中国计量大学 801 自动控制原理（含现控） 2025 年真题思维导图

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难度：中等　共 7 道大题：结构图求双通道传函、参数根轨迹、由校正装置奈氏图反求校正环节再判稳、最小相位系统 Bode 反求与相位裕量、采样系统稳定域，最后两题为状态空间（建模与状态转移矩阵、能控标准型加极点配置与全维观测器）。概念题与常规计算各半，多题依附原卷插图。

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1位置随动系统的工作原理与组成#

思路

• 从给定输入与反馈量的比较出发，按信号流向说明偏差经放大后驱动执行元件带动被控对象，再由反馈元件把被控量送回比较；据此补全原理方框图，并逐项指认被控对象、反馈元件、执行元件、被控量与扰动量。

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 分析位置随动系统的工作原理并指认各组成环节

本卷实例

• 关键一步：按给定、比较、放大、执行、对象、检测的闭环顺序串起信号流
• 中间结果：被控量是输出轴角位移，反馈元件把角位移转成电信号
• 卡点：原卷结构图为插图，各环节位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过分析位置随动系统的工作原理并指认各组成环节
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

2结构图化简与误差传递函数#

思路

• 由结构图改画信号流图，用梅森公式写出特征式、各前向通路及其余子式，再分别求 C(s)/R(s) 与按 E 等于 R 减 C 定义的 E(s)/R(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由多回路结构图用梅森公式求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：数清独立回路与前向通路，再判断互不接触组合
• 中间结果：特征式等于一减各回路增益之和加两两不接触回路增益积
• 卡点：图题不读图，回路个数与前向通路增益需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由多回路结构图用梅森公式求闭环传递函数
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 本卷考过余子式中未剔除与前向通路相接触的回路
• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 多环结构图逐层化简后再求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：从最内环起逐层等效，再按串并联合并
• 中间结果：内环等效环节的分母含该环反馈通道的增益
• 卡点：内外环的反馈接入点需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过多环结构图逐层化简后再求闭环传递函数
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 本卷考过化简内环时把外环的信号当成常数
• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 求输入端定义的误差传递函数 E(s) 与 R(s) 之比

本卷实例

• 关键一步：按误差取自比较点的定义列 E(s) 与 R(s) 之比
• 中间结果：误差传函与闭环传函共用同一个特征式作分母
• 卡点：误差比较点位置需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过求输入端定义的误差传递函数 E(s) 与 R(s) 之比
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 本卷考过非单位反馈时两种误差定义混用
• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

3二阶系统阻尼比与扰动稳态误差#

思路

• 由结构图写闭环特征方程并化成二阶标准形式，用阻尼比条件解出反馈系数；再把参考输入置零，由扰动到误差的传函按终值定理求扰动稳态误差，最后分别讨论两个可调参数对误差的影响。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比要求反求结构图中的可调参数

本卷实例

• 关键一步：先由结构图写闭环特征方程并化成二阶标准形式
• 中间结果：阻尼比只由一次项系数与自然频率之比决定
• 卡点：两参数同时出现在一次项与常数项，须联立求解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由阻尼比要求反求结构图中的可调参数
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求扰动作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：令参考输入为零，单独写扰动到误差的传函
• 中间结果：扰动误差由误差传函在 s 趋于零处的极限决定
• 卡点：扰动信号为 1/s² 对应斜坡，注意系统型别是否匹配

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求扰动作用下的稳态误差
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

减小稳态误差的措施 稳态误差

本卷考法

• 分析可调参数对扰动稳态误差的影响

本卷实例

• 关键一步：把扰动误差表达式对两个参数分别求极限或判单调性
• 中间结果：提高前向增益可减小扰动误差，但会改变阻尼与稳定性
• 卡点：只讲误差减小而不说明对阻尼或稳定性的影响

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 提高开环增益可减小有差系统的误差，但会削弱稳定性
• 增加积分环节可提高型别，代价是相位滞后与超调增大
• 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
• 采用扰动补偿可提高扰动不变性

步骤

• 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
• 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
• 校验补偿后系统仍然稳定
• 重新计算稳态误差确认达标

通用考法

• 本卷考过分析可调参数对扰动稳态误差的影响
• 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
• 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
• 说明为何单纯提高增益不可行

