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华北电力大学(北京) 841 自动控制理论(含现控) 2024 年真题思维导图

211 院校共 10 题合计 150 分

难度:中等 全卷十题各15分;自控与现控并重,覆盖反馈控制举例、齿轮系建模、Bode反求与超前校正、奈奎斯特、离散系统、描述函数、二阶动态性能、能控能观条件、李雅普诺夫证明与最小实现;工程背景与图题较多

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1一、反馈控制原理举例15 分#

思路
  • 从日常活动中找闭环控制实例,指认给定、被控对象、输出量与控制装置,并按信号流向画控制方框图
本卷考法
  • 举例说明反馈控制原理并指认控制系统各环节
本卷实例
  • 关键一步:选一个含检测与比较的日常闭环实例,按给定、比较、控制、对象、检测串环
  • 中间结果:方框图由给定、比较、控制装置、被控对象与反馈通道构成
  • 卡点:被控对象与控制装置易混,须逐项指认输入信号、被控对象、输出量、控制装置
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过举例说明反馈控制原理并指认控制系统各环节
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半

2二、齿轮系运动微分方程15 分#

思路
  • 两齿轮线速度与传递功率相等,先对各轴用动静法列方程,再消去中间变量得输入到输出的微分方程
机械系统建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 由齿轮传动关系与转动惯量列写机械系统运动微分方程
本卷实例
  • 关键一步:由线速度相等得两轴转速关系,由功率相等得两轴转矩关系
  • 中间结果:对各齿轮用动静法列转动方程,含转动惯量、粘性摩擦与负载转矩
  • 卡点:消去中间变量后要折算到输出轴,图(a)图(b)需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
  • 三种基本元件:质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
  • 同一方向取正,反向取负,逐项列出合力
步骤
  • 选定正方向并作受力分析
  • 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
  • 按 F=ma 列写运动方程
  • 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
  • 本卷考过由齿轮传动关系与转动惯量列写机械系统运动微分方程
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
  • 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式

3三、Bode反求传函、根轨迹与超前校正15 分#

思路
  • 由幅频图反求传函,画根轨迹定稳定增益,再比较校正前后的截止频率与相角裕量
本卷考法
  • 由开环对数幅频特性反求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:由低频段斜率定型别,两个转折频率定两个惯性环节的时间常数
  • 中间结果:开环传函写成含积分环节与两个一阶环节的比例形式
  • 卡点:幅频曲线的读数与转折频率需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
  • 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
  • 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
  • 斜率变化 -20 对应惯性环节,+20 对应一阶微分,-40 可能是振荡环节
步骤
  • 读低频段斜率确定型别 v
  • 由低频段高度或延长线确定增益 K
  • 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
  • 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
  • 写出并验证传递函数
通用考法
  • 本卷考过由开环对数幅频特性反求传递函数
  • 由给定 Bode 图写出传递函数
  • 由实验频率特性辨识系统模型
  • 检验候选传递函数与曲线是否吻合
常见易错
  • 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
  • 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节
公式
本卷考法
  • 绘制开环增益变化时的系统根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:由三个开环极点确定实轴根轨迹区间与渐近线
  • 中间结果:分离点方程给出实轴上的分离与会合位置
  • 卡点:渐近线与分离点都要先算,根轨迹草图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过绘制开环增益变化时的系统根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 由虚轴交点求系统稳定时的增益范围
本卷实例
  • 关键一步:令特征方程中s等于jω,实部虚部分别为零联立求临界增益
  • 中间结果:临界频率与临界增益由两个实数方程唯一确定
  • 卡点:稳定范围是开区间,端点临界增益不能取
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过由虚轴交点求系统稳定时的增益范围
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式
超前校正 系统校正
本卷考法
  • 由给定超前校正环节比较校正前后的截止频率与相角裕量
本卷实例
  • 关键一步:把校正环节写成超前网络标准形,分别对校正前后令幅值等于1求频率
  • 中间结果:校正前后各自求出截止频率与该频率处的相角裕量
  • 卡点:比较的是同一指标,两处截止频率不能混用,转折频率别漏乘
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超前校正利用相位超前特性提高相角裕度
  • 会使截止频率提高,响应加快
  • 最大超前角出现在两个转折频率的几何中点
  • 最大超前角不超过 60°,否则噪声放大明显
步骤
  • 由未校正系统的相角裕度差额确定所需最大超前角
  • 由最大超前角公式求 α
  • 由 α 与目标截止频率求两个转折频率
  • 写出校正装置传递函数并校验
通用考法
  • 本卷考过由给定超前校正环节比较校正前后的截止频率与相角裕量
  • 设计串联超前校正装置
  • 计算校正后的相角裕度与截止频率
  • 分析超前校正的局限性
常见易错
  • 计算补偿角时忽略截止频率变化带来的附加相角损失
  • α 的取值与超前角公式方向取反
公式

