本卷实例
  • 关键一步:构造能控性矩阵与能观性矩阵,分别求秩后与系统阶数比较
  • 关键一步:本题系统矩阵是分块三角形结构,逐次相乘时可以利用零元素简化,避免算错
  • 关键一步:两个矩阵都满秩时系统既能控又能观,可以同时做极点配置与观测器设计
  • 中间结果:能控性矩阵的三个列向量线性无关,能观性矩阵的行列式非零,两项结论都要写出来
  • 卡点:只算一个矩阵;或状态矩阵不是标准型时硬套标准型公式,秩算错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判断给定状态空间模型的能控性与能观性
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 设计状态反馈增益矩阵把闭环极点配置到指定位置
本卷实例
  • 关键一步:先由期望极点写出期望特征多项式,一对共轭复极点给出一个二次因式
  • 关键一步:再求带状态反馈后的闭环特征多项式,按行列式展开时注意输入矩阵只作用在第一个状态上
  • 关键一步:两个多项式逐项比较系数解出三个反馈增益,可用迹的关系先定出其中一个再验算
  • 中间结果:本题输入向量只有第一个分量非零,闭环特征多项式的各阶系数与三个增益一一对应,方程是解耦的
  • 卡点:行列式展开时符号出错;或没有先验证能控性就直接配置极点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过设计状态反馈增益矩阵把闭环极点配置到指定位置
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式

10十、非线性系统相轨迹(开关断开与闭合)#

思路
  • 同一非线性系统在开关断开与闭合两种结构下,画相同初值的相轨迹
相平面法 非线性系统
本卷考法
  • 绘制给定初始条件下的相轨迹
  • 比较结构变化前后的相轨迹差异
本卷实例
  • 关键一步:先把结构图化成误差的微分方程:开关断开时反馈支路不起作用,闭合后会引入额外的一阶导数反馈项
  • 关键一步:两个方程的阻尼与刚度不同,对应不同的奇点类型,相轨迹形状因此不同
  • 关键一步:初值固定在同一象限,画图时先定奇点位置与类型,再由初值沿流形方向画出走向
  • 中间结果:断开时系统往往振荡收敛或发散,闭合后等效阻尼增大,轨迹会更快收敛到奇点
  • 卡点:两种结构的微分方程写反;或忽略开关闭合后反馈项带来的阻尼变化,直接把两条轨迹画成同一条
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相平面以误差及其导数为坐标,适用于一、二阶非线性系统
  • 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
  • 奇点对应系统的平衡状态,奇点类型决定局部行为
  • 极限环对应相平面上的孤立闭曲线
步骤
  • 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
  • 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
  • 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
  • 由是否存在闭曲线判断极限环与自振
通用考法
  • 本卷考过绘制给定初始条件下的相轨迹
  • 本卷考过比较结构变化前后的相轨迹差异
  • 画出给定初始条件下的相轨迹
  • 判断奇点类型与稳定性
  • 分析极限环的存在与形态
常见易错
  • 相轨迹斜率公式中分子分母写反
  • 把相轨迹与根轨迹混淆
公式

11十一、根轨迹三小问#

思路
  • 同一开环传函,分别画根轨迹、求实轴分离点与对应增益、求虚轴特征根与对应增益
本卷考法
  • 绘制系统的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:三个开环极点都在实轴上且无零点,于是渐近线有三条,交点与夹角由极点之和除以极点数确定
  • 关键一步:实轴上是奇数个零极点右侧的那些段属于根轨迹,本题会出现一段有限区间与一整条左射线
  • 关键一步:按对称性把两条共轭分支补上,并标出分离点与虚轴交点处的增益
  • 中间结果:渐近线夹角是正负六十度与一百八十度,三条分支最终都趋向无穷远
  • 卡点:忘记标出与虚轴的交点与渐近线;或实轴段判断时零极点个数算错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过绘制系统的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
分离点与会合点 根轨迹法
本卷考法
  • 求实轴上的分离点及与该点对应的增益
本卷实例
  • 关键一步:分离点方程是各极点贡献的倒数之和等于各零点贡献的倒数之和,无零点时右端为零
  • 关键一步:通分后得到关于分离点的二次方程,解出两个根
  • 关键一步:用实轴段判据筛选:只有落在根轨迹实轴段上的那个根才是真分离点,另一个要舍去
  • 中间结果:两个根里只有落在两个相邻极点之间的那个才有效,另一个落在不属于根轨迹的实轴段上
  • 卡点:两个根都当成分离点;或求增益时忘记取绝对值,符号弄错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点,对应特征方程的重根
  • 分离点必满足 dK/ds=0
  • 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根
步骤
  • 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
  • 令 dK/ds=0 得分离点方程
  • 解方程并用实轴段判据筛选
  • 代回求分离点处的 K 值
通用考法
  • 本卷考过求实轴上的分离点及与该点对应的增益
  • 求根轨迹的分离点坐标
  • 确定分离点处的临界增益
  • 判断解的取舍
常见易错
  • 求出方程根后不筛选,保留了不在根轨迹上的解
  • 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式
公式
本卷考法
  • 求位于虚轴上的特征根及对应的增益
本卷实例
  • 关键一步:令特征方程中的复变量取纯虚数,把结果的实部与虚部分别置零得到两个方程
  • 关键一步:由虚部方程解出角频率,再由实部方程解出对应的增益
  • 关键一步:也可用劳斯判据令首列出现零行,两种方法互相印证
  • 中间结果:本题特征方程可整理成两个因式相乘的形式,一个因式给出负实根,另一个给出共轭纯虚根
  • 卡点:只代一个频率漏掉另一组根;或求出角频率后忘记同时给出对应的增益
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过求位于虚轴上的特征根及对应的增益
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式