上海大学 836 自动控制理论（含现控） 2015 年真题思维导图

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难度：中等　八道大题：作图简述、信号流图与梅森公式、由正弦稳态反求二阶参数、参数根轨迹与稳态误差、由频率特性反求传函、离散系统稳定性与阶跃响应、串联滞后超前校正、状态方程与能控能观各一题。

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1一、电炉温度控制系统方块图与工作过程#

思路

• 两小问：由电炉温度控制系统原理示意图画方块图并指认被控对象、被控量与各部件作用，再叙述恒温工作过程

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 指出电炉温度控制系统的被控对象、被控量与各环节作用
• 画出闭环方块图并说明负反馈工作过程

本卷实例

• 关键一步：按原理图找给定、被控对象与检测执行环节
• 关键一步：以热电偶作检测、电机与调压器作执行构成闭环
• 中间结果：被控对象是电炉、被控量是炉温，给定量为设定电压
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过指出电炉温度控制系统的被控对象、被控量与各环节作用
• 本卷考过画出闭环方块图并说明负反馈工作过程
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

过程控制系统的组成与设计步骤 过程控制与检测仪表

本卷考法

• 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
• 说明系统保持炉温恒定的工作过程

本卷实例

• 关键一步：把测量炉温的热电偶电压与给定电压反极性比较得偏差
• 关键一步：偏差经放大驱动电机与减速器调压从而调节炉温
• 中间结果：偏差为零时系统进入平衡，炉温维持恒定
• 卡点：检测环节与执行环节接反会使反馈极性写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 四大环节：被控对象、检测变送、控制器、执行器
• 被控量是工艺上要维持的变量，操纵量是控制器输出所控制的变量
• 扰动是影响被控量但不可控的变量
• 设计步骤：定方案 → 选仪表 → 定参数 → 投运整定

步骤

• 从工艺描述中找出被控量、操纵量与主要扰动
• 判断扰动是否需要专门抑制（决定要不要加副回路）
• 选择控制方案并画原理图与方框图
• 说明系统的工作过程

通用考法

• 本卷考过指出系统的被控量、操纵量与扰动量
• 本卷考过说明系统保持炉温恒定的工作过程
• 指出系统的被控量、操纵量与扰动量
• 设计满足工艺要求的控制系统并画出原理图及方框图
• 说明系统的工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图不画原理图（或反之），漏答一半

2二、信号流图与梅森公式求传递函数#

思路

• 由系统结构图先画信号流图，再用梅森增益公式求闭环传递函数 C(s)/R(s)

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图画出信号流图并标出各支路增益
• 用梅森公式列回路、前向通路与余子式求 C/R

本卷实例

• 关键一步：把结构图每个方框、比较点、引出点映射成信号流图的支路与节点
• 关键一步：找出全部独立回路并判断两两不接触的回路
• 中间结果：特征式 Δ 由全部回路增益与两两不接触回路增益组成
• 卡点：不接触回路找漏或重复计数，余子式未剔除接触回路
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图画出信号流图并标出各支路增益
• 本卷考过用梅森公式列回路、前向通路与余子式求 C/R
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

3三、由正弦稳态反求二阶系统参数与调节时间#

思路

• 结构图为二阶系统：由 r=2sin t 的稳态输出求 ζ、ωn，再求 r=1(t) 时进入稳态的时间

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由正弦输入的稳态输出幅值比与相角差写出频率特性方程

本卷实例

• 关键一步：正弦稳态下幅值比为 1、相角差为 −45°
• 关键一步：令 ω=1 代入二阶闭环频率特性列两个方程
• 中间结果：幅值与相角两个方程联立可定出 ζ 与 ωn
• 卡点：把闭环频率特性的分子分母与二阶标准形式对应错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由正弦输入的稳态输出幅值比与相角差写出频率特性方程
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环传递函数化为二阶标准形式求 ζ 与 ωn

本卷实例

• 关键一步：分母写成 s²+2ζωn s+ωn² 后与系数逐项对应
• 中间结果：ωn 与 ζ 由分母两个系数唯一定出
• 卡点：忘记把 s² 项系数归一化就比对系数

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环传递函数化为二阶标准形式求 ζ 与 ωn
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由 ζ、ωn 求单位阶跃响应的调节时间

