1一、弹簧-质块-阻尼器建模与动态指标#
思路
- 对质块作受力分析列写运动方程，取拉氏变换求传递函数；由阶跃响应的稳态值定弹簧刚度，再由阻尼比与调节时间定自然频率，最后解出质量与阻尼系数。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由弹簧、质量、阻尼元件列写质块的运动方程
本卷实例
- 关键一步：对质块选定正方向作受力分析，把弹簧力、阻尼力与外力合成为合力
- 关键一步：弹簧力由两端位移差决定，阻尼力由两端速度差决定
- 中间结果：整理得到质量乘加速度加阻尼力加弹簧力等于外力的二阶方程
- 卡点：图 a 为原卷插图，质块连接方式与正方向需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过由弹簧、质量、阻尼元件列写质块的运动方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 对机械系统运动方程取拉氏变换求位移对力的传递函数
本卷实例
- 关键一步：在零初始条件下对方程两端做拉氏变换，把外力与位移整理成比值
- 中间结果：传递函数化为一个比例环节串联一个二阶标准形式
- 卡点：分母常数项对应弹簧刚度除以质量，别把刚度与增益混写
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过对机械系统运动方程取拉氏变换求位移对力的传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 把机械系统传函化成标准二阶形式并比对出阻尼比与自然频率
本卷实例
- 关键一步：把分母二次项系数归一化，再与标准形式逐项比对
- 中间结果：一次项系数给出两倍阻尼比乘自然频率，常数项给出自然频率平方
- 卡点：题给阻尼比用来配合调节时间定自然频率，不要与开环增益混用
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过把机械系统传函化成标准二阶形式并比对出阻尼比与自然频率
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由阶跃响应的稳态值与调节时间反求自然频率
本卷实例
- 关键一步：由图 b 读出稳态位移，用终值定理把稳态值表示为外力幅值除以弹簧刚度
- 关键一步：调节时间按百分之二误差带，与阻尼比乘自然频率成反比
- 中间结果：稳态值定出弹簧刚度，再由调节时间与阻尼比联立解出自然频率
- 卡点：图 b 为原卷插图，稳态值与调节时间读数需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
- 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
- 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
- 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
- 由标准形式读出 ξ 与 ωn
- 用超调量公式先求 ξ
- 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
- 必要时计算振荡次数
通用考法
- 本卷考过由阶跃响应的稳态值与调节时间反求自然频率
- 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
- 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
- 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
- 把两种误差带的调节时间系数搞混
- 峰值时间与上升时间混用
- 超调量公式中漏乘 100%
公式