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中国计量大学 801 自动控制原理(含现控) 2024 年真题思维导图

强势双非共 9 题

难度:中等 逐年试题册,共 9 个大题;覆盖冰箱系统概念、方框图梅森公式与扰动抑制措施、由超调量与峰值时间反求参数、根轨迹绘制与衰减振荡范围、奈氏图与奈氏判据、最小相位系统 Bode 图反求与裕度、离散系统闭环脉冲传函与阶跃响应、状态转移矩阵与传函、全维状态观测器设计。多题依附原卷插图。

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1第一题、冰箱温度控制系统#

思路
  • 由家用电冰箱控制系统示意画出原理方框图,再逐项指出控制任务、被控对象、被控量、给定输入、干扰输入与执行元件
本卷考法
  • 画出家用电冰箱温度控制系统原理方框图
本卷实例
  • 关键一步:按给定、比较、控制器、执行器、对象、检测反馈逐个对号
  • 中间结果:方框图需含温度设定、检测变送与继电器控制回路
  • 卡点:系统示意图以图给出,环节位置须回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过画出家用电冰箱温度控制系统原理方框图
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表
本卷考法
  • 指出控制任务与被控对象、被控量、给定输入、干扰输入、执行元件
本卷实例
  • 关键一步:先定被控量箱温再沿控制链找操纵量与执行元件
  • 中间结果:给定输入为用户设定温度干扰为环境温度与开门等
  • 卡点:被控对象与被控量容易互换
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 四大环节:被控对象、检测变送、控制器、执行器
  • 被控量是工艺上要维持的变量,操纵量是控制器输出所控制的变量
  • 扰动是影响被控量但不可控的变量
  • 设计步骤:定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定
步骤
  • 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
  • 判断扰动是否需要专门抑制(决定要不要加副回路)
  • 选择控制方案并画原理图与方框图
  • 说明系统的工作过程
通用考法
  • 本卷考过指出控制任务与被控对象、被控量、给定输入、干扰输入、执行元件
  • 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
  • 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
  • 说明系统的工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图不画原理图(或反之),漏答一半

2第二题、方框图求传函与减小扰动措施#

思路
  • 由方框图用梅森公式求 C 比 R 与 E 比 N,再从负反馈、增益调节与前馈三方面说明减小扰动对稳态性能影响的措施
本卷考法
  • 用梅森公式求 C(s) 比 R(s)
本卷实例
  • 关键一步:先数清两个回路并判断是否接触再写特征式
  • 中间结果:两条前向通道的余子式都为 1
  • 卡点:方框图以图给出,回路与前向通道须回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
  • 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
  • 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
  • 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
  • 由结构图改画信号流图,标出各节点
  • 找出全部单独回路,求特征式 Δ
  • 找出全部前向通路 P_k
  • 对每条通路求余子式 Δ_k
  • 代入公式求总传输
通用考法
  • 本卷考过用梅森公式求 C(s) 比 R(s)
  • 由信号流图求 C(s)/R(s)
  • 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
  • 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
  • 不接触回路找漏或重复计数
  • 余子式中未剔除与通路接触的回路
  • 把前向通路的增益写成了回路增益
公式
本卷考法
  • 求扰动 N(s) 到误差的传递函数 E(s) 比 N(s)
本卷实例
  • 关键一步:令参考输入为零单独沿扰动到误差的前向通道求传函
  • 中间结果:误差传函的分母为系统特征式
  • 卡点:求扰动传函时没有把参考输入置零
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
  • 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
  • 增大扰动点前的增益可减小扰动误差
步骤
  • 令参考输入为零,求扰动到误差的传递函数
  • 代入扰动信号求稳态值
  • 与输入引起的误差叠加
通用考法
  • 本卷考过求扰动 N(s) 到误差的传递函数 E(s) 比 N(s)
  • 求扰动引起的稳态误差
  • 比较扰动与输入对误差的不同影响
  • 分析提高前向增益的作用
常见易错
  • 把扰动误差直接当作总误差,遗漏输入分量
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式
本卷考法
  • 说明减小扰动对稳态性能影响的措施
本卷实例
  • 关键一步:从负反馈抑制扰动、提高控制器增益与前馈补偿三方面作答
  • 中间结果:前馈可在扰动影响输出之前提前抵消
  • 卡点:只谈提高增益不检查稳定性是否被破坏
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 提高开环增益可减小有差系统的误差,但会削弱稳定性
  • 增加积分环节可提高型别,代价是相位滞后与超调增大
  • 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
  • 采用扰动补偿可提高扰动不变性
步骤
  • 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
  • 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
  • 校验补偿后系统仍然稳定
  • 重新计算稳态误差确认达标
通用考法
  • 本卷考过说明减小扰动对稳态性能影响的措施
  • 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
  • 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
  • 说明为何单纯提高增益不可行
常见易错
  • 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
  • 把增加积分环节的影响单一化,忽略超调
公式

