华北电力大学(北京) 841 自动控制理论（含现控） 2022 年真题思维导图

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难度：中等　全卷9题，经典控制6题加现代控制3题。依次考反馈控制原理与方框图、二阶系统指标反求参数与稳态误差、非最小相位系统奈奎斯特判据、串联滞后校正与截止频率、离散系统输出脉冲传函与z变换、描述函数法自振、能观性与对偶系统、李雅普诺夫第二法、状态方程的解与离散化。卷面逐题印分值。

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1一、反馈控制系统的组成与方框图15 分#

思路

• 描述人洗澡时用手试水温直到合适的反馈过程，指出适宜水温为输入、实际水温为输出、大脑为控制装置、热水器为被控对象。

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 由人体洗澡调温过程指出输入、输出、控制装置与被控对象

本卷实例

• 关键一步：把实际水温与人体适宜水温之差作为偏差信号
• 关键一步：大脑作比较与决策、手作执行，热水器为被控对象
• 中间结果：输入为适宜水温，输出为实际水温，被控对象为热水器
• 卡点：控制装置是大脑而不是手，手只是执行机构

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过由人体洗澡调温过程指出输入、输出、控制装置与被控对象
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

2二、二阶系统指标反求参数与稳态误差18 分#

思路

• 由控制框图写闭环传递函数，按超调量与峰值时间反求 ξ、ωn 与 K、A，再算上升时间、调节时间并判断稳定后求单位阶跃下的稳态误差。

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由二阶闭环传函化标准形式求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：写出闭环传函并整理成标准二阶形式
• 关键一步：与 ωn² 和 2ξωn 逐项比较读参数
• 中间结果：闭环特征多项式为 s² 加 (1 加 Ak)s 加 k
• 卡点：分母 s² 项系数需先归一化再读参数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由二阶闭环传函化标准形式求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量与峰值时间联立反求 K 和 A

本卷实例

• 关键一步：用超调量公式与峰值时间公式联立解 ξ 与 ωn
• 关键一步：把 ξ、ωn 代回特征多项式系数关系求 K 与 A
• 中间结果：超调量只决定阻尼比，峰值时间同时含 ωn
• 卡点：两个指标先独立解 ξ 与 ωn，再联立解 K 与 A，顺序别乱

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由超调量与峰值时间联立反求 K 和 A
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由 ξ 与 ωn 计算上升时间与调节时间

本卷实例

• 关键一步：把阻尼比与自然频率代入上升时间公式
• 关键一步：调节时间按百分之五和百分之二两种误差带分别计算
• 中间结果：上升时间公式含反余弦阻尼比的相角
• 卡点：两种误差带的调节时间系数不同，别混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由 ξ 与 ωn 计算上升时间与调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 判断稳定后求单位阶跃输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先用特征根或劳斯判据确认闭环稳定
• 关键一步：写出误差传函后用终值定理求稳态误差
• 中间结果：单位阶跃输入下稳态误差取决于开环是否含积分环节
• 卡点：未判稳就用终值定理会得到错误结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过判断稳定后求单位阶跃输入下的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、非最小相位系统的奈奎斯特判据15 分#

思路

• 由开环传函写幅频与相频表达式画奈奎斯特曲线，数开环右半平面极点数与净包围圈数，求闭环右半平面极点数并判稳。

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由开环传函写幅频相频并画概略奈奎斯特曲线

本卷实例

• 关键一步：令 s 等于 jω 代入，实部虚部分开后写幅值与相角
• 关键一步：取 ω 趋于零与无穷大确定起止点
• 中间结果：开环含一个积分环节与一个右半平面极点，相角自负270度起
• 卡点：右半平面极点使相角计算需按第四象限取值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由开环传函写幅频相频并画概略奈奎斯特曲线
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由奈奎斯特曲线数包围圈数求右半平面闭环极点数

本卷实例

• 关键一步：先数开环右半平面极点数 P
• 关键一步：由 Z 等于 P 减 2N 求右半平面闭环极点数
• 中间结果：曲线与负实轴的交点决定包围圈数
• 卡点：半圈要按正负分别计入净圈数，别只数整圈

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由奈奎斯特曲线数包围圈数求右半平面闭环极点数
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

