中南大学 946 自动控制理论 2019 年真题思维导图

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难度：中等　八大题：选择判断、简答、结构图求传函、测速反馈与PI控制、根轨迹、频域串联校正、离散系统稳定性、饱和非线性描述函数

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1选择题：反馈方式、带宽衰减、恒值随动、微分噪声与描述函数20 分#

思路

• 五道判断：反馈控制的正负反馈、带宽频率与输出衰减、恒值/随动系统设计重点、微分器对噪声的放大、描述函数法的适用与局限

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 判断反馈控制是采用正反馈还是负反馈（第1小题）
• 指出恒值系统与随动系统各自的分析设计重点（第3小题）

本卷实例

• 关键一步：由“利用偏差进行控制”反推反馈极性
• 关键一步：比较恒值与随动系统对扰动与跟随的侧重
• 中间结果：反馈控制以负反馈构成闭环，靠偏差纠正偏离
• 中间结果：恒值系统重抗扰，随动系统重跟随的快与准
• 卡点：第1小题把负反馈写成正反馈，整句判为错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过判断反馈控制是采用正反馈还是负反馈（第1小题）
• 本卷考过指出恒值系统与随动系统各自的分析设计重点（第3小题）
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

闭环频率特性与性能指标 频域分析

本卷考法

• 由带宽频率的定义判断输入频率高低与输出衰减的关系（第2小题）

本卷实例

• 关键一步：用闭环幅频下降到低频值以下3dB处的频率定义带宽
• 中间结果：高于带宽频率时输出才明显衰减，题述把高低频写反
• 卡点：带宽是闭环幅频指标，勿与开环截止频率混同

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 谐振峰值 Mr 越大振荡越强，通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
• 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
• 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
• 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性

步骤

• 由开环频率特性求闭环频率特性
• 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
• 按经验公式估计超调量与调节时间

通用考法

• 本卷考过由带宽频率的定义判断输入频率高低与输出衰减的关系（第2小题）
• 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
• 由 Mr 估算超调量
• 分析带宽与响应速度的关系

常见易错

• 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
• 把开环谐振与闭环谐振混为一谈

公式

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 判断输入端存在较强高频噪声时是否宜用比例-微分控制（第4小题）

本卷实例

• 关键一步：由微分作用放大高频分量来判断噪声影响
• 中间结果：微分项对高频噪声的放大更显著，强噪声下不宜采用
• 卡点：该句方向正确，与微分改善动态性能并不矛盾

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过判断输入端存在较强高频噪声时是否宜用比例-微分控制（第4小题）
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 判断描述函数法能否给出系统时间响应的确切信息（第5小题）

本卷实例

• 关键一步：由描述函数只取基波近似推断它能给出什么结论
• 中间结果：描述函数法可估自振频率与幅值，难给时间响应确切信息
• 卡点：题干称能给出确切信息，与基波近似的性质相矛盾

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过判断描述函数法能否给出系统时间响应的确切信息（第5小题）
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

2简答：零阶保持器的选用与采样数字控制系统的优点20 分#

思路

• 两小问：数字控制系统为何普遍采用零阶保持器（第1问）；相比连续模拟控制系统，采样与数字控制系统有哪些优点（第2问）

采样过程与香农采样定理 离散控制系统

本卷考法

• 说明数字控制系统中普遍采用零阶保持器而不采用一阶/高阶保持器的原因

本卷实例

• 关键一步：比较各阶保持器的复现精度、高频分量与相角滞后
• 中间结果：一阶与高阶保持器精度高，但高频分量与纹波大、相角滞后大
• 卡点：相角滞后越大对稳定性越不利，故宁用零阶保持器

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
• 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
• 采样频率不足会产生频率混叠
• 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟

步骤

• 确定信号最高频率或系统带宽
• 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
• 必要时加入前置滤波器抑制混叠

通用考法

• 本卷考过说明数字控制系统中普遍采用零阶保持器而不采用一阶/高阶保持器的原因
• 由信号最高频率确定采样周期
• 判断给定采样频率是否满足采样定理
• 说明零阶保持器的频率特性

常见易错

• 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
• 忽略零阶保持器带来的相位滞后

公式

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 列举采样与数字控制系统相对连续模拟控制系统的优点（借位）

本卷实例

• 关键一步：从数字校正灵活、抗噪、元件灵敏度、经济性与大延迟适用性归纳
• 中间结果：软件改控制律方便、采样传递抑制噪声、可一机控多系统
• 卡点：本问无对口考点，借位 bc_01，属透明借位

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过列举采样与数字控制系统相对连续模拟控制系统的优点（借位）
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

