1一、数学建模#
思路
- 对 RLC 网络按元件伏安关系列微分方程组，消去中间变量得以输出对输入的传递函数；再取电容电压与电感电流为状态写状态空间表达式。题面含图未读图。
电路网络与有源网络建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由 RLC 电路建立微分方程并求传递函数
本卷实例
- 关键一步：按电容电流与电感电压的伏安关系列方程，再用节点电流平衡消去支路电流
- 中间结果：传函分母为二阶多项式，分子含一个微分项
- 卡点：把电容复阻抗写成 C 乘 s；电路图未读图，元件连接需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 无源网络用复阻抗分压或节点法
- 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
- 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
- 画出复阻抗等效电路
- 用分压公式或节点电流方程列写关系
- 整理为输出与输入的比值
通用考法
- 本卷考过由 RLC 电路建立微分方程并求传递函数
- RC 网络或有源滤波器求传递函数
- 求运算电路的输出表达式
常见易错
- 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
- 把反相输入的负号漏掉
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 整理电路方程写出输出对输入的传递函数
本卷实例
- 关键一步：对各方程取零初始拉氏变换，消去中间变量后把输出项并到一侧
- 中间结果：分子分母都是 s 的多项式，最高次与储能元件个数对应
- 卡点：消元时漏掉某一支路电流；忽略零初始条件这一前提
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过整理电路方程写出输出对输入的传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 取电容电压与电感电流为状态写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：状态个数等于储能元件个数，输出用状态变量表示
- 中间结果：A 为二阶方阵，B 为列向量，输出矩阵只取与输出相关的状态
- 卡点：把支路电流或中间变量当状态；输出方程漏项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过取电容电压与电感电流为状态写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式