中国石油大学(华东) 829 自动控制原理 2022 年真题思维导图
211 院校共 12 题合计 150 分
难度：中等偏难 十二道题：一为五小问基本概念（左半平面开环零点对根轨迹的影响、截止频率、超前与滞后校正区别、非线性特征、分离原理）；二梅森公式求传函；三用反馈通道 H(s)=Kt·s 提高阻尼比；四根轨迹与稳定范围；五由对数幅频图反求滞后-超前校正装置并求稳定增益范围与相角裕度；六离散系统脉冲传函与斜坡稳态误差；七描述函数法说明自振并求振幅频率；八由状态空间表达式求传递函数矩阵；九状态转移矩阵与状态响应；十由传递函数写能控、能观与对角标准型；十一李雅普诺夫第二法证全局渐近稳定；十二不可控系统的状态反馈极点配置与能控分解。
1一、简答题（基本概念五问）20 分#
思路
- 五小问：附加左半平面开环零点的影响、截止频率、超前一滞后校正区别、非线性特征、分离原理
本卷实例
- 关键一步：附加左半平面零点使根轨迹向 s 左半平面弯曲，渐近线重心左移
- 关键一步：零点吸引根轨迹分支，改善系统相对稳定性与快速性
- 中间结果：零点的存在改变了相角条件与渐近线条数
- 卡点：只答根轨迹左移，漏掉对渐近线与分离点的具体影响
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 增加开环零点使根轨迹左移，改善稳定性
- 增加开环极点使根轨迹右移，恶化稳定性
- 附加零点会改变分离点位置与渐近线走向
- 增加极点还可能是系统结构不稳定
步骤
- 对比增加前后零极点分布
- 重新判断实轴段与渐近线
- 分析根轨迹整体移动方向
- 据此说明对稳定性和动态性能的影响
通用考法
- 本卷考过说明附加左半平面开环零点对系统根轨迹的影响
- 说明附加零点对根轨迹形状的影响
- 判断增加极点后系统是否仍稳定
- 分析为何某系统需要引入零点
常见易错
- 只讨论渐近线是否左移右移，忽略分离点变化
- 把附加零点的影响与附加极点的影响搞反
本卷实例
- 关键一步：截止频率是开环对数幅频特性 L(ω)=0dB 对应的频率
- 关键一步：ωc 越大响应越快但可能引起振荡，越小则快速性变差
- 中间结果：截止频率与带宽、动态响应速度正相关
- 卡点：把截止频率与相位穿越频率 ωg 混为一谈
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过说明截止频率的定义及其对系统性能的影响
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
本卷实例
- 关键一步：超前校正利用超前网络的相位超前提高相角裕度与快速性
- 关键一步：滞后校正利用高频衰减提高低频增益、改善稳态精度但降低响应速度
- 中间结果：超前校正抬高截止频率，滞后校正降低截止频率
- 卡点：把两种校正对截止频率的影响方向答反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
- 会使截止频率提高，响应加快
- 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
- 最大超前角不超过 60°，否则噪声放大明显
步骤
- 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
- 由最大超前角公式求 α
- 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
- 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
- 本卷考过比较串联超前校正与串联滞后校正的区别
- 设计串联超前校正装置
- 计算校正后的相角裕度与截止频率
- 分析超前校正的局限性
常见易错
- 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
- α 的取值与超前角公式方向取反
本卷实例
- 关键一步：不满足叠加原理、可能存在多个平衡点
- 关键一步：可能出现自激振荡、频率响应畸变甚至混沌
- 中间结果：非线性系统不能沿用线性系统的全部结论
- 卡点：只答不满足叠加原理，特点列举不全
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 不满足叠加原理，输出与初始条件、输入幅值都有关
- 可能出现自持振荡即极限环
- 响应可能对初始条件敏感，出现跳跃谐振
- 线性系统的稳定性概念需要推广为局部稳定性
步骤
- 确认系统含明显非线性环节
- 判断该非线性是本质非线性还是可线性化的弱非线性
- 按非线性分析方法选择描述函数法或相平面法
通用考法
- 本卷考过说明非线性系统的基本特征
- 说明非线性系统与线性系统的本质差别
- 指出同步振荡、跳跃谐振等特有现象
- 判断某系统应选用哪种分析方法
常见易错
- 把非线性环节线性化后直接沿用线性理论的全部结论
- 认为非线性系统一定不稳定
本卷实例
- 关键一步：对完全能控能观的系统，状态反馈与状态观测器可分别独立设计
- 关键一步：再把两者组合成一个闭环系统，闭环极点为二者极点之和
- 中间结果：分离原理成立的前提是系统既完全能控又完全能观
- 卡点：没有强调「完全能控能观」这一前提条件
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过简述现代控制理论中的分离原理
