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华南理工大学 814 自动+现控+信号 2015 年真题思维导图

985 院校共 8 题

难度:中等 一、二为单项与不定项选择,三为判断对错,四至八为动力学方程与扰动分析、结构图与参数根轨迹、频域分析与滞后校正、状态空间建模与能控能观、李雅普诺夫与极点配置;八道大题逐题印分值,题量与题号连续

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一一、单项选择#

思路
  • 三道小题查反馈元件职能、由脉冲响应求正弦稳态输出、非奇异变换对系统性质的影响
本卷考法
  • 指出反馈控制系统中用于测量被控量的元件
本卷实例
  • 关键一步:按各环节职能区分校正、执行与反馈元件
  • 中间结果:反馈元件测量被控量并形成偏差
  • 卡点:校正与执行元件的职能易混
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过指出反馈控制系统中用于测量被控量的元件
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
本卷考法
  • 由单位脉冲响应求正弦输入下的稳态输出
本卷实例
  • 关键一步:零初态下脉冲响应即系统传递函数
  • 中间结果:由幅频与相频在该频率处写稳态输出
  • 卡点:稳态输出相角按反正切取负号
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过由单位脉冲响应求正弦输入下的稳态输出
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 判断非奇异变换对系统性质的影响
本卷实例
  • 关键一步:非奇异变换只改变状态向量的表示
  • 中间结果:特征值不变故稳定性与能控性不变
  • 卡点:特征向量的长度会改变
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过判断非奇异变换对系统性质的影响
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式

二二、不定项选择#

思路
  • 四道小题分别判二阶响应振荡与无差、判高阶响应分量、比较两系统调节时间与超调、识别校正装置类型
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由闭环特征式判断二阶系统阻尼状态
本卷实例
  • 关键一步:先由开环型别定稳态误差为零,再由闭环特征式算阻尼比
  • 中间结果:自然频率与阻尼比由闭环特征式系数对应读出
  • 卡点:阻尼比小于 1 才振荡,大于 1 属过阻尼
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由闭环特征式判断二阶系统阻尼状态
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由极点与零点相对位置判断阶跃响应分量
本卷实例
  • 关键一步:分量衰减快慢由极点距虚轴远近决定
  • 中间结果:某极点附近有零点时该分量系数小
  • 卡点:主导分量要同时看系数与衰减速度
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 离虚轴最近的极点起主导作用,其余极点对应快速衰减分量
  • 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
  • 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶
步骤
  • 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
  • 用主导极点对近似为二阶系统
  • 用零点修正式修正超调量与峰值时间
通用考法
  • 本卷考过由极点与零点相对位置判断阶跃响应分量
  • 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
  • 判断附加闭环零点对超调量的影响
  • 说明某极点能否忽略的理由
常见易错
  • 忽略零点对超调量的放大作用
  • 只看极点距离而不管该极点的留数大小
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 由开环对数幅频特性比较截止频率与相角裕度
本卷实例
  • 关键一步:两系统仅增益不同、相频相同,直接比较截止频率
  • 中间结果:截止频率越高调节时间越短
  • 卡点:相角裕度大者超调量未必单调更小
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过由开环对数幅频特性比较截止频率与相角裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
滞后校正 系统校正
本卷考法
  • 由校正环节零极点位置判断超前或滞后
本卷实例
  • 关键一步:比较两个转折频率大小可判定滞后网络
  • 中间结果:分子零点比极点远离原点者为滞后校正
  • 卡点:滞后校正不提高稳态精度,勿与积分作用混淆
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
  • 会使截止频率降低,响应变慢
  • 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
  • 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
  • 确定满足相角裕度要求的新截止频率
  • 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
  • 由衰减量求滞后网络的参数 β
  • 取转折频率低于新截止频率一个数量级,写出传递函数
通用考法
  • 本卷考过由校正环节零极点位置判断超前或滞后
  • 设计串联滞后校正装置
  • 比较超前与滞后校正的效果差异
  • 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
  • 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
  • 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
公式