3结构图：等效变换或梅森公式求闭环传函10 分#

思路

• 由三回路结构图，用结构图等效变换或梅森增益公式求闭环传递函数 C(s)/R(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由多回路结构图用梅森增益公式求闭环传递函数 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：先找出全部单独回路与前向通路，再写特征式与各余子式
• 中间结果：三条单独回路中有两条互不接触，特征式含其乘积项
• 卡点：两前向通路的余子式不同，第2条要剔除与它接触的回路

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由多回路结构图用梅森增益公式求闭环传递函数 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多回路系统的逐层化简 结构图与方框图

本卷考法

• 用逐层化简多回路结构图的方法求闭环传递函数

本卷实例

• 关键一步：从最内环开始等效，再逐层向外合并
• 中间结果：内环化为等效环节后，外侧回路按串并联继续化简
• 卡点：化简内环时勿把外环的信号当成常数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 从最内层回路开始，逐层向外化简
• 每个内环先化成一个等效环节，再参与外层的串并联
• 化简顺序错误会导致式子繁琐但仍可得到正确结果

步骤

• 标出内环并求其闭环传递函数
• 把内环替换为等效环节
• 对新的结构图重复上述步骤，直到单回路
• 最后求整个系统的闭环传递函数

通用考法

• 本卷考过用逐层化简多回路结构图的方法求闭环传递函数
• 三环及以上系统求闭环传递函数
• 含局部反馈的系统化简

常见易错

• 化简内环时把外环的信号当成常数处理

4结构图：测速反馈与PI控制的参数反求与振荡条件20 分#

思路

• (a)测速反馈：由阻尼比与斜坡稳态误差反求 K、T 并算调节时间与超调量；(b)PI控制：由持续振荡频率反求 K、T 并给无持续振荡条件

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由含测速反馈与PI控制的闭环传函化为典型二阶形式求 ωn 与 ξ

本卷实例

• 关键一步：分别写出两种结构图的开环与闭环传函，与标准二阶式系数对照
• 中间结果：测速反馈使 2ξωn=2+T、ωn²=k；PI结构分母含可约的 s² 项
• 卡点：PI控制下分子含 s 的一次项，化简时勿丢项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由含测速反馈与PI控制的闭环传函化为典型二阶形式求 ωn 与 ξ
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比与单位斜坡稳态误差两个条件反求系统参数 K 与 T（第(1)问）

本卷实例

• 关键一步：把 ess=1/Kv 化为参数方程，与 ξ 的表达式联立求解
• 中间结果：两式均为 K、T 的有理式，联立后化为可解的方程组
• 卡点：未先判稳就套稳态误差公式容易得错解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由阻尼比与单位斜坡稳态误差两个条件反求系统参数 K 与 T（第(1)问）
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由求得的 ξ、ωn 计算调节时间与超调量（第(1)问）

本卷实例

• 关键一步：调节时间按 ts=3/(ξωn)（5%误差带）估算
• 中间结果：σ%=exp(-πξ/根号下(1-ξ²))×100%
• 卡点：误差带取 5% 还是 2% 直接改变调节时间系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由求得的 ξ、ωn 计算调节时间与超调量（第(1)问）
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 由 PI 控制器的闭环特征方程分析持续振荡条件与稳定条件（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：列劳斯表，取首列临界行为零找等幅振荡参数
• 中间结果：令劳斯表某行首项为零可解出临界 T，再由振荡频率定 K
• 卡点：持续振荡对应一对纯虚根，需同时满足两个方程

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过由 PI 控制器的闭环特征方程分析持续振荡条件与稳定条件（第(2)问）
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 用劳斯判据给出使系统响应无持续振荡的参数条件（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：由劳斯表首列全正得到 T、K 的稳定域
• 中间结果：稳定条件化为 T 与 K 各一个下界不等式
• 卡点：k>0 与 T>1/2 两个约束要取交集

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过用劳斯判据给出使系统响应无持续振荡的参数条件（第(2)问）
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

5根轨迹：含右半平面零点的非常规根轨迹与参数范围20 分#

思路

• G(s)=k(0.5s-1)²/[(0.5s+1)(2s-1)]：绘制闭环根轨迹、求阶跃响应无超调的 K 范围、求稳态误差最小绝对值

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 按根轨迹法则绘制含右半平面零点的系统根轨迹草图

本卷实例

• 关键一步：先把传函化为首一根轨迹标准型，再定零极点与实轴段
• 中间结果：开环零点为 z=2（重根）、极点为 p=-2 与 p=1/2
• 卡点：零极点数相等时没有渐近线，勿硬套夹角公式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过按根轨迹法则绘制含右半平面零点的系统根轨迹草图
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 由 dK/ds=0 求分离点坐标及其对应的临界根轨迹增益