最小相位系统与非最小相位系统 频域分析

本卷考法

• 识别开环含右半平面极点的非最小相位系统

本卷实例

• 关键一步：由开环分母 Ts 减 1 判断存在右半平面极点
• 关键一步：非最小相位系统的相角变化范围与最小相位不同
• 中间结果：相频表达式为负90度减180度再与反正切组合的形式
• 卡点：不能只凭幅频曲线唯一确定非最小相位系统的传函

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 最小相位系统：全部零点极点都在左半平面
• 同类系统中最小相位系统的相位滞后最小
• 非最小相位系统幅频特性相同但相位滞后更大
• 含右半平面零点时阶跃响应出现初始反向

步骤

• 检查零点实部符号判断是否最小相位
• 比较同幅频特性的两类系统的相频曲线
• 分析右半平面零点对时域响应的影响

通用考法

• 本卷考过识别开环含右半平面极点的非最小相位系统
• 判断系统是否最小相位
• 解释阶跃响应初始反向的原因
• 说明仅由幅频曲线能否唯一确定传递函数

常见易错

• 以为幅频特性可以唯一确定传递函数
• 把右半平面极点与右半平面零点混为一谈

4四、串联滞后校正与截止频率15 分#

思路

• 由校正装置传递函数识别滞后校正，画校正前后对数幅频特性，分段求校正前后截止频率，再由相频表达式求相角裕量。

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 识别串联滞后校正并分析其频率特性

本卷实例

• 关键一步：由 Go(s) 分子零点在极点右侧判断为滞后校正
• 关键一步：写出校正后开环传函并找出各转折频率
• 中间结果：滞后校正以牺牲带宽换取低频增益提高
• 卡点：校正装置里 b 小于一，转折频率顺序别写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过识别串联滞后校正并分析其频率特性
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 绘制校正前后对数幅频特性并逐段定斜率

本卷实例

• 关键一步：由开环传函确定低频段斜率与高度
• 关键一步：按各转折频率依次改变渐近线斜率
• 中间结果：校正后低频段高度提高、截止频率左移
• 卡点：逐段改斜率是累加不是替换

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过绘制校正前后对数幅频特性并逐段定斜率
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前后截止频率与相角裕量

本卷实例

• 关键一步：分段假设截止频率所在区间，令幅值等于一求解
• 关键一步：代入相频表达式求相角裕量
• 中间结果：校正前相角裕量很小甚至为负，校正后应满足指标要求
• 卡点：假设的截止频率区间要与解出的结果自洽

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前后截止频率与相角裕量
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

5五、离散系统输出脉冲传函与z变换15 分#

思路

• 按离散结构图分别列参考输入与扰动到输出的通路，对采样通路整体取 z 变换求输出 C(z)，再求含纯延迟的 z 变换。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器与扰动通道的闭环输出脉冲传函

本卷实例

• 关键一步：按结构图分别列参考输入与扰动到输出的两条通路
• 关键一步：对每个采样通路整体取 z 变换后消去中间变量
• 中间结果：扰动作用下输出分母与参考输入作用时相同
• 卡点：扰动通道的采样开关位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器与扰动通道的闭环输出脉冲传函
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 分别求参考输入与扰动输入作用下的传递函数

本卷实例

• 关键一步：求某一输入的传函时把其余输入置零
• 关键一步：两条通路分别用梅森公式或结构图代数化简
• 中间结果：输出为两条通路结果之和，通道增益分母相同
• 卡点：扰动传函与参考输入传函相加前先确认系统线性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过分别求参考输入与扰动输入作用下的传递函数
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 求含纯延迟 e 指数项的 z 变换

本卷实例

• 关键一步：把纯延迟提出来变成 z 的负幂移位因子
• 关键一步：对剩余有理函数用部分分式分解后查 z 变换表
• 中间结果：延迟环节使结果整体乘 z 的负整数次幂
• 卡点：延迟拍数需按采样周期折算，别直接写 e 指数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过求含纯延迟 e 指数项的 z 变换
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

6六、描述函数法分析自振15 分#

思路

• 求含死区继电特性的负倒描述函数，与线性部分幅相曲线画在同一复平面，按 A 增大方向取稳定交点求自振振幅与频率。

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由带死区的继电特性描述函数求负倒描述函数

本卷实例

• 关键一步：对含根号的描述函数取倒数后取负
• 关键一步：分析 A 趋于 h 与无穷大时负倒描述函数的极限
• 中间结果：负倒描述函数曲线为负实轴上先伸向负无穷再折返的一段
• 卡点：曲线在 A 等于根号二处出现极值转折

