一一、数学建模#
思路
- 以电感电流与电容电压为状态变量建立状态空间表达式；再由状态空间或复阻抗求输出对输入的传递函数。
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 由电路选取电感电流与电容电压为状态变量写状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：按基尔霍夫定律列写两式，把二阶方程化成一阶方程组
- 关键一步：状态变量个数等于储能元件个数
- 中间结果：A 为二阶方阵，B 由输入接入点决定
- 中间结果：输出方程取电容电压对应的状态
- 卡点：电路拓扑需回原卷核对图
- 卡点：状态变量与输出选取不一致导致 C 阵写错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过由电路选取电感电流与电容电压为状态变量写状态空间表达式
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由电路微分方程或状态空间求传递函数
本卷实例
- 关键一步：对微分方程零初始条件下取拉氏变换并消去中间变量
- 中间结果：传函分母为二阶特征式，分子反映输入输出通路
- 卡点：复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由电路微分方程或状态空间求传递函数
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式