4四、开环幅相曲线与奈奎斯特判据15 分#

思路
  • 开环含一个右半平面极点,先画奈氏曲线并求与负实轴交点,再由P与包围数分析增益对稳定性的影响
本卷考法
  • 由开环传函绘制奈奎斯特曲线并求与负实轴的交点
本卷实例
  • 关键一步:写幅频相频表达式,取频率趋于零、趋于无穷与相角为负180度三点定走向
  • 中间结果:曲线与负实轴的交点幅值含增益与两个时间常数之积
  • 卡点:初始相角与穿越方向易混,曲线草图需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由开环传函绘制奈奎斯特曲线并求与负实轴的交点
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
奈奎斯特判据 稳定性分析
本卷考法
  • 用奈奎斯特判据分析增益对闭环稳定性的影响
本卷实例
  • 关键一步:先数开环右半平面极点数P,再按曲线与临界点位置数包围圈数
  • 中间结果:交点落在负一临界点两侧,分别对应不稳定与稳定两种结论
  • 卡点:含右半平面极点时P不为零,不能按最小相位系统直接判
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环稳定 ⇔ Z=N+P,其中 Z 为右半平面闭环极点数
  • P 为开环右半平面极点数,须先数清楚
  • N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
  • 逆时针包围为正,顺时针为负
步骤
  • 先求开环极点,数出右半平面个数 P
  • 绘制开环幅相特性曲线(或利用 Bode 图判稳)
  • 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
  • 由 Z=N+P 判断闭环稳定性
通用考法
  • 本卷考过用奈奎斯特判据分析增益对闭环稳定性的影响
  • 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
  • 求使闭环稳定的开环增益范围
  • 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况
常见易错
  • 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
  • 把包围圈数的正负号定义搞反
  • 没有先数开环右半平面极点数 P
公式

5五、离散系统脉冲传函与稳态误差15 分#

思路
  • 含零阶保持器的采样系统先求脉冲传函与特征方程,用朱利判据定稳定域、终值定理求误差范围
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 由含零阶保持器的采样系统求开环脉冲传函
本卷实例
  • 关键一步:对保持器与对象乘积作部分分式展开后查z变换表
  • 中间结果:开环脉冲传函在z等于1处有一重极点,分子为一次多项式
  • 卡点:零阶保持器与采样周期必须代入,否则分子系数会错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过由含零阶保持器的采样系统求开环脉冲传函
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 由闭环特征方程用朱利判据求增益稳定区间
本卷实例
  • 关键一步:代二阶朱利稳定条件列出不等式组,解增益上下限
  • 中间结果:稳定区间为开区间,由三个不等式共同确定
  • 卡点:朱利判据三个条件要同时满足,漏一个会把稳定域放大
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过由闭环特征方程用朱利判据求增益稳定区间
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式
离散系统的稳态误差 离散控制系统
本卷考法
  • 由终值定理求复合输入下的稳态误差并反求增益区间
本卷实例
  • 关键一步:输入含阶跃与斜坡,写出静态位置与速度误差系数求稳态误差
  • 中间结果:阶跃分量无差,只有斜坡分量贡献稳态误差
  • 卡点:误差要求区间要与稳定区间取交集,且端点不取
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
  • 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
  • 用终值定理求稳态误差,前提是系统稳定
  • 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
  • 求误差脉冲传递函数
  • 数出 z=1 处极点重数确定型别
  • 查表或用终值定理求稳态误差
  • 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
  • 本卷考过由终值定理求复合输入下的稳态误差并反求增益区间
  • 求离散系统在典型输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
  • 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
  • 未判稳就用终值定理
公式

6六、描述函数法判断自振15 分#

思路
  • 由滞环继电描述函数求负倒描述函数,与线性部分幅相曲线画在同一复平面,看是否存在交点
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 由继电特性描述函数写出负倒描述函数并分析其走向
本卷实例
  • 关键一步:把描述函数取倒数后取负,分离实部与虚部
  • 中间结果:负倒描述函数实部随振幅单调变化,虚部为常数
  • 卡点:描述函数必须按给定表达式取倒,继电特性的适用区间条件不能漏
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过由继电特性描述函数写出负倒描述函数并分析其走向
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式
本卷考法
  • 由两曲线是否相交判断自振并求自振参数
本卷实例
  • 关键一步:在同一复平面画线性部分幅相曲线与负倒描述函数曲线
  • 中间结果:两条曲线是否有交点决定自振是否存在
  • 卡点:曲线为原卷插图,需回原卷核对图后再判断是否有交点
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过由两曲线是否相交判断自振并求自振参数
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式

