一一、小车牵引系统的建模与状态空间#
思路
- 由牵引力、阻力和牛顿第二定律列微分方程，取路程与速度为状态写状态空间表达式并求稳态速度
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 第(1)问由牵引力、粘性阻力和质量列小车运动微分方程
本卷实例
- 关键一步：按牛顿第二定律列合力等于质量乘加速度，阻力与速度成正比取负号
- 关键一步：速度是路程的导数，把两个方程联立成二阶微分方程
- 中间结果：本题方程可写成加速度等于牵引力减阻尼力再除以质量
- 卡点：阻尼力方向取反；或把牵引力与路程直接关联
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过第(1)问由牵引力、粘性阻力和质量列小车运动微分方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 第(1)问取路程与速度为状态变量写出状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：取路程与速度为状态，把二阶方程拆成两个一阶方程
- 关键一步：按矩阵形式写出系统矩阵与输入矩阵，输出取路程时相应行
- 中间结果：本题系统矩阵为二阶方阵，第二行含阻尼与质量之比
- 卡点：状态变量个数与阶数不匹配；或输出方程取错状态
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过第(1)问取路程与速度为状态变量写出状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
一阶系统的单位阶跃响应
时域响应与动态性能
本卷考法
- 第(2)问求系统稳态时的速度值
本卷实例
- 关键一步：稳态时加速度为零，由运动方程令导数为零
- 关键一步：解出稳态速度与牵引力和阻尼系数的关系
- 中间结果：本题速度方程是一阶惯性型，稳态值由外作用除以阻尼系数给出
- 卡点：把稳态速度当成给定输入值；或忽略阻力项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 一阶系统只有一个时间常数 T，响应单调无振荡
- 经过一个 T 达到稳态值的 63.2%，3T 达到 95%，4T 达到 98%
- 调节时间按误差带取 3T（5%）或 4T（2%）
步骤
- 把传递函数化为标准形式 1/(Ts+1)
- 读出时间常数 T
- 按误差带要求给出调节时间
通用考法
- 本卷考过第(2)问求系统稳态时的速度值
- 求一阶系统的调节时间与上升时间
- 由响应曲线求时间常数
- 比较不同时间常数下响应快慢
常见易错
- 把 63.2% 对应的时刻记成 50% 对应的时刻
- 增益 K 不为 1 时仍直接读稳态值
公式