1一、倒立摆动力学建模、线性化与全响应20 分#
思路
- 对绕铰点转动的圆球列转动定律建立入射角的动力学方程，在小角度下用正弦约等于角本身线性化，再由含初值的拉氏变换解出全响应。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 对绕铰点转动的圆球列转动定律，建立入射角 θ 的动力学方程
本卷实例
- 关键一步：对铰点取矩，忽略杆质量与转动惯量写转动方程
- 中间结果：转动惯量按圆球绕铰点计，恢复力矩由重力分力给出
- 卡点：勿把小球当质点平动处理，须按绕铰点转动建模
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过对绕铰点转动的圆球列转动定律，建立入射角 θ 的动力学方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
非线性模型的线性化
建模与机电系统
本卷考法
- 在小角度条件下对倒立摆非线性方程做线性化
本卷实例
- 关键一步：令正弦约等于角本身代入，只保留一次项
- 中间结果：线性化后为角位移的二阶常系数齐次方程
- 卡点：平衡点与正方向约定不同会使重力项符号相反
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 在工作点附近作泰勒展开并忽略高阶项
- 线性化模型只在小偏差范围内有效
- 必须先求出平衡工作点
步骤
- 由静态方程求平衡工作点
- 在工作点处求偏导得到增量系数
- 写出以增量表示的线性化方程
通用考法
- 本卷考过在小角度条件下对倒立摆非线性方程做线性化
- 对非线性微分方程在平衡点处线性化
- 写出小偏差线性化模型的传递函数
常见易错
- 未先求平衡点就直接展开
- 把增量符号去掉后与原始变量混用
公式
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 由线性化方程与两个初值求系统的全响应 θ(t)
本卷实例
- 关键一步：把初值代入拉氏变换的微分性质再解出像函数
- 中间结果：像函数由初值决定的自由响应项构成，含两个待定系数
- 卡点：初值含一阶导，做二阶导变换时勿漏该项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过由线性化方程与两个初值求系统的全响应 θ(t)
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式