3第三题、二阶性能指标反求参数与稳定性影响#

思路
  • 由结构图写闭环传函化为二阶标准形式,由超调量与峰值时间反求增益与测速反馈系数,再用劳斯判据讨论反馈系数对稳定性的影响
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由结构图写含测速反馈的闭环传函并化为二阶标准形式
本卷实例
  • 关键一步:列含局部速度反馈的闭环传函再整理成标准二阶
  • 中间结果:自然频率平方等于开环增益而阻尼项由反馈系数决定
  • 卡点:化为标准形式时忘记把二次项系数归一化
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由结构图写含测速反馈的闭环传函并化为二阶标准形式
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由超调量与峰值时间反求增益与速度反馈系数
本卷实例
  • 关键一步:由超调量定阻尼比再由峰值时间定自然频率
  • 中间结果:两式联立解出增益与速度反馈系数的表达式
  • 卡点:只满足单项指标就下结论而未交叉验证
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量要求给出 ξ 的下界,调节时间要求给出 ξωn 的下界
  • 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
  • 指标之间往往相互制约,需权衡取舍
步骤
  • 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
  • 在参数平面上画出各不等式的可行域
  • 取交集并选取合适的参数值
  • 回代验证全部指标是否满足
通用考法
  • 本卷考过由超调量与峰值时间反求增益与速度反馈系数
  • 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
  • 求满足指标要求的参数取值范围
  • 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
  • 只满足单项指标就下结论,未做交叉验证
  • 把 ξ 的可行域方向取反
公式
劳斯判据 稳定性分析
本卷考法
  • 讨论测速反馈系数取值对系统稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:列劳斯表令首列各项都大于零
  • 中间结果:常数项恒正时稳定性由一次项系数的符号决定
  • 卡点:系数缺项时不补零直接套用判据
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 特征方程各项系数全为正只是必要条件,不充分
  • 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
  • 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
  • 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
  • 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
  • 若某次幂系数缺项,该项补零
  • 列劳斯表:前两行为系数,之后各行按交叉相减
  • 检查首列符号:全同号则稳定,有变号则数出个数
通用考法
  • 本卷考过讨论测速反馈系数取值对系统稳定性的影响
  • 判断给定系统的稳定性
  • 指出右半平面闭环极点的个数
  • 求使系统稳定的参数范围
常见易错
  • 系数有缺项时不补零,直接套用判据
  • 首列出现 0 后仍按常规继续算,未用 ε 法
公式

