1一、电路的状态空间建模与输入输出关系证明#
思路
- 同一个 RLC 网络取两组不同状态变量（三阶与二阶），证两系统输入输出关系相同
电路网络与有源网络建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由电路结构列写以电容电压、电感电流为状态变量的状态方程
本卷实例
- 关键一步：电容电压与电感电流是天然的状态变量，个数正好等于储能元件个数，也等于系统阶数
- 关键一步：列方程时用元件伏安关系：电容电流等于电容乘电压的导数，电感电压等于电感乘电流的导数
- 关键一步：对每个节点写电流平衡，把导数项留在左边、其余项移到右边，整理成矩阵形式
- 中间结果：本题所有元件参数都为 1，A、B 矩阵里会出现 1 与 −1 这类整数元素，便于手工核对
- 卡点：状态变量个数与储能元件个数不一致；或把中间变量（如某条支路电流）也当成状态变量
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 无源网络用复阻抗分压或节点法
- 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
- 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
- 画出复阻抗等效电路
- 用分压公式或节点电流方程列写关系
- 整理为输出与输入的比值
通用考法
- 本卷考过由电路结构列写以电容电压、电感电流为状态变量的状态方程
- RC 网络或有源滤波器求传递函数
- 求运算电路的输出表达式
常见易错
- 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
- 把反相输入的负号漏掉
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 写出状态空间表达式并确定各系数矩阵
本卷实例
- 关键一步：输出方程由输出量与状态变量的关系直接给出，本题输出是某个节点的电压，用状态变量表示即可
- 关键一步：若输出不含输入的直通项，则直接传递矩阵为零
- 关键一步：两组状态变量维数不同时，注意各自的 A 矩阵阶数不同
- 中间结果：三阶实现与二阶实现的结构不同，但输出方程都只用到少数几个状态变量
- 卡点：输出方程里漏掉某一项状态变量；或把状态方程写成代数方程，导数关系不明确
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过写出状态空间表达式并确定各系数矩阵
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
状态空间与传递函数的关系
状态空间分析
本卷考法
- 证明两个阶数不同的系统具有相同的输入输出关系
本卷实例
- 关键一步：输入输出关系相同等价于传递函数相同，而状态方程并不需要相同，这是证明的出发点
- 关键一步：用传递函数公式分别算出两个系统，再把高阶那边的分子分母约分后比对
- 关键一步：阶数不同却传递函数相同，说明高阶那边存在零极点对消，可用能控能观分解解释被消掉的那部分
- 中间结果：约分后两者完全一致，说明高阶系统中有一个状态既不可控也不可观，对输入输出没有贡献
- 卡点：去比较状态方程是否相同；或算出传递函数后没有约分就下结论说不相同
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过证明两个阶数不同的系统具有相同的输入输出关系
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式