常见易错

• 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
• 把增加积分环节的影响单一化，忽略超调

公式

4参数根轨迹与阻尼振荡条件#

思路

• 把闭环特征式整理成以参变量为变量的等效开环形式，按根轨迹法则求分离点、渐近线与虚轴交点，再由共轭复根段定阻尼振荡对应的参数范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以参变量为变量列等效开环并绘制参数根轨迹

本卷实例

• 关键一步：由闭环特征式分离出含参数项，写成等效开环形式
• 中间结果：等效开环的分母是原特征式中不含参数的那部分
• 卡点：等效开环的极点由原特征式系数定，不等同于原开环极点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以参变量为变量列等效开环并绘制参数根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 本卷考过整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按绘制法则求渐近线交点与夹角并画草图

本卷实例

• 关键一步：由开环零极点个数定渐近线条数与夹角
• 中间结果：渐近线交点在实轴上由零极点之和的差除以条数定出
• 卡点：实轴段右侧的零极点个数为奇数才属于根轨迹

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按绘制法则求渐近线交点与夹角并画草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 本卷考过渐近线夹角公式中的二 k 加一写成二 k
• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求参数根轨迹的分离点坐标及对应参数值

本卷实例

• 关键一步：对等效开环写各极点倒数之和等于各零点倒数之和
• 中间结果：得到关于分离点坐标的一元二次方程
• 卡点：方程的多个根中只有落在根轨迹上的那个有效

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求参数根轨迹的分离点坐标及对应参数值
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 本卷考过求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界参数

本卷实例

• 关键一步：令复变量取纯虚数代入闭环特征式并分离实虚部
• 中间结果：实虚部同时为零可解出振荡频率与临界参数
• 卡点：临界参数下的辅助方程给出振荡角频率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及对应的临界参数
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 本卷考过只代一个频率就下结论，漏掉另一组交点
• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由根轨迹确定衰减振荡暂态响应对应的参数范围

本卷实例

• 关键一步：在根轨迹上找出共轭复数极点对应的参数区间
• 中间结果：欠阻尼振荡要求闭环极点成共轭复数对
• 卡点：区间两端分别由分离点与虚轴交点给出的参数确定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由根轨迹确定衰减振荡暂态响应对应的参数范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 本卷考过由极点位置估算指标时忽略零点的作用
• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

5校正装置奈氏图与系统判稳#

思路

• 先从校正装置奈氏图的低频幅值、高频相角与所过定点反求校正环节传递函数，再与已给系统串乘后画开环奈氏曲线，最后数包围临界点的圈数判断闭环稳定性

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由奈氏图的起点幅值、终点相角与所过定点反求校正环节

本卷实例

• 关键一步：用低频幅值定增益、用高频相角定环节阶数
• 中间结果：再由曲线所过的定点反解时间常数
• 卡点：定点条件只给出时间常数与增益的乘积关系

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由奈氏图的起点幅值、终点相角与所过定点反求校正环节
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 本卷考过相角累加时漏掉积分环节的负九十度
• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 绘开环奈氏曲线并用奈氏判据判断闭环稳定性

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数，再数曲线包围临界点的圈数
• 中间结果：由开环右半平面极点数与包围圈数联立判断闭环稳定性
• 卡点：曲线与负实轴的交点位置随校正环节参数变化

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过绘开环奈氏曲线并用奈氏判据判断闭环稳定性
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 本卷考过开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

6最小相位系统幅频反求与相位裕量#

思路

• 由渐近线低频段斜率与延长线高度定型别和开环增益，各转折频率处的斜率变化定环节类型，再求剪切频率、相位裕量并据此判断稳定性

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由对数幅频渐近特性曲线求最小相位系统开环传递函数

本卷实例

• 关键一步：读低频段斜率与延长线高度定型别和开环增益
• 中间结果：每个转折频率处的斜率变化量对应一个典型环节
• 卡点：转折频率个数要与曲线斜率变化的次数一致

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由对数幅频渐近特性曲线求最小相位系统开环传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 本卷考过把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求系统的相位裕量并据此判断稳定性

本卷实例

• 关键一步：先由幅值条件求出剪切频率
• 中间结果：把剪切频率代入相频表达式得到相位裕量表达式
• 卡点：题给反正切参考数据用于化简相位裕量的数值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求系统的相位裕量并据此判断稳定性
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 本卷考过把剪切频率与相位穿越频率这两个频率用反
• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 利用最小相位条件由幅频曲线确定传递函数并说明其唯一性