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
2二、梅森公式求闭环传递函数10 分#
思路
- 由结构图求 C(s)/R(s)，解析给出三条回路与一条前向通路
本卷实例
- 关键一步：先列全部独立回路并写出特征式 Δ=1−ΣL+ΣLL−…
- 关键一步：再找从 R 到 C 的前向通路，逐条写增益与余子式
- 关键一步：按 C/R=ΣPkΔk/Δ 合并
- 中间结果：回路共有三条，前向通路只有一条且与各回路均接触
- 中间结果：特征式分母是全回路增益之和
- 卡点：不接触回路找漏或重复计数；把回路增益写成前向通路增益
- 卡点：结构图未读图，回路与前向通路增益需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过由结构图用梅森增益公式求 C(s)/R(s)
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
3三、提高系统阻尼比10 分#
思路
- 反馈通道 H(s)=Kt·s，确定 Kt 使系统阻尼比提高到 ξ1
本卷实例
- 关键一步：先由结构图写出闭环特征方程并整理成标准二阶形式
- 关键一步：让 s 项系数与 2ξ1ωn 对应，与原阻尼比项联立
- 关键一步：解出含 ωn、K 与两阻尼比的 Kt 表达式
- 中间结果：输出反馈速度信号相当于给系统增加阻尼项
- 中间结果：Kt 与阻尼比增量成正比、与开环增益成反比
- 卡点：结构图未读图，反馈通道接入点与系数需回原卷核对图
- 卡点：把开环阻尼比直接当闭环阻尼比代入
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由给定阻尼比要求设计反馈通道参数
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
4四、根轨迹绘制与稳定范围15 分#
思路
- G(s)=K*/[s(s²+3s+9)]：绘制根轨迹并确定闭环稳定的 K* 范围
本卷实例
- 关键一步：标开环极点 0 与一对共轭复极点，算 n−m=3 条渐近线
- 关键一步：按实轴段判据确定实轴上的根轨迹区间
- 关键一步：由相角条件求共轭复极点的出射角
- 中间结果：三条分支全部趋向无穷远，渐近线交点在实轴上 −1
- 中间结果：共轭复极点出射角为一对相反角
- 卡点：出射角累加相角时把该极点自身的相角也算进去
- 卡点：复极点出射角未判象限导致差 180°
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过按法则绘制根轨迹并指出渐近线与出射角
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
本卷实例
- 关键一步：由闭环特征方程列劳斯表，令首元为零求临界 K*
- 关键一步：由辅助方程解出虚轴交点频率
- 关键一步：写出稳定区间
- 中间结果：劳斯表首元为零对应根轨迹穿越虚轴
- 中间结果：临界增益把稳定区间与不稳定区间分开
- 卡点：只取一组交点漏掉另一组；得到 K* 后未回原题核对增益定义
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及系统稳定的 K* 范围
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
5五、由对数幅频图反求滞后-超前校正15 分#
思路
- 最小相位系统校正前(图a)与校正后(图b)对数幅频特性给定，校正前后开环增益不变：求校正方式与 Gc(s)、校正后稳定增益范围、K=1 时的相角裕度
本卷实例
- 关键一步：分别从两图读出转折频率与低频段高度，写出校正前 L0(ω) 与校正后 L(ω)
- 关键一步：由 Lc(ω)=L(ω)−L0(ω) 得到校正装置幅频特性
- 关键一步：按转折频率处斜率变化写出 Gc(s) 并判断校正方式
- 中间结果：校正装置在高低频段各有一个转折频率，呈滞后-超前特性
- 中间结果：校正前后开环增益不变，低频段高度相同
- 卡点：把延长线交点误当增益而未折算型别；斜率变化为 −40 时误判为一阶环节
- 卡点：校正前后特性图需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
- 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
- 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
- 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节
步骤
- 读低频段斜率确定型别 v
- 由低频段高度或延长线确定增益 K
- 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
- 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
- 写出并验证传递函数
通用考法
- 本卷考过由校正前后对数幅频特性反求校正装置传递函数
- 由给定 Bode 图写出传递函数
- 由实验频率特性辨识系统模型
- 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
