一一、数学建模15 分#
思路
- 以直流电流源为输入、电感电流为输出建立电路微分方程模型，再选状态变量写状态空间表达式并求传递函数。
电路网络与有源网络建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由电路网络建立微分方程或传递函数模型
本卷实例
- 关键一步：按基尔霍夫定律与元件伏安关系列写回路方程
- 关键一步：直流电流源作为输入并入状态方程
- 中间结果：以电感电流为输出时分子由输入通路决定
- 卡点：电路拓扑需回原卷核对图
- 卡点：把电流源当电压源列方程
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 无源网络用复阻抗分压或节点法
- 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
- 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
- 画出复阻抗等效电路
- 用分压公式或节点电流方程列写关系
- 整理为输出与输入的比值
通用考法
- 本卷考过由电路网络建立微分方程或传递函数模型
- RC 网络或有源滤波器求传递函数
- 求运算电路的输出表达式
常见易错
- 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
- 把反相输入的负号漏掉
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 由物理系统列写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：状态变量个数等于独立储能元件个数
- 关键一步：把二阶方程拆成一阶方程组并整理成矩阵形式
- 中间结果：A、B、C 由元件参数与输入输出接入点确定
- 卡点：状态变量个数与系统阶数不匹配
- 卡点：输出方程漏写直接传递项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过由物理系统列写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由微分方程或状态空间求输出对输入的传递函数
本卷实例
- 关键一步：零初始条件下取拉氏变换后消去中间变量
- 中间结果：传函分母为电路特征式，分子为输入输出耦合项
- 卡点：忘记零初始条件把初值代入变换
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由微分方程或状态空间求输出对输入的传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式