一一、方框图状态空间与稳定参数范围#
思路
- 由系统方框图列写状态空间表达式并判断能控性、能观性；再求使闭环系统稳定的参数取值范围
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 由系统方框图列写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：按方框图中每个积分器输出编号取状态变量
- 中间结果：列写一阶方程组并整理成矩阵形式
- 卡点：反馈增益未随状态变量进入系统矩阵
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过由系统方框图列写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 本卷考过按积分器取状态变量时变量顺序颠倒
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 由系统矩阵判断系统的能控性与能观性
本卷实例
- 关键一步：分别构造能控性矩阵与能观性矩阵
- 中间结果：由判别阵行列式是否为零判断可控可观
- 卡点：只看数值不看含参数行列式的零点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过由系统矩阵判断系统的能控性与能观性
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 本卷考过含参数系统的判别阵秩讨论不完整
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
参数稳定域的确定
稳定性分析
本卷考法
- 求使闭环系统稳定的参数取值范围
本卷实例
- 关键一步：由特征方程系数列劳斯表并令首列为正
- 中间结果：解不等式组得参数的开区间范围
- 卡点：区间端点是否可取未单独校验
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳定条件是一组关于参数的不等式
- 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
- 稳定域是不等式组的交集
步骤
- 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
- 逐个解不等式并取交集
- 检查端点是否为临界稳定
通用考法
- 本卷考过求使闭环系统稳定的参数取值范围
- 求使系统稳定的参数上界或下界
- 判断某参数取值是否满足稳定要求
- 比较不同参数对稳定域大小的影响
常见易错
- 本卷考过劳斯表首列不等式的组合遗漏
- 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
- 取交集时把端点是否包含搞错
公式