本卷实例

• 关键一步：把 K 写成 s 的显式函数后对 s 求导并令其为零
• 中间结果：分离点方程化为一元一次式，根位于实轴根轨迹段内
• 卡点：求出的根要判是否落在实轴根轨迹段上

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过由 dK/ds=0 求分离点坐标及其对应的临界根轨迹增益
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益，判断根轨迹的复数形态

本卷实例

• 关键一步：把 s=jω 代入闭环特征式，令实部与虚部分别为零
• 中间结果：闭环特征式含 K 的一次项，可解出两组临界参数
• 卡点：其中一组对应原点处的交点，勿漏算或混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴的交点及临界增益，判断根轨迹的复数形态
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

由根轨迹分析性能与确定参数 根轨迹法

本卷考法

• 由闭环根全部位于负实轴的条件确定阶跃响应无超调的 K 范围

本卷实例

• 关键一步：把无超调等价为根轨迹离开实轴前的增益区间
• 中间结果：该区间介于实轴段分离点与虚轴交点两类临界增益之间
• 卡点：须把根轨迹增益换算为题目所用的开环增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
• 等阻尼线是从原点出发的射线，等 ωn 线是以原点为心的圆
• 给定阻尼比要求时，极点落在等阻尼线上
• 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧

步骤

• 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
• 求其与根轨迹的交点
• 由幅值条件求出交点对应的参数
• 由极点位置估算动态性能

通用考法

• 本卷考过由闭环根全部位于负实轴的条件确定阶跃响应无超调的 K 范围
• 求满足给定阻尼比的参数值
• 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
• 分析提高增益对性能的影响

常见易错

• 把等阻尼线画成了垂直线
• 由极点位置估指标时忽略零点的作用

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求系统在单位阶跃输入下稳态误差可能达到的最小绝对值

本卷实例

• 关键一步：先由稳定条件限定 K 范围，再写 ess 关于 K 的表达式
• 中间结果：ess 是 K 的反比函数，绝对值随 K 增大而减小
• 卡点：只有系统稳定时终值定理才可用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求系统在单位阶跃输入下稳态误差可能达到的最小绝对值
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

6频域校正：由Bode图反求传函、校正装置与裕度20 分#

思路

• 由对数幅频特性求校正前 G0(s)，给定校正装置 Gc(s)，绘制 Lc 与 L，判稳并求校正后的截止频率与相角裕度

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由最小相位系统的对数幅频特性反求开环传递函数 G0(s)

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率与某频率处的幅值联立求开环增益
• 中间结果：按各转折频率依次累加一阶环节带来的斜率变化
• 卡点：低频延长线交点要按型别折算，勿直接当增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由最小相位系统的对数幅频特性反求开环传递函数 G0(s)
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据判断校正前系统的闭环稳定性（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数 P，再看曲线对(-1,j0)的包围
• 中间结果：开环含积分环节，奈氏曲线起点需按无穷大圆弧处理
• 卡点：P=0 且不包围(-1,j0)才是判稳的方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据判断校正前系统的闭环稳定性（第(2)问）
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制校正装置与校正后系统的对数幅频特性曲线（第(3)问）

本卷实例

• 关键一步：把校正装置各转折频率的斜率变化逐段叠加到原特性上
• 中间结果：校正前后在同一转折频率处抵消，得到更简单的表达式
• 卡点：逐段改斜率是累加而非替换原斜率

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制校正装置与校正后系统的对数幅频特性曲线（第(3)问）
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

滞后-超前校正 系统校正

本卷考法

• 由给定的校正装置传函判断其滞后-超前特性与作用

本卷实例

• 关键一步：比较传函分子分母的转折频率分布判断超前段与滞后段
• 中间结果：分母低频转折与分子高频转折使中频段幅值抬高
• 卡点：勿只凭分子阶次判成单纯超前或滞后校正

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 兼顾稳态精度与动态性能，适合指标要求较高的场合
• 低频段用滞后部分提高增益，中高频段用超前部分提高裕度
• 设计时先确定超前部分，再确定滞后部分

步骤

• 按稳态精度要求确定开环增益
• 选择新的截止频率并计算超前部分参数
• 计算为把低频增益抬到要求值所需的滞后部分参数
• 合并写出校正装置并校验

通用考法

• 本卷考过由给定的校正装置传函判断其滞后-超前特性与作用
• 设计滞后-超前校正装置
• 说明为何单一校正无法满足指标
• 分析校正后系统的低频与高频特性

常见易错

• 先设计滞后部分导致截止频率反复调整
• 两部分的转折频率分布重叠，互相削弱

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正后系统的截止频率与相角裕度（第(4)问）

本卷实例

• 关键一步：由幅频等于1解出截止频率，再代入相频式求裕度
• 中间结果：γ=180°+∠G(jωc)，相角由各环节反正切累加
• 卡点：截止频率与相位穿越频率两个频率勿用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正后系统的截止频率与相角裕度（第(4)问）
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