4第四题、根轨迹绘制与衰减振荡范围#

思路
  • 按法则绘制三条分支根轨迹,求虚轴交点定稳定增益范围,由已知闭环极点回代求增益与其余极点,再由分离点定衰减振荡的增益范围
本卷考法
  • 按法则绘制三个开环极点无零点系统的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:由开环零极点定分支数、实轴段与渐近线
  • 中间结果:三条分支都趋于无穷远渐近线夹角为正负六十度与一百八十度
  • 卡点:实轴段判据中零极点个数算错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按法则绘制三个开环极点无零点系统的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 求根轨迹与虚轴交点及闭环稳定的增益范围
本卷实例
  • 关键一步:令特征式出现纯虚根同时定出交点频率与临界增益
  • 中间结果:稳定范围为原点与虚轴交点增益之间的区间
  • 卡点:只代一个频率求解会漏掉另一组交点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及闭环稳定的增益范围
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式
本卷考法
  • 由已知闭环极点求增益与其余极点并定衰减振荡范围
本卷实例
  • 关键一步:把已知极点回代特征方程求增益再由分离点幅值条件定下界
  • 中间结果:衰减振荡区间介于分离点处增益与虚轴交点处增益之间
  • 卡点:求出多个分离点后不筛选保留了不在轨迹上的解
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过由已知闭环极点求增益与其余极点并定衰减振荡范围
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式

5第五题、奈氏图与奈氏判据#

思路
  • 由开环结构图写频率特性画奈氏图,数开环右半平面极点与包围圈数后用奈氏判据判稳
本卷考法
  • 由系统结构图求频率特性并画奈氏图
本卷实例
  • 关键一步:写出开环频率特性分别求起点、终点与实轴交点
  • 中间结果:奈氏曲线走向由型别与惯性环节的相位滞后决定
  • 卡点:系统结构图以图给出,环节参数须回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由系统结构图求频率特性并画奈氏图
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 用奈氏判据判别闭环系统的稳定性
本卷实例
  • 关键一步:先数开环右半平面极点数再按 Z 等于 P 减 2N 计算
  • 中间结果:包围圈数由奈氏曲线穿越负实轴段的方向与次数决定
  • 卡点:开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过用奈氏判据判别闭环系统的稳定性
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式

6第六题、最小相位系统 Bode 图反求与稳定裕度#

思路
  • 由渐近对数幅频曲线按低频斜率与转折频率反求开环传函,再求剪切频率与相角裕度,最后由裕度判稳
本卷考法
  • 由渐近对数幅频特性反求开环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按低频段斜率定型别再由转折频率与某点高度定增益
  • 中间结果:传函含比例、惯性环节与一阶微分环节
  • 卡点:把延长线交点误当作增益值而未折算型别
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由渐近对数幅频特性反求开环传递函数
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
本卷考法
  • 利用最小相位条件由幅频特性唯一确定传递函数
本卷实例
  • 关键一步:最小相位系统的幅频与相频一一对应可由幅频直接写传函
  • 中间结果:题给最小相位条件故反求的传函唯一
  • 卡点:以为任意幅频曲线都能唯一确定传递函数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 最小相位系统:全部零点极点都在左半平面
  • 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
  • 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
  • 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向
步骤
  • 检查零点实部符号判断是否最小相位
  • 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
  • 分析右半平面零点对时域响应的影响
通用考法
  • 本卷考过利用最小相位条件由幅频特性唯一确定传递函数
  • 判断系统是否最小相位
  • 解释阶跃响应初始反向的原因
  • 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数
常见易错
  • 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
  • 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 求剪切频率与相角裕度并判断系统稳定性
本卷实例
  • 关键一步:由幅值条件求剪切频率再代入相频求相角裕度
  • 中间结果:相角裕度为正且幅值裕度为无穷大时系统稳定
  • 卡点:把剪切频率与相位穿越频率用反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过求剪切频率与相角裕度并判断系统稳定性
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

