1一、系统结构图与二阶系统参数设计#
思路
- 由结构图写出闭环传递函数，与标准二阶形式比对，按给定的自然频率与阻尼比解出两个可调参数，再算调节时间并写出超调量计算式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由闭环传函比对标准二阶形式求自然频率与阻尼比
本卷实例
- 关键一步：先把闭环传递函数整理成首一标准二阶形式，把分母的平方项系数归一化
- 关键一步：让一次项系数与常数项分别对应二倍阻尼比乘自然频率与自然频率的平方
- 关键一步：两个方程两个未知参数，联立即可解出两个可调增益
- 中间结果：闭环特征式的一次项系数同时含两个参数，常数项只含其中一个参数
- 卡点：系统结构图未读图，题图中各环节增益与反馈系数需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由闭环传函比对标准二阶形式求自然频率与阻尼比
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
由性能指标要求反求参数
时域响应与动态性能
本卷考法
- 按给定自然频率与阻尼比要求反求两个可调参数
本卷实例
- 关键一步：把给定的自然频率与阻尼比代入标准形式，得到关于两个参数的方程组
- 关键一步：解出参数后回代检查闭环极点是否落在要求的等阻尼线上
- 中间结果：自然频率要求只约束常数项，阻尼比要求同时用到一次项
- 卡点：只满足自然频率就取值，没有同时满足阻尼比
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
- 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
- 指标之间往往相互制约，需权衡取舍
步骤
- 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
- 在参数平面上画出各不等式的可行域
- 取交集并选取合适的参数值
- 回代验证全部指标是否满足
通用考法
- 本卷考过按给定自然频率与阻尼比要求反求两个可调参数
- 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
- 求满足指标要求的参数取值范围
- 判断给定指标组合是否可实现
常见易错
- 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
- 把 ξ 的可行域方向取反
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 计算二阶系统调节时间并写出超调量计算式
本卷实例
- 关键一步：调节时间在百分之二误差带下按 4.4 除以阻尼比乘自然频率估算
- 关键一步：超调量只用阻尼比，按负指数形式的百分数计算式写出
- 关键一步：题给参考数据是指数为负的圆周率除以根号三的指数值，按表达式直接代入
- 中间结果：阻尼比取零点五时，超调量指数里的根号一减阻尼比平方与题给数据对应
- 卡点：百分之二与百分之五误差带的系数容易取混；超调量计算式漏乘百分号
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过计算二阶系统调节时间并写出超调量计算式
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式