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由带死区的继电特性描述函数求负倒描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由两曲线交点求自振振幅与频率

本卷实例

• 关键一步：令负倒描述函数等于线性部分在负实轴的截距
• 关键一步：结合 A 增大方向判断哪个交点对应稳定自振
• 中间结果：线性部分相角等于负180度处的幅值给出交点位置
• 卡点：含死区的描述函数有两个交点，需按稳定穿越方向取舍

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由两曲线交点求自振振幅与频率
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

7七、能观性与对偶系统17 分#

思路

• 构造能观性矩阵判断完全能观，由状态空间表达式求传递函数阵，再写能观标准型实现并求其转置对偶系统。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 构造能观性矩阵判断系统是否完全能观

本卷实例

• 关键一步：把 C 与 CA、CA² 按行叠放构造能观性矩阵
• 关键一步：求矩阵秩并与状态维数比较
• 中间结果：能观性矩阵满秩时系统完全能观
• 卡点：CA 的阶数与状态维数要对应，别漏乘一阶

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过构造能观性矩阵判断系统是否完全能观
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数矩阵

本卷实例

• 关键一步：用 C 乘 sI 减 A 的逆再乘 B 求传递函数
• 关键一步：对矩阵求逆后用伴随矩阵法整理成有理分式
• 中间结果：传递函数分母为特征多项式，分子由 C 与伴随矩阵乘积决定
• 卡点：矩阵求逆需先确认行列式不为零，符号易错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数矩阵
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写能观标准型实现并求对偶系统

本卷实例

• 关键一步：按分母系数写出能观标准型的状态矩阵与输出矩阵
• 关键一步：对偶系统的矩阵取原实现矩阵的转置与互换
• 中间结果：能观标准型的 A 为友矩阵转置，B 由分子系数给出
• 卡点：对偶关系是 A 转置、B 与 C 互换，别把 D 也换了

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写能观标准型实现并求对偶系统
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

8八、李雅普诺夫第二法证明渐近稳定15 分#

思路

• 按题给状态方程取正定二次型李雅普诺夫函数，沿轨迹求导并利用 a1、a2 大于零说明导数负定，再补大范围条件。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第二法证明参数满足条件时大范围渐近稳定

本卷实例

• 关键一步：取正定二次型函数 V 并沿状态方程求导
• 关键一步：把导数化为只含状态平方项的负定形式
• 中间结果：V 的导数中交叉项相消，只剩含 a1 与 a2 的负项
• 卡点：V 趋于无穷大的条件要单独说明，才能得大范围结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第二法证明参数满足条件时大范围渐近稳定
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

9九、状态方程的解与离散化25 分#

思路

• 写出线性定常状态方程的通解形式，再在两相邻采样时刻间积分并用零阶保持器假设，证明连续系统离散化后的状态空间表达式。

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 写出线性定常状态方程的解

本卷实例

• 关键一步：用状态转移矩阵写出零输入与卷积积分两项之和
• 关键一步：卷积项用矩阵指数与输入积分表示
• 中间结果：状态解为矩阵指数乘初值再加卷积积分项
• 卡点：积分下限与变量替换要写对，初值别漏乘转移矩阵

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过写出线性定常状态方程的解
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

连续系统的离散化 离散控制系统

本卷考法

• 用零阶保持器把连续状态方程离散化

本卷实例

• 关键一步：在两相邻采样时刻之间积分状态方程的解
• 关键一步：令输入在采样周期内保持常值并作变量替换
• 中间结果：离散化后 G(T) 为矩阵指数，H(T) 为矩阵指数积分乘 B
• 卡点：输出方程离散化后 C、D 不变，别自行改动

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
• 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
• 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变

步骤

• 求连续系统的状态转移矩阵
• 把采样周期代入得到离散状态矩阵
• 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
• 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应

通用考法

• 本卷考过用零阶保持器把连续状态方程离散化
• 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
• 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
• 计算采样点上的状态与输出序列

常见易错

• 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
• 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵

公式