1~8一、简答题：状态空间与稳定域40 分#
思路
- 八个独立小问：由状态空间求传函并说明能控能观与零极点对消的关系；输出反馈可镇定的充要条件；李雅普诺夫第二法判大范围渐近稳定的条件及与平衡点个数的关系；两系统负反馈互联的闭环状态方程；劳斯判据求参数a的稳定域；由超调量与调节时间反求阻尼比与自然频率；由稳定性先决条件确定单位斜坡稳态误差范围；最小相位与非最小相位的判别。
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 由状态空间求传递函数并说明其与能控能观性的关系
本卷实例
- 关键一步：写 C(sI−A)⁻¹b，再看分子分母是否有零极点相消
- 中间结果：存在零极点对消则系统不完全能控或不能观
- 卡点：忘记约分，直接由传函阶数判断能控能观
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过由状态空间求传递函数并说明其与能控能观性的关系
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
能控性与能观性
状态空间分析
本卷考法
- 写出线性定常系统输出反馈可镇定的充要条件
本卷实例
- 关键一步：对系统作能控能观结构分解，检查能控且能观子系统
- 中间结果：能控能观子系统可镇定、其余子系统渐近稳定时可镇定
- 卡点：把状态反馈可镇定条件直接当成输出反馈的条件
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过写出线性定常系统输出反馈可镇定的充要条件
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
李雅普诺夫稳定性分析
状态空间分析
本卷考法
- 叙述李雅普诺夫第二法判大范围渐近稳定的条件
本卷实例
- 关键一步：构造正定 V(x)，令 V̇ 负定或半负定且除原点外不恒为零
- 中间结果：再加径向无界条件即得大范围渐近稳定
- 卡点：只验 V 正定不查 V̇ 定号；与平衡点个数关系漏答
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
- 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
- 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
- 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
- 选取或构造李雅普诺夫函数
- 沿系统轨迹求其对时间的导数
- 判断函数与导数的正负定性
- 据此得出稳定性结论
通用考法
- 本卷考过叙述李雅普诺夫第二法判大范围渐近稳定的条件
- 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
- 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
- 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
- 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
- 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 写出两子系统负反馈互联后的闭环状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：把反馈支路输出 C₂x₂ 代入前向子系统的输入
- 中间结果：闭环 A 阵为分块矩阵，前向块含 −B₁C₂ 耦合项
- 卡点：反馈符号与 B、C 的维数对应写错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过写出两子系统负反馈互联后的闭环状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
劳斯判据
稳定性分析
本卷考法
- 列劳斯表求系统稳定时参数 a 的取值范围
本卷实例
- 关键一步：按特征方程系数列劳斯表，令首列各元素同号
- 中间结果：由 s²、s¹ 两行系数大于零联立取交集
- 卡点：漏取首列某个元素的符号约束
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
- 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
- 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
- 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
- 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
- 若某次幂系数缺项，该项补零
- 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
- 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数
通用考法
- 本卷考过列劳斯表求系统稳定时参数 a 的取值范围
- 判断给定系统的稳定性
- 指出右半平面闭环极点的个数
- 求使系统稳定的参数范围
常见易错
- 系数有缺项时不补零，直接套用判据
- 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法
公式
参数稳定域的确定
稳定性分析
本卷考法
- 求参数稳定域并确定端点开闭
本卷实例
- 关键一步：把劳斯表首列不等式联立，取其交集
- 中间结果：稳定域为参数 a 的一个开区间
- 卡点：端点是否包含判断错误
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳定条件是一组关于参数的不等式
- 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
- 稳定域是不等式组的交集
步骤
- 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
- 逐个解不等式并取交集
- 检查端点是否为临界稳定
通用考法
- 本卷考过求参数稳定域并确定端点开闭
- 求使系统稳定的参数上界或下界
- 判断某参数取值是否满足稳定要求
- 比较不同参数对稳定域大小的影响
常见易错
- 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
- 取交集时把端点是否包含搞错
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由超调量求阻尼比、由调节时间求自然频率
本卷实例
- 关键一步：由超调量公式反解 ξ，再代入 ts 与 ξωn 的关系式
- 中间结果：按 2% 误差带取 ts≈4.4/(ξωn)
- 卡点：调节时间系数按 2% 还是 5% 取错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过由超调量求阻尼比、由调节时间求自然频率
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式
由性能指标要求反求参数
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由两项性能指标要求反求系统参数
本卷实例
- 关键一步：先由超调量定 ξ，再由调节时间定 ξωn
- 中间结果：两式联立可唯一确定 ξ 与 ωn
- 卡点：只满足单项指标就下结论
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
- 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
- 指标之间往往相互制约，需权衡取舍
步骤
- 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
- 在参数平面上画出各不等式的可行域
- 取交集并选取合适的参数值
- 回代验证全部指标是否满足
通用考法
- 本卷考过由两项性能指标要求反求系统参数
- 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
- 求满足指标要求的参数取值范围
- 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
- 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
- 把 ξ 的可行域方向取反
公式
系统型别与静态误差系数
稳态误差
本卷考法
- 先判稳再写单位斜坡输入的静态速度误差系数
本卷实例
- 关键一步：劳斯判据先定 K 的稳定区间，再写 Kv 与 ess=1/Kv
- 中间结果：ess 随 K 单调变化，对稳定区间两端取值即得范围
- 卡点：未判稳就用终值定理；系统型别判错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
- 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
- 静态误差系数只与开环传递函数有关
步骤
- 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
- 按型别选择对应的静态误差系数公式
- 代入求值
通用考法
- 本卷考过先判稳再写单位斜坡输入的静态速度误差系数
- 判断系统型别
- 求静态位置、速度、加速度误差系数
- 分析增加积分环节对精度的影响
常见易错
- 把开环增益与静态误差系数混为一谈
- 数错积分环节个数导致型别判错
公式
最小相位系统与非最小相位系统
频域分析
本卷考法
- 说明最小相位与非最小相位系统的区别并判别给定传函
本卷实例
- 关键一步：检查所有零极点是否位于左半平面（离散为单位圆内）
- 中间结果：纯延迟只改变相位不移动零极点，是否计入需按定义讨论
- 卡点：把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
- 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
- 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
- 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向
步骤
- 检查零点实部符号判断是否最小相位
- 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
- 分析右半平面零点对时域响应的影响
通用考法
- 本卷考过说明最小相位与非最小相位系统的区别并判别给定传函
- 判断系统是否最小相位
- 解释阶跃响应初始反向的原因
- 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数
常见易错
- 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
- 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