7七、二阶系统动态性能与稳态误差15 分#

思路
  • 由闭环传函化标准形,由超调量定阻尼比反求参数,再求动态指标与多项式输入的稳态误差
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由超调量反求阻尼比并确定二阶系统参数
本卷实例
  • 关键一步:把闭环分母配成标准二阶形式,由超调量公式定阻尼比
  • 中间结果:自然频率由一次项系数与阻尼比共同确定
  • 卡点:由超调量查阻尼比时注意取有效分支,别取增根
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由超调量反求阻尼比并确定二阶系统参数
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 求欠阻尼二阶系统的峰值时间与不同误差带下的调节时间
本卷实例
  • 关键一步:由阻尼比与自然频率分别代入峰值时间与调节时间公式
  • 中间结果:调节时间按百分之五与百分之二误差带取不同系数
  • 卡点:两个误差带的系数不同,题目分别要求不能混用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过求欠阻尼二阶系统的峰值时间与不同误差带下的调节时间
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
本卷考法
  • 求多项式输入下的稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:把输入分解为阶跃、斜坡与加速度分量,分别查静态误差系数
  • 中间结果:加速度分量的静态加速度误差系数由系统型别判断
  • 卡点:型别不足时对应分量误差为无穷,要如实说明
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过求多项式输入下的稳态误差
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式

8八、由状态变量图求能控能观条件15 分#

思路
  • 由状态变量图列状态方程与输出方程,构造能控与能观判别矩阵,令其满秩求参数取值
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由状态变量图列写状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:按积分器输出选状态变量,沿各支路列一阶微分方程与输出方程
  • 中间结果:状态矩阵元素由各反馈系数与输入系数构成
  • 卡点:状态变量图与矩阵排列需回原卷核对图,矩阵行列顺序易错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由状态变量图列写状态空间表达式
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 由判别矩阵满秩求使系统能控且能观的参数条件
本卷实例
  • 关键一步:分别写出能控与能观判别矩阵并令其行列式不为零
  • 中间结果:两个矩阵满秩条件各给出一个参数不等式
  • 卡点:能控与能观判别矩阵构造相反,秩条件不能互相套用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过由判别矩阵满秩求使系统能控且能观的参数条件
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式

9九、李雅普诺夫证渐近稳定15 分#

思路
  • 取二次型李雅普诺夫函数,沿闭环状态方程求导,用可控性保证格拉姆矩阵正定,从而证明导数负定
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 用李雅普诺夫第二法证明闭环系统渐近稳定
本卷实例
  • 关键一步:取二次型函数,沿闭环状态方程求该函数对时间的导数
  • 中间结果:求导后化为与可控性格拉姆矩阵相关的二次型,由其正定得负定
  • 卡点:要先用可控性说明格拉姆矩阵正定,否则证明不完整
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过用李雅普诺夫第二法证明闭环系统渐近稳定
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 由可控性保证格拉姆矩阵正定
本卷实例
  • 关键一步:由系统可控说明格拉姆矩阵满秩,从而其逆矩阵正定
  • 中间结果:格拉姆矩阵对称正定,可作李雅普诺夫函数中的加权阵
  • 卡点:不能默认格拉姆矩阵正定,须由可控性推出
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过由可控性保证格拉姆矩阵正定
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式

10十、由传递函数矩阵求最小实现15 分#

思路
  • 先求各通道传递函数的公分母,写出能控标准型实现;再判其能观性,做能观分解得最小实现
本卷考法
  • 由传递函数矩阵写出能控标准型实现
本卷实例
  • 关键一步:先求各通道公分母,按能控标准型构造状态、输入与输出矩阵
  • 中间结果:输出矩阵由各通道分子系数按公共分母幂次排列
  • 卡点:友矩阵元素符号与排列顺序易错,矩阵需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过由传递函数矩阵写出能控标准型实现
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 判断能控标准型是否完全能观并求最小实现
本卷实例
  • 关键一步:构造能观判别矩阵并求秩,秩不足时说明不是最小实现
  • 中间结果:能观判别矩阵的秩给出最小实现的维数
  • 卡点:传递函数矩阵各通道的极点对消情况要先查清再去实现
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过判断能控标准型是否完全能观并求最小实现
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式