- 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
- 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
本卷实例
- 关键一步：由相位滞后段改善稳态、相位超前段改善动态，判断为滞后-超前校正
- 关键一步：说明两部分转折频率的分布关系
- 中间结果：滞后-超前校正兼顾稳态精度与动态性能
- 卡点：把滞后-超前校正误判成单一超前或滞后校正
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 兼顾稳态精度与动态性能，适合指标要求较高的场合
- 低频段用滞后部分提高增益，中高频段用超前部分提高裕度
- 设计时先确定超前部分，再确定滞后部分
步骤
- 按稳态精度要求确定开环增益
- 选择新的截止频率并计算超前部分参数
- 计算为把低频增益抬到要求值所需的滞后部分参数
- 合并写出校正装置并校验
通用考法
- 本卷考过分析滞后-超前校正的作用并写出校正装置
- 设计滞后-超前校正装置
- 说明为何单一校正无法满足指标
- 分析校正后系统的低频与高频特性
常见易错
- 先设计滞后部分导致截止频率反复调整
- 两部分的转折频率分布重叠，互相削弱
本卷实例
- 关键一步：由校正后开环传函列闭环特征方程，用劳斯判据求增益稳定上限
- 关键一步：在幅频 0dB 处取 ωc，代入相频算 γ=180°+∠G(jωc)
- 中间结果：劳斯表给出 K 的上界约束
- 中间结果：相角由积分环节的 −90° 与各惯性环节的 −arctan 累加
- 卡点：未判稳就代入相角裕度；相角累加漏掉积分环节的 −90°
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过求校正后系统稳定范围与给定增益下的相角裕度
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
6六、离散系统脉冲传函与斜坡稳态误差15 分#
思路
- 采样系统 T=0.1s、K=1，求闭环脉冲传递函数，并求 r(t)=t 作用下的稳态误差
本卷实例
- 关键一步：把连续部分乘 (1−e^{−Ts})/s 后取 z 变换
- 关键一步：连续环节间无采样开关隔开时须先合并再变换
- 关键一步：对 1/[s²(s+1)] 部分分式展开后逐项查表
- 关键一步：由开环脉冲传函列闭环脉冲传函
- 中间结果：零阶保持器引入 (z−1)/z 因子
- 中间结果：闭环特征多项式含 e^{−T} 形式的系数
- 卡点：无采样开关隔开的连续环节各自取 z 变换再相乘
- 卡点：忘记把零阶保持器计入 G(z)
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
- 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
- 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
- G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
- 确定采样开关位置并画出离散化结构图
- 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
- 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
- 本卷考过由含零阶保持器的结构图求闭环脉冲传递函数
- 求开环或闭环脉冲传递函数
- 比较不同采样开关位置对结果的影响
- 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
- 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
- 忘记把零阶保持器计入 G(z)
本卷实例
- 关键一步：先用朱利判据或求特征根判断系统稳定
- 关键一步：对斜坡输入用终值定理求速度误差系数 kv
- 关键一步：按 ess=AT/kv 或终值定理求出稳态误差
- 中间结果：斜坡输入 R(z)=Tz/(z−1)²
- 中间结果：kv 由 (z−1)G(z) 在 z→1 的极限得到
- 卡点：未判稳直接套终值定理；斜坡输入式漏掉采样周期 T
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
- 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
- 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
- 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
- 求误差脉冲传递函数
- 数出 z=1 处极点重数确定型别
- 查表或用终值定理求稳态误差
- 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
- 本卷考过求离散系统在斜坡输入下的稳态误差
- 求离散系统在典型输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
- 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