三三、判断对错#

思路
  • 判断脉冲响应式能否直接当传函、频率特性是否随输入类型变化、特征值均为负实根是否为渐近稳定充要条件
本卷考法
  • 判断由单位阶跃响应直接相加写传递函数的做法
本卷实例
  • 关键一步:阶跃响应是传递函数与 1/s 的乘积
  • 中间结果:须先除以输入拉氏变换才是传递函数
  • 卡点:漏除输入变换会把响应当传函
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
  • 零输入响应的形式由特征根决定,系数由初始条件定
  • 零状态响应用卷积或拉氏变换法求,也可查典型输入的响应表
  • 初值条件要区分零时刻前后的跳变,含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
  • 写出微分方程并取拉氏变换,把初始条件作为等效输入移到等号右端
  • 分别求零输入解与零状态解,再相加得全响应
  • 用初始条件定常数,必要时用终值核对稳态值
  • 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
  • 本卷考过判断由单位阶跃响应直接相加写传递函数的做法
  • 由微分方程与初始条件求系统的全响应
  • 分别求零输入响应与零状态响应
  • 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
  • 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
  • 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变,导致初值对不上
公式
本卷考法
  • 判断频率特性是否与输入信号类型有关
本卷实例
  • 关键一步:频率特性是系统自身属性,只与结构参数有关
  • 中间结果:输入类型改变的是输出而不是频率特性
  • 卡点:把频率特性与输出响应混为一谈
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
  • 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
  • 相频特性表示输出相对输入的相位差
  • 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示
步骤
  • 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
  • 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
  • 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性
通用考法
  • 本卷考过判断频率特性是否与输入信号类型有关
  • 求给定传递函数的幅频与相频表达式
  • 计算某频率处的幅值与相角
  • 说明频率特性的物理含义
常见易错
  • 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
  • 相角累加时漏掉积分环节的 -90°
公式
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 判断特征值均为负实根是否为渐近稳定的充要条件
本卷实例
  • 关键一步:用李雅普诺夫第一法按特征值实部符号判稳
  • 中间结果:复根只要实部为负同样渐近稳定
  • 卡点:把负实根误当成唯一条件
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过判断特征值均为负实根是否为渐近稳定的充要条件
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式

四四、动力学方程与扰动分析#

思路
  • 由动力学方程求图中 A、B 的传函,再分析阶跃输入与扰动下稳态值是否受质量、阻尼与扰动幅值影响
机械系统建模 建模与机电系统
本卷考法
  • 由机械系统动力学方程求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:对方程取零初始拉氏变换得代数关系
  • 中间结果:输出与输入的代数关系含扰动项
  • 卡点:扰动项含 s 因子,勿当常量处理
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
  • 三种基本元件:质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
  • 同一方向取正,反向取负,逐项列出合力
步骤
  • 选定正方向并作受力分析
  • 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
  • 按 F=ma 列写运动方程
  • 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
  • 本卷考过由机械系统动力学方程求传递函数
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
  • 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
本卷考法
  • 求扰动作用下的输出传递函数
本卷实例
  • 关键一步:令参考输入为零,由结构图列 A、B 的传函
  • 中间结果:两条通道之比可定出 A 与 B
  • 卡点:求扰动传函必须把参考输入置零
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 线性系统可用叠加原理,每次只保留一个输入
  • 求扰动的传递函数时令参考输入为零
  • 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加
步骤
  • 令 R(s)=0,求扰动到输出的传递函数
  • 令 N(s)=0,求输入到输出的传递函数
  • 按题目要求叠加或单独分析
通用考法
  • 本卷考过求扰动作用下的输出传递函数
  • 求扰动引起的输出或误差
  • 分析满足扰动不变性的补偿条件
常见易错
  • 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式
本卷考法
  • 用终值定理求阶跃输入与扰动下的稳态输出
本卷实例
  • 关键一步:先判系统稳定再用终值定理
  • 中间结果:稳态值与质量、阻尼无关,只与刚度及输入有关
  • 卡点:组合输入要分别计算再叠加
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
  • 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
  • 增大扰动点前的增益可减小扰动误差
步骤
  • 令参考输入为零,求扰动到误差的传递函数
  • 代入扰动信号求稳态值
  • 与输入引起的误差叠加
通用考法
  • 本卷考过用终值定理求阶跃输入与扰动下的稳态输出
  • 求扰动引起的稳态误差
  • 比较扰动与输入对误差的不同影响
  • 分析提高前向增益的作用
常见易错
  • 把扰动误差直接当作总误差,遗漏输入分量
  • 求扰动传函时没有把参考输入置零
公式