7第七题、离散系统闭环脉冲传函与阶跃响应#

思路
  • 求含零阶保持器的开环脉冲传函,再由单位负反馈写闭环脉冲传函,最后用长除法求单位阶跃响应序列
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求含零阶保持器的开环与闭环脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:把带零阶保持器的连续部分部分分式展开后逐项 z 变换
  • 中间结果:零阶保持器使结果含 1 减 z 的负一次方因子
  • 卡点:忘记把零阶保持器计入脉冲传递函数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求含零阶保持器的开环与闭环脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
z 变换与 z 反变换 离散控制系统
本卷考法
  • 用长除法或 z 反变换求单位阶跃响应序列
本卷实例
  • 关键一步:闭环脉冲传函乘阶跃输入的 z 变换后按 z 的幂次展开
  • 中间结果:响应序列由幂级数各项系数给出
  • 卡点:部分分式分解时漏项导致反变换出错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • z 变换是离散信号的拉氏变换,令 z=e^{Ts} 得到
  • 常用函数的 z 变换要熟记
  • z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
  • 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内
步骤
  • 将连续传递函数展开为部分分式
  • 逐项查表做 z 变换
  • 需要时做 z 反变换求时间序列
通用考法
  • 本卷考过用长除法或 z 反变换求单位阶跃响应序列
  • 求给定函数的 z 变换
  • 求 z 反变换得到采样序列
  • 说明 s 平面与 z 平面的映射关系
常见易错
  • 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
  • 部分分式分解时漏项导致反变换出错
公式

8第八题、状态转移矩阵、传函与渐近稳定#

思路
  • 由状态矩阵求预解矩阵并拉氏反变换得状态转移矩阵,再求传递函数与给定输入下的输出,最后由特征值判渐近稳定
状态转移矩阵 状态空间分析
本卷考法
  • 求状态转移矩阵并由初始状态与输入求输出响应
本卷实例
  • 关键一步:先求 sI 减 A 的逆再逐项拉氏反变换得转移矩阵
  • 中间结果:转移矩阵元素为指数函数的线性组合而响应含卷积积分项
  • 卡点:矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
  • 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
  • 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
  • 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 求拉氏反变换得到 e^{At}
  • 代入全响应公式求状态与输出
  • 用初值条件校验结果
通用考法
  • 本卷考过求状态转移矩阵并由初始状态与输入求输出响应
  • 求状态转移矩阵
  • 求给定初始条件下的状态与输出响应
  • 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
  • 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
  • 卷积积分中变量代换写错
公式
本卷考法
  • 由状态空间表达式求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按 C 乘 sI 减 A 的逆再乘 B 计算
  • 中间结果:传函的分母为状态矩阵的特征多项式
  • 卡点:漏掉直接传递项 D
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由状态空间表达式求传递函数
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 由特征值判断系统是否渐近稳定
本卷实例
  • 关键一步:解特征方程得特征值并检查是否全在左半平面
  • 中间结果:特征值都为负实数时系统渐近稳定
  • 卡点:只判断李雅普诺夫函数正定而未检查其导数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过由特征值判断系统是否渐近稳定
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式

9第九题、全维状态观测器设计#

思路
  • 先由能观性判别矩阵验证系统完全能观,再按期望观测器极点写期望特征式,比较系数求观测器增益阵并画结构图
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 构造能观性判别矩阵验证系统完全能观
本卷实例
  • 关键一步:由 C、CA、CA 平方构造判别阵并判断秩
  • 中间结果:判别阵为三阶方阵满秩时系统完全能观
  • 卡点:能控与能观判别矩阵的构造搞混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过构造能观性判别矩阵验证系统完全能观
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
状态观测器设计 状态空间分析
本卷考法
  • 设计全维状态观测器使观测器极点为给定值
本卷实例
  • 关键一步:由期望极点写期望特征式再与含观测器增益的特征式比较系数
  • 中间结果:观测器增益由三条系数等式联立解出
  • 卡点:把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态观测器用输出与输入重构状态,前提是系统能观
  • 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
  • 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
  • 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
  • 验证系统能观性
  • 写出观测器方程并求误差动态矩阵
  • 按期望特征多项式比较系数求出 L
  • 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
  • 本卷考过设计全维状态观测器使观测器极点为给定值
  • 设计全维状态观测器
  • 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
  • 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
  • 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
  • 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式