- 未判稳就用终值定理
7七、描述函数法判断自振15 分#
思路
- 理想继电特性 N(X)=4M/(πX)、线性部分 10/[s(s+2)²]：用描述函数法说明必存在自振并求输出振幅与频率
本卷实例
- 关键一步：由 N(X)=4M/(πX) 得负倒描述函数 −1/N(X)=−πX/(4M)
- 关键一步：判断它随 X 增大在复平面上的走向与所在区域
- 中间结果：理想继电特性的负倒描述函数是负实轴上的一段
- 卡点：画成 N(X) 而不是负倒描述函数；漏标 X 增大方向
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
- 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
- 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
- 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
- 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
- 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
- 按定义求描述函数 N(A)
- 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
- 本卷考过写出理想继电特性的负倒描述函数并分析其走向
- 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
- 说明描述函数法的适用条件
- 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
- 把描述函数当成频率的函数
- 忽略一次谐波近似带来的误差条件
本卷实例
- 关键一步：写出线性部分 G(jω)，令其虚部为零求相位穿越频率
- 关键一步：在复平面画 G(jω) 与 −1/N(X)，判断交点处由不稳定区穿向稳定区
- 关键一步：令 −1/N(X) 与 G(jω) 的实部相等解出自振振幅
- 中间结果：交点给出自振频率与自振振幅
- 中间结果：起振判定取决于 X 增大时轨迹穿越方向
- 卡点：未标注 X 增大方向就判稳定性；把交点频率误当截止频率
- 卡点：非线性系统结构图未读图，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
- 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
- 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
- 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
- 求线性部分的频率特性 G(jω)
- 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
- 在同一复平面上画两条曲线并求交点
- 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A
通用考法
- 本卷考过用描述函数法判断自振并求振幅与频率
- 判断系统是否产生自持振荡
- 求自振频率与自振幅值
- 分析参数变化对自振的影响
常见易错
- 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
- 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
- 把交点频率当成截止频率
8八、由状态空间表达式求传递函数矩阵10 分#
思路
- 状态空间表达式被OCR为插图，解析给出 A=[[−1,1],[0,−1]]、B=[[0,1],[1,1]]、C=[1,1]：求 G(s)=C(sI−A)⁻¹B
本卷实例
- 关键一步：先求 (sI−A)⁻¹，A 为约当块时逆阵含 1/(s+1)² 项
- 关键一步：再左乘 C、右乘 B 得到传递函数矩阵
- 关键一步：按输入个数分列写出各通道传函
- 中间结果：传递函数矩阵为 1×2 行向量，分子含 (s+2) 与 (2s+3)
- 中间结果：重特征值 −1 使分母出现 (s+1)²
- 卡点：漏掉直接传递项 D；矩阵相乘次序写反
- 卡点：系统矩阵在卷面为插图，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过由状态空间表达式求传递函数矩阵
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
9九、状态转移矩阵与状态响应10 分#
思路
- 二阶状态方程 A=[[0,1],[3,2]]、B=[1,0]ᵀ、x(0)=[2,3]ᵀ、u(t)=δ(t)：求状态转移矩阵与状态响应
本卷实例
- 关键一步：写出 sI−A 并求逆，特征值为一对共轭复根
- 关键一步：把矩阵元素配方成 e^{t}cos、e^{t}sin 的拉氏变换标准形
- 关键一步：用 x(t)=Φ(t)x(0)+∫Φ(t−τ)Bu(τ)dτ 求响应
- 中间结果：特征值为 1±j√2，Φ(t) 含 e^{t}cos√2t 与 e^{t}sin√2t 项
- 中间结果：脉冲输入的响应只需算零输入项与卷积项