五五、结构图与参数根轨迹#

思路
  • 由阶跃响应曲线反求三个待定系数,再引入速度反馈画以反馈系数为参变量的根轨迹并分析性能
本卷考法
  • 由阶跃响应曲线反求传递函数待定系数
本卷实例
  • 关键一步:由稳态值定常数项,由超调与调节时间定阻尼比与自然频率
  • 中间结果:两个动态指标反解出两个待定系数
  • 卡点:图上稳态值须与终值定理一致
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态值决定增益 K
  • 超调量只由阻尼比 ξ 决定
  • 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
  • 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
  • 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
  • 判断系统是一阶还是二阶(看有无振荡)
  • 由超调量反求 ξ,再由峰值时间反求 ωn
  • 写出标准形式并补上增益
通用考法
  • 本卷考过由阶跃响应曲线反求传递函数待定系数
  • 由实验阶跃响应曲线求传递函数
  • 由给出的性能指标反求参数
常见易错
  • 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
  • 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
公式
欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由超调量与调节时间指标反求二阶参数
本卷实例
  • 关键一步:由超调量公式反解阻尼比
  • 中间结果:按所选误差带取调节时间系数的三倍或四倍
  • 卡点:先判误差带再选调节时间系数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 超调量只由 ξ 决定,与 ωn 无关
  • 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
  • 调节时间与 ξωn 的乘积成反比,ξωn 是衰减因子
  • 振荡次数与 ξ 直接相关
步骤
  • 由标准形式读出 ξ 与 ωn
  • 用超调量公式先求 ξ
  • 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
  • 必要时计算振荡次数
通用考法
  • 本卷考过由超调量与调节时间指标反求二阶参数
  • 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
  • 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
  • 分析 ωn 变化时各指标如何变化
常见易错
  • 把两种误差带的调节时间系数搞混
  • 峰值时间与上升时间混用
  • 超调量公式中漏乘 100%
公式
本卷考法
  • 以速度反馈系数为参变量绘制并分析根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:写出等效开环传函,由零极点定圆弧轨迹
  • 中间结果:复极点绕零点画圆,半径由零极点距离确定
  • 卡点:临界反馈系数处对应最快调节时间
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环极点位置直接决定 ξ、ωn 与动态指标
  • 等阻尼线是从原点出发的射线,等 ωn 线是以原点为心的圆
  • 给定阻尼比要求时,极点落在等阻尼线上
  • 增益增大一般使系统响应加快但振荡加剧
步骤
  • 在 s 平面上画出等阻尼线或等 ωn 圆
  • 求其与根轨迹的交点
  • 由幅值条件求出交点对应的参数
  • 由极点位置估算动态性能
通用考法
  • 本卷考过以速度反馈系数为参变量绘制并分析根轨迹
  • 求满足给定阻尼比的参数值
  • 由闭环极点位置估算超调量与调节时间
  • 分析提高增益对性能的影响
常见易错
  • 把等阻尼线画成了垂直线
  • 由极点位置估指标时忽略零点的作用
公式

六六、频域分析与校正设计#

思路
  • 无校正时画 Bode 图求截止频率与相位裕度,增益可调时解释高频振荡并求稳定范围,最后按稳态误差与裕度要求设计校正装置
本卷考法
  • 绘制开环对数幅频渐近特性并求截止频率
本卷实例
  • 关键一步:按型别与转折频率逐段画渐近线
  • 中间结果:低频段高度与各转折频率决定各段斜率
  • 卡点:转折频率后斜率累加而非替换
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
  • 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
  • 低频段斜率由系统型别决定,高度由开环增益决定
  • 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化
步骤
  • 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
  • 确定系统型别与开环增益,画出最低频段渐近线
  • 按转折频率从小到大逐段改斜率
  • 逐点叠加得到幅频与相频曲线
通用考法
  • 本卷考过绘制开环对数幅频渐近特性并求截止频率
  • 绘制开环对数渐近幅频特性
  • 计算指定频率处的幅值与相角
  • 由低频段斜率与高度判断型别与增益
常见易错
  • 逐段改斜率时忘记累加而非替换
  • 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 计算给定系统的相位裕度
本卷实例
  • 关键一步:在截止频率处累加各环节相角
  • 中间结果:相位裕度等于 180 度加相角
  • 卡点:振荡环节相角公式须按标准形式写
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过计算给定系统的相位裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式
劳斯判据 稳定性分析
本卷考法
  • 由闭环特征方程用劳斯判据求增益稳定范围
本卷实例
  • 关键一步:列劳斯表并令首列元素全为正
  • 中间结果:由首列不等式组解出增益上下界
  • 卡点:含参首列元素作分母时要单独讨论符号
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 特征方程各项系数全为正只是必要条件,不充分
  • 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
  • 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
  • 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理
步骤
  • 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
  • 若某次幂系数缺项,该项补零
  • 列劳斯表:前两行为系数,之后各行按交叉相减
  • 检查首列符号:全同号则稳定,有变号则数出个数
通用考法
  • 本卷考过由闭环特征方程用劳斯判据求增益稳定范围
  • 判断给定系统的稳定性
  • 指出右半平面闭环极点的个数
  • 求使系统稳定的参数范围
常见易错
  • 系数有缺项时不补零,直接套用判据
  • 首列出现 0 后仍按常规继续算,未用 ε 法
公式
滞后校正 系统校正
本卷考法
  • 按稳态误差与相位裕度要求设计校正装置
本卷实例
  • 关键一步:先由稳态误差要求定积分环节与增益
  • 中间结果:截止频率须下降,据此选滞后校正
  • 卡点:校正后须回代校验截止频率与相位裕度
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
  • 会使截止频率降低,响应变慢
  • 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
  • 可同时提高低频增益改善稳态精度
步骤
  • 确定满足相角裕度要求的新截止频率
  • 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
  • 由衰减量求滞后网络的参数 β
  • 取转折频率低于新截止频率一个数量级,写出传递函数
通用考法
  • 本卷考过按稳态误差与相位裕度要求设计校正装置
  • 设计串联滞后校正装置
  • 比较超前与滞后校正的效果差异
  • 分析滞后校正对响应速度的影响
常见易错
  • 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
  • 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善
公式

