1一、二阶系统四种阻尼下的阶跃响应#
思路
- 由给定二阶闭环传递函数化标准形式，分别讨论零阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼四种情况，写出单位阶跃响应并在复平面上标出特征根位置。
二阶系统标准形式与阻尼比
时域响应与动态性能
本卷考法
- 由给定二阶闭环传函化标准形式并判断四种阻尼类型
本卷实例
- 关键一步：把分母写成 T²s²+2ξTs+1 的标准形式
- 关键一步：分别令 ξ 等于零、介于零和一之间、等于一、大于一，对应四种阻尼
- 关键一步：与标准二阶传函逐项比对，得到阻尼比 ξ 与自然频率
- 中间结果：四种阻尼对应特征根分别为共轭纯虚根、左半平面共轭复根、二重负实根和两个互异负实根
- 卡点：分母 s² 项系数为 T²，必须先归一化再读取参数；特征根位置与响应草图需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
- ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
- 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
- β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
- 把闭环传递函数化成标准二阶形式
- 比对系数求出 ωn 与 ξ
- 写出闭环极点表达式
- 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
- 本卷考过由给定二阶闭环传函化标准形式并判断四种阻尼类型
- 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
- 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
- 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
- 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
- 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
零极点分布与响应模态
传递函数
本卷考法
- 由特征根位置判断响应模态并画阶跃响应草图
本卷实例
- 关键一步：先解闭环特征方程得到特征根
- 关键一步：按实根、重根、共轭虚根、共轭复根分类写响应的指数项或振荡项
- 中间结果：无阻尼响应含等幅振荡项，过阻尼响应为两个衰减指数项叠加，临界阻尼出现 t 乘衰减指数项
- 卡点：四种响应草图的振荡次数和过渡形状依赖原卷插图，需回原卷核对
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 极点决定响应由哪些模态组成，零点决定各模态的权重
- 左半平面极点对应衰减，右半平面对应发散，虚轴对应等幅振荡
- 离虚轴最近的极点为主导极点，主导响应的形状
- 共轭复极点产生振荡，实极点产生单调分量
步骤
- 求特征方程得到全部闭环极点
- 按实数/共轭复数分类，写出对应模态
- 找出主导极点对，近似为低阶系统
- 结合零点判断各模态权重大小
通用考法
- 本卷考过由特征根位置判断响应模态并画阶跃响应草图
- 由极点分布写出响应的大致形式
- 判断系统是单调还是振荡、是否收敛
- 用主导极点概念把高阶系统近似为二阶系统
常见易错
- 只看极点分布就断定振荡，忽略零点引起的模态权重为零
公式