- 卡点：矩阵求逆时忘记检查行列式；配方时常数与分母的 (s−1)²+2 写错
- 卡点：原题输出方程在 OCR 流中残缺，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过求状态转移矩阵并求脉冲输入下的状态响应
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
10十、能控、能观与对角标准型10 分#
思路
- G(s)=(s²+6s+8)/(s²+4s+3)：分别求能控标准型、能观测标准型与对角线标准型
本卷考法
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型与对角线标准型
本卷实例
- 关键一步：先做真分式化分，取出直接传递项 D
- 关键一步：能控标准型按分母系数写友矩阵，输出矩阵由分子系数定
- 关键一步：能观标准型取能控标准型的对偶形式；对角线标准型做部分分式展开
- 中间结果：分子分母同阶，直接传递项为 1，三型分母相同
- 中间结果：部分分式系数决定对角阵的输入与输出矩阵
- 卡点：真分式化分时直接项 D 处理错误；友矩阵中系数符号写反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过由传递函数写出能控标准型
- 本卷考过由传递函数写出能观标准型与对角线标准型
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
11十一、李雅普诺夫第二法证全局渐近稳定10 分#
思路
- 二阶非线性系统，证明 a₁>0、a₂>0 时系统全局渐近稳定
本卷实例
- 关键一步：先令状态导数同时为零求出唯一平衡状态 x=0
- 关键一步：取正定函数 V(x) 并对时间求导，代入状态方程整理成平方和形式
- 关键一步：由 V̇ 半负定且不恒为零判定渐近稳定，再由 V 径向无穷判定全局
- 中间结果：V̇ 可整理成 −(x₁+x₂)² 形式的半负定函数
- 中间结果：判全局还需验证当范数趋于无穷时 V 趋于无穷
- 卡点：只判 V 正定就下结论而未检查 V̇；把 V̇ 半负定直接当负定
- 卡点：被控对象方程在OCR流中是插图，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
- 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
- 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
- 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
- 选取或构造李雅普诺夫函数
- 沿系统轨迹求其对时间的导数
- 判断函数与导数的正负定性
- 据此得出稳定性结论
通用考法
- 本卷考过构造李雅普诺夫函数证明系统全局渐近稳定
- 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
- 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
- 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
- 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
- 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
12十二、不能控系统的状态反馈极点配置10 分#
思路
- 已知系统动态方程，问能否用 u=−kx 使闭环特征值为 −2、−2、−1，若能则求 k
本卷实例
- 关键一步：由 [B AB A²B] 求能控性矩阵的秩
- 关键一步：把原状态方程化为能控性分解的标准形式，分离能控与不能控子系统
- 关键一步：由不能控子系统的特征值判断系统是否可镇定
- 中间结果：能控性矩阵不满秩，系统不完全能控
- 中间结果：不能控极点为 −1，位于 s 左半平面，系统可镇定但极点不能全部任意配置
- 卡点：只算到 A^{n−2}B 就下结论；未做分解直接列特征方程求 k
- 卡点：原题状态空间表达式在 OCR 流中残缺，需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过判断系统能控性并进行结构分解
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
本卷实例
- 关键一步：只对能控子空间设反馈增益，写出其特征多项式
- 关键一步：与期望特征式 (s+2)² 逐项比较系数求增益
- 关键一步：把子空间增益变换回原坐标系，不能控极点保持不可改
- 中间结果：不能控极点 −1 恰好等于期望极点之一，因此仍可实现题设闭环极点
- 中间结果：可配置的增益分量唯一确定，含不能控状态的增益分量为任意值
- 卡点：未先验证能控性就配极点；系数比对时符号写反
- 卡点：把不完全能控系统当成可任意配置极点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过对能控子系统设计状态反馈使可配置极点到位
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