七七、状态空间建模与能控能观#

思路
  • 由高阶微分方程写状态空间模型并画模拟结构图,判断能控性与能观性,再对不完备模型求最小实现
本卷考法
  • 由传递函数写能控标准型状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:分子分母系数按降幂对应友矩阵与输出阵
  • 中间结果:状态矩阵取自特征多项式系数
  • 卡点:分子缺项时输出阵对应系数补零
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
  • 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
  • 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
  • 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
  • 把传递函数化为真分式,分离直接项 D
  • 按标准型规则写出 A、B、C、D
  • 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
  • 本卷考过由传递函数写能控标准型状态空间表达式
  • 由传递函数写出能控标准型
  • 由传递函数写出能观标准型
  • 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
  • 真分式化分时直接项 D 处理错误
  • 友矩阵中系数符号写反
公式
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 用能控性与能观性矩阵判断满秩
本卷实例
  • 关键一步:分别构造能控矩阵与能观矩阵并求秩
  • 中间结果:能控标准型必然能控,能观性须另算
  • 卡点:只算到矩阵前若干列就下结论
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过用能控性与能观性矩阵判断满秩
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
本卷考法
  • 对能控不能观系统求最小实现
本卷实例
  • 关键一步:按能观性作结构分解,保留能控能观部分
  • 中间结果:极点个数按对消后的阶数确定
  • 卡点:最小实现须同时满足能控与能观
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过对能控不能观系统求最小实现
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式

八八、李雅普诺夫与极点配置#

思路
  • 求状态转移矩阵与状态响应,用李雅普诺夫第二法求渐近稳定条件,再配置指定闭环极点并画模拟结构图
状态转移矩阵 状态空间分析
本卷考法
  • 求状态转移矩阵与零输入状态响应
本卷实例
  • 关键一步:状态矩阵的预解式取拉氏反变换得转移矩阵
  • 中间结果:上三角矩阵对应含两个指数项的转移矩阵
  • 卡点:矩阵求逆后逐项反变换易漏系数
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
  • 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
  • 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
  • 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 求拉氏反变换得到 e^{At}
  • 代入全响应公式求状态与输出
  • 用初值条件校验结果
通用考法
  • 本卷考过求状态转移矩阵与零输入状态响应
  • 求状态转移矩阵
  • 求给定初始条件下的状态与输出响应
  • 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
  • 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
  • 卷积积分中变量代换写错
公式
李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析
本卷考法
  • 用李雅普诺夫第二法求参数渐近稳定范围
本卷实例
  • 关键一步:取二次型函数并求沿轨线的导数
  • 中间结果:由导数负定得两参数的联立不等式
  • 卡点:交叉项须配方或放缩成平方和
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
  • 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性,无需解方程
  • 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
  • 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
  • 选取或构造李雅普诺夫函数
  • 沿系统轨迹求其对时间的导数
  • 判断函数与导数的正负定性
  • 据此得出稳定性结论
通用考法
  • 本卷考过用李雅普诺夫第二法求参数渐近稳定范围
  • 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
  • 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
  • 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
  • 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
  • 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
公式
状态反馈与极点配置 状态空间分析
本卷考法
  • 用极点配置求状态反馈阵
本卷实例
  • 关键一步:先判能控性,再比较特征多项式系数
  • 中间结果:闭环特征式展开后与期望式逐项相等
  • 卡点:不可控极点若与期望值重合仍可配置
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点,前提是系统完全能控
  • 状态反馈不改变系统的零点
  • 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
  • 状态反馈可能改变能观性
步骤
  • 先验证系统能控
  • 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
  • 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
  • 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
  • 本卷考过用极点配置求状态反馈阵
  • 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
  • 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
  • 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
  • 未验证能控性就直接做极点配置
  • 特征多项式比较系数时符号写反
公式