一一、方框图状态空间、传函与稳定性#
思路
- 由系统方框图列写状态空间表达式，再用梅森增益公式求闭环传递函数，最后由特征方程判断系统稳定性
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 由系统方框图列写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：按每个积分器的输出取一个状态变量
- 中间结果：由方框图列写一阶微分方程组再写矩阵形式
- 卡点：反馈支路符号与状态变量对应写错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过由系统方框图列写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 本卷考过状态变量选取不当导致方程不自洽
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
梅森增益公式与信号流图
传递函数
本卷考法
- 用梅森增益公式求系统的闭环传递函数
本卷实例
- 关键一步：画信号流图并标出前向通路与独立回路
- 中间结果：算特征式与前向通路余子式后求和
- 卡点：两两不接触回路的组合项漏乘
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过用梅森增益公式求系统的闭环传递函数
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 本卷考过回路增益与前向通路增益符号取错
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 列劳斯表判断闭环系统是否稳定
本卷实例
- 关键一步：由闭环特征方程系数列劳斯表
- 中间结果：观察首列元素符号判断右半平面根个数
- 卡点：只算第一列不查是否出现零元素
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过列劳斯表判断闭环系统是否稳定
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 本卷考过劳斯表某行首列出现零元素时未处理
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式