7离散系统：由差分方程求脉冲传函与稳定K范围20 分#

思路

• 采样周期 T=1s、零阶保持器，给定数字控制器差分方程，求闭环脉冲传函并用朱利判据求使系统稳定的 K 范围

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由连续部分加零阶保持器与数字控制器差分方程求系统脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先把差分方程写成 z 域脉冲传函，再与保持器部分的 Z 变换相乘
• 中间结果：零阶保持器部分按 Z[(1-e^{-Ts})/s·G(s)] 展开
• 卡点：两个没有采样开关隔开的连续环节不能直接相乘

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由连续部分加零阶保持器与数字控制器差分方程求系统脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求使离散系统稳定的开环增益 K 范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征多项式后套用朱利稳定判据的三个条件
• 中间结果：条件化为 D(1)>0、D(-1)>0 与常数项约束三式
• 卡点：判据中模小于1的条件勿写成实部小于零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求使离散系统稳定的开环增益 K 范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

采样过程与香农采样定理 离散控制系统

本卷考法

• 说明采样周期确定时零阶保持器在脉冲传函推导中的处理

本卷实例

• 关键一步：把零阶保持器并入连续部分一起作 Z 变换
• 中间结果：G(z)=Z[(1-e^{-Ts})/s·G0(s)]，T 取题给采样周期
• 卡点：T 的取值要代对，勿漏代或直接当成 1

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
• 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
• 采样频率不足会产生频率混叠
• 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟

步骤

• 确定信号最高频率或系统带宽
• 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
• 必要时加入前置滤波器抑制混叠

通用考法

• 本卷考过说明采样周期确定时零阶保持器在脉冲传函推导中的处理
• 由信号最高频率确定采样周期
• 判断给定采样频率是否满足采样定理
• 说明零阶保持器的频率特性

常见易错

• 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
• 忽略零阶保持器带来的相位滞后

公式

8饱和非线性：描述函数法与自振条件20 分#

思路

• 给定饱和非线性描述函数 N(A)，由 G(jω) 与负实轴交点 (-1,j0) 确定 K 与自振频率，并列写自振幅值方程

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由饱和特性的描述函数表达式判断其与线性部分串联后的等效结构

本卷实例

• 关键一步：把饱和斜率 kN 与阈值 a 代入通用描述函数式
• 中间结果：N(A) 随幅值 A 从 a 增大时由 kN 递减趋于 0
• 卡点：描述函数只取基波，阈值 a 与幅值 A 的定义要分清

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由饱和特性的描述函数表达式判断其与线性部分串联后的等效结构
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由负倒描述函数与 G(jω) 曲线的交点求自振频率与振幅（第(2)问）

本卷实例

• 关键一步：在复平面上画负倒描述函数与线性部分的奈氏曲线找交点
• 中间结果：交点频率由 G(jω) 与负实轴的交点给出，振幅由 -1/N(A) 方程给出
• 卡点：要用负倒描述函数 -1/N(A)，勿直接画 N(A)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由负倒描述函数与 G(jω) 曲线的交点求自振频率与振幅（第(2)问）
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

典型非线性特性及其影响 非线性系统

本卷考法

• 结合饱和非线性特性判断 K 取值与系统稳定或自振的关系

本卷实例

• 关键一步：由 -1/kN 与 G(jω) 负实轴交点的相对位置判稳定
• 中间结果：kN>1 时负倒曲线起点落在(-1,j0)右侧
• 卡点：饱和度不变时 K 过大可能进入自振状态

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 饱和特性降低等效增益，可能引起系统不稳定或自振
• 死区特性使小信号时增益为零，产生稳态误差
• 间隙特性引起相位滞后，导致波形畸变与自振
• 继电特性使系统出现持续振荡并可能产生颤振

步骤

• 识别非线性环节类型
• 写出其描述函数或分段数学表达式
• 分析其对等效增益与稳定性的影响

通用考法

• 本卷考过结合饱和非线性特性判断 K 取值与系统稳定或自振的关系
• 分析饱和或死区对系统性能的影响
• 求典型非线性的描述函数表达式
• 说明间隙为何容易引起自振

常见易错

• 认为饱和总是使系统更稳定
• 忽略死区在原点附近造成的小信号失效

公式