1一、电路的建模与比例积分控制器#
思路
- 对两电容一电感的电路列微分方程组，消元得输出对输入的传函；再串入比例积分控制器，由斜坡稳态误差要求与劳斯判据定增益范围；最后取电容电压与电感电流为状态写状态空间表达式。题面含图未读图。
电路网络与有源网络建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由含两个电容与一个电感的电路建立微分方程并求传递函数
本卷实例
- 关键一步：按电容电流与电感电压的伏安关系列三式，逐步回代消去中间电流
- 关键一步：整理成输出项在左、输入项在右的多项式等式
- 中间结果：传函分子分母都是 s 的三次多项式
- 卡点：把电容复阻抗写成 C 乘 s；电路图未读图，元件连接需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 无源网络用复阻抗分压或节点法
- 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
- 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
- 画出复阻抗等效电路
- 用分压公式或节点电流方程列写关系
- 整理为输出与输入的比值
通用考法
- 本卷考过由含两个电容与一个电感的电路建立微分方程并求传递函数
- RC 网络或有源滤波器求传递函数
- 求运算电路的输出表达式
常见易错
- 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
- 把反相输入的负号漏掉
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 以两电容电压与电感电流为状态写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：状态变量个数等于储能元件个数，逐个写一阶导数方程
- 中间结果：A 为三阶方阵，B 为列向量，输出含状态与输入的直通项
- 卡点：输出方程漏掉直通项；把支路电流也当状态
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过以两电容电压与电感电流为状态写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
PID 控制器与参数整定
系统校正
本卷考法
- 设计比例积分控制器并求满足斜坡误差要求的增益范围
本卷实例
- 关键一步：控制器写成 K 乘 (s+1)/s 的形式串入回路
- 关键一步：先写闭环特征方程用劳斯判据定稳定增益范围，再由速度误差系数写误差不等式
- 中间结果：稳定范围给出增益下界为零，误差要求给出增益的一个下界
- 卡点：把积分增益与积分时间混谈；只解误差不等式不与稳定范围取交集
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 比例项提高快速性但存在稳态误差
- 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
- 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
- PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正
步骤
- 按误差类型选择需要引入的环节
- 先调比例再调积分最后调微分
- 用稳定裕度或性能指标校验并微调
通用考法
- 本卷考过设计比例积分控制器并求满足斜坡误差要求的增益范围
- 设计 PID 控制器满足给定指标
- 分析各参数变化对系统性能的影响
- 说明微分项对噪声的影响
常见易错
- 把 PI 的相位影响说成超前
- 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定
公式
典型输入下的稳态误差计算
稳态误差
本卷考法
- 由单位斜坡输入的稳态误差要求反求比例积分控制器增益
本卷实例
- 关键一步：先判稳，再由终值定理写速度误差系数与增益的关系
- 关键一步：把误差要求化成关于增益的不等式
- 中间结果：该系统为Ⅱ型，速度误差系数有限且正比于控制器增益
- 卡点：未判稳就套终值定理；把斜坡误差当成与增益无关
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
- 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
- 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
- 判断系统型别并联立稳定性检查
- 写出输入信号的拉氏变换
- 用终值定理求 e_ss，或直接查表
- 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
- 本卷考过由单位斜坡输入的稳态误差要求反求比例积分控制器增益
- 求给定输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
- 未判稳就使用终值定理
- 输入为组合信号时漏掉某一分量
- Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式