1、2、3、4、5、6一、简答：稳定域、主导极点与标准型#
思路
- 六个独立小问：讨论含参数 a 的特征方程稳定、临界稳定与不稳定条件；降低或消除稳态误差的措施；主导极点的概念、作用与判定条件；二重根系统的约当标准型步骤与能控条件；三阶最小实现的参数条件；状态反馈实现积分解耦的条件。
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 用劳斯判据讨论含参数 a 的特征方程稳定性
本卷实例
- 关键一步：按降幂列劳斯表，令首列元素大于零解出 a 的范围
- 中间结果：首列含 a 的元素给出稳定的上界，等号处为临界稳定
- 卡点：系数缺项要补零；临界稳定与不稳定的分界要写清
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过用劳斯判据讨论含参数 a 的特征方程稳定性
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
参数稳定域的确定
稳定性分析
本卷考法
- 求使系统稳定、临界稳定的参数范围
本卷实例
- 关键一步：把劳斯表首列各不等式联立，取交集得到稳定域
- 中间结果：参数取端点时出现纯虚根，对应临界稳定
- 卡点：只列部分首列不等式漏约束；端点是否包含搞错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳定条件是一组关于参数的不等式
- 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
- 稳定域是不等式组的交集
步骤
- 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
- 逐个解不等式并取交集
- 检查端点是否为临界稳定
通用考法
- 本卷考过求使系统稳定、临界稳定的参数范围
- 求使系统稳定的参数上界或下界
- 判断某参数取值是否满足稳定要求
- 比较不同参数对稳定域大小的影响
常见易错
- 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
- 取交集时把端点是否包含搞错
公式
减小稳态误差的措施
稳态误差
本卷考法
- 列举降低或消除稳态误差的常用措施
本卷实例
- 关键一步：从提高开环增益、增加积分环节、提高型别等途径归纳
- 中间结果：提高型别可消除某类输入的稳态误差，但影响稳定性
- 卡点：只谈误差减小而不检查稳定性；把前馈与反馈作用混为一谈
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 提高开环增益可减小有差系统的误差，但会削弱稳定性
- 增加积分环节可提高型别，代价是相位滞后与超调增大
- 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
- 采用扰动补偿可提高扰动不变性
步骤
- 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
- 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
- 校验补偿后系统仍然稳定
- 重新计算稳态误差确认达标
通用考法
- 本卷考过列举降低或消除稳态误差的常用措施
- 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
- 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
- 说明为何单纯提高增益不可行
常见易错
- 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
- 把增加积分环节的影响单一化，忽略超调
公式
高阶系统的降阶与主导极点
时域响应与动态性能
本卷考法
- 叙述主导极点的概念、作用与判定条件
本卷实例
- 关键一步：主导极点是距虚轴最近且附近无闭环零点的闭环极点
- 中间结果：其余极点实部距虚轴距离是主导极点的五倍以上可忽略
- 卡点：只按距离判断而不管留数大小；忽略靠近的闭环零点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
- 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
- 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶
步骤
- 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
- 用主导极点对近似为二阶系统
- 用零点修正式修正超调量与峰值时间
通用考法
- 本卷考过叙述主导极点的概念、作用与判定条件
- 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
- 判断附加闭环零点对超调量的影响
- 说明某极点能否忽略的理由
常见易错
- 忽略零点对超调量的放大作用
- 只看极点距离而不管该极点的留数大小
公式
由传递函数写状态空间表达式
状态空间分析
本卷考法
- 写二重根系统约当标准型的变换步骤
本卷实例
- 关键一步：由二重根对应的广义特征向量关系构造线性变换阵
- 中间结果：变换后系统矩阵呈约当型，二重根对应一个约当块
- 卡点：广义特征向量次序写错；约当块与单根块混排
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过写二重根系统约当标准型的变换步骤
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
公式
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 求三阶最小实现时零极点对消应满足的条件
本卷实例
- 关键一步：最小实现为三阶等价于传函分子分母没有公因式
- 中间结果：即分子零点不出现在分母极点中，得到参数的不等式条件
- 卡点：只验能控能观而不检查是否发生零极点对消
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过求三阶最小实现时零极点对消应满足的条件
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 说明约当型系统的能控条件
本卷实例
- 关键一步：对约当型检验能控性矩阵是否满秩，重根对应块要单独判断
- 中间结果：每个约当块最后一行输入矩阵元素不为零是能控条件
- 卡点：只对系统矩阵判秩而漏看输入矩阵在约当块中的位置
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过说明约当型系统的能控条件
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态反馈解耦
状态空间分析
本卷考法
- 说明状态反馈实现积分解耦的条件
本卷实例
- 关键一步：由输出矩阵各行构造结构特性向量并组成解耦矩阵
- 中间结果：解耦矩阵非奇异是状态反馈可解耦的充要条件
- 卡点：把相对阶取成输入首次出现的阶数本身；矩阵奇异仍硬解
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 解耦的目标是让每个输出只被对应的一个输入控制，闭环传递函数矩阵成为对角阵
- 用输入变换加状态反馈控制律 u 等于负 Kx 加 Fv 实现解耦
- 解耦矩阵由各通道输出的相对阶与输入矩阵组成，非奇异时才能解耦
- 解耦后闭环传函矩阵的对角元由配置的极点决定，非对角元为零
步骤
- 逐个求各输出的相对阶，即输出导数中首次出现输入的阶数减一
- 用各通道的相对阶对应的行组成解耦矩阵，并检查其是否非奇异
- 由解耦矩阵的逆求出输入变换矩阵，再由各通道系数求出状态反馈矩阵
- 写出闭环传递函数矩阵，校验是否已对角化并满足期望极点
通用考法
- 本卷考过说明状态反馈实现积分解耦的条件
- 证明系统能通过输入变换与状态反馈实现解耦
- 求解耦矩阵与状态反馈阵并写出闭环传递函数矩阵
- 分析解耦后各通道的极点是否可任意配置
常见易错
- 相对阶取成输出导数首次出现输入的阶数本身，差一阶
- 解耦矩阵奇异时仍硬求解，忽略解耦条件不满足
公式