本卷实例

• 关键一步：用最小相位条件把幅频曲线直接对应到相频
• 中间结果：各环节的相角由幅频特性的转折频率一一对应
• 卡点：若改问非最小相位系统，幅频就不能唯一确定模型

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过利用最小相位条件由幅频曲线确定传递函数并说明其唯一性
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 本卷考过以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

7采样系统脉冲传函与稳定域#

思路

• 含采样开关时先把连续部分连同零阶保持器求 z 传递函数，再列闭环特征方程，用单位圆稳定条件或 w 变换后的代数判据求参数范围

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 求连续环节部分分式展开后的 z 变换

本卷实例

• 关键一步：把连续传函拆成部分分式后逐项查 z 变换表
• 中间结果：每个极点映射为单位圆内的指数因子
• 卡点：采样周期要代进指数，题给近似数据即该指数项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过求连续环节部分分式展开后的 z 变换
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 本卷考过把 z 变换结果中的指数项写成不含采样周期的形式
• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求采样系统的开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：按采样开关位置判断先串后采还是先采后串
• 中间结果：闭环 z 传函的分母为一加开环 z 传函
• 卡点：零阶保持器要与连续部分合并后再做 z 变换

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求采样系统的开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 本卷考过把两个没有采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由 z 域闭环特征方程求使系统稳定的参数范围

本卷实例

• 关键一步：列 z 域特征方程并作 w 变换后套用代数判据
• 中间结果：带参数的首列元素大于零给出参数不等式组
• 卡点：不等式组要按参数符号分段讨论后再取交集

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由 z 域闭环特征方程求使系统稳定的参数范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 本卷考过把稳定条件写成实部小于零而不是模小于一
• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

8由结构图建立状态空间与求响应#

思路

• 按图中积分器输出选取状态变量列一阶微分方程组，写成矩阵形式并留意输出中的输入直通项，再求状态转移矩阵，最后按零输入与零状态响应叠加求输出

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由系统结构图列写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：按图中积分器输出选状态变量并列一阶微分方程组
• 中间结果：状态矩阵由各状态变量之间的耦合系数构成
• 卡点：输出端若有输入直通支路则直接传递项不为零，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由系统结构图列写状态空间表达式
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 本卷考过输出方程中漏掉直接传递项
• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求状态转移矩阵并计算给定初值与输入下的输出

本卷实例

• 关键一步：用拉氏反变换求状态转移矩阵
• 中间结果：零输入响应与零状态响应按卷积叠加
• 卡点：求输出时不可漏掉输入直通项对单位阶跃的贡献

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求状态转移矩阵并计算给定初值与输入下的输出
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 本卷考过卷积积分中变量代换写错
• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

9能控标准型、极点配置与全维观测器#

思路

• 由真分式传递函数直接写能控标准型，再算能控与能观判别矩阵的秩，最后按期望极点分别比较状态反馈与观测器的特征多项式系数

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由三阶积分型传递函数写出能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：把分母系数按能控标准型填入友矩阵
• 中间结果：输入矩阵取最后一行为一，其余元素为零
• 卡点：无零点时输出矩阵只取首元为一

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由三阶积分型传递函数写出能控标准型状态空间表达式
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 本卷考过友矩阵中系数符号写反
• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统的能控性与能观性

本卷实例

• 关键一步：分别构造能控判别矩阵与能观判别矩阵并求秩
• 中间结果：判别矩阵的秩等于系统阶数即为完全能控或完全能观
• 卡点：能控与能观判别矩阵的构造顺序相反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统的能控性与能观性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 本卷考过只算到低阶判别矩阵就下结论
• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈使闭环极点配置到给定位置

本卷实例

• 关键一步：先判能控，再由期望极点写出目标特征多项式
• 中间结果：令含待求增益的特征式与目标式同次幂系数相等
• 卡点：期望极点含共轭复数对时特征式应为实系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈使闭环极点配置到给定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 本卷考过未验证能控性就直接做极点配置
• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 设计全维观测器并把观测器极点配置到给定值

本卷实例

• 关键一步：用对偶原理把输出矩阵转置后当作能控对来配置极点
• 中间结果：观测器增益由观测器特征式与目标式的系数比较得到
• 卡点：期望极点为三重根时特征多项式写成对应的三次幂

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过设计全维观测器并把观测器极点配置到给定值
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 本卷考过把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式