本卷实例

• 关键一步：按给定误差带选取调节时间公式 ts=4/(ζωn)
• 中间结果：误差带不同时公式系数在 3 与 4 之间取
• 卡点：两种误差带的系数搞混，未先确认 Δ 取值

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由 ζ、ωn 求单位阶跃响应的调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

4四、参数根轨迹与稳态误差求 a 范围#

思路

• 开环 (s+a)/[s(s+1)²]，a 从 0→∞ 作参数根轨迹；再由 r=1.2t 的稳态误差约束求 a 范围

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以开环零点位置参数 a 为变量作广义根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把 a 显式提出写成 1+a·[1/(s(s+1)²)] 的等效开环形式
• 关键一步：按等效开环的零极点画 a 变化的根轨迹
• 中间结果：等效开环极点决定根轨迹起点，a→∞ 时趋于等效零点
• 卡点：整理时未把参数完整提到分子，起点终点判错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以开环零点位置参数 a 为变量作广义根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点以定临界参数 a

本卷实例

• 关键一步：闭环特征式取 s(s+1)²+a 整理成 s³+2s²+2s+a
• 关键一步：令 s=jω 后分别令实部与虚部为零
• 中间结果：由 ω 与 a 的联立方程得临界参数与交点频率
• 卡点：只取 ω=0 的平凡解，漏掉非零解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点以定临界参数 a
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• I 型系统在斜坡输入下的稳态误差约束反求 a

本卷实例

• 关键一步：速度误差系数 Kv=lim sG(s)，斜坡误差 ess=1.2/Kv
• 关键一步：由 ess≤0.6 这一个不等式得 a 的下界
• 中间结果：稳态误差约束给出下界，根轨迹给出稳定上界
• 卡点：未把稳态误差下界与稳定上界取交集

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过I 型系统在斜坡输入下的稳态误差约束反求 a
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

5五、由开环频率特性求转折频率与闭环二阶参数#

思路

• 由图(a)(b)读开环频率特性求 ω1、ω2、ω3，再写传函求闭环阻尼比与无阻尼自然振荡角频率

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 由对数渐近幅频特性读出转折频率与低频段斜率

本卷实例

• 关键一步：低频段斜率为 −20dB/dec 判为 I 型系统
• 关键一步：由斜率变化点读转折频率 ω1 与 ω2
• 中间结果：两个转折频率的几何中项给出第三个频率
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过由对数渐近幅频特性读出转折频率与低频段斜率
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由频率特性图反写开环传递函数 G(s)

本卷实例

• 关键一步：用 A 点频率 ω=2 与相角条件代入幅相特性
• 关键一步：解出 k 与转折频率关系后写回 G(s)
• 中间结果：开环传函化成 k/[s(s/ω2+1)] 形式
• 卡点：把转折频率与低频增益的对应关系搞反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由频率特性图反写开环传递函数 G(s)
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由开环传函求单位反馈闭环传函并定 ζ、ωn

本卷实例

• 关键一步：单位负反馈下把 G(s) 代入 Φ=G/(1+G)
• 关键一步：闭环分母整理成二阶标准形式
• 中间结果：分母一次项给 2ζωn，常数项给 ωn²
• 卡点：单位反馈误写成 Φ=G 而非 G/(1+G)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由开环传函求单位反馈闭环传函并定 ζ、ωn
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

6六、采样系统稳定性与单位阶跃响应#

思路

• 采样周期 T=1s 的单位反馈离散系统，求开环增益稳定范围与 k=1 时单位阶跃响应的输出和稳态误差

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由连续环节加零阶保持器求开环与闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把 G(s) 各环节作 z 变换后按采样位置组合成 G(z)
• 关键一步：由 Φ(z)=G(z)/(1+G(z)) 写闭环脉冲传函
• 中间结果：得到含 k 的闭环特征式 D(z)
• 卡点：未把零阶保持器计入 G(z)

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由连续环节加零阶保持器求开环与闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱莉判据求使离散系统稳定的开环增益范围

本卷实例

• 关键一步：对 D(z)=0 列朱莉判据的三个条件
• 关键一步：将 D(1)、D(−1) 与常数项条件联立取交集
• 中间结果：三个不等式共同给出 k 的开区间
• 卡点：把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱莉判据求使离散系统稳定的开环增益范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 由 C(z)=R(z)Φ(z) 用长除法作 z 反变换求输出序列

本卷实例

• 关键一步：阶跃输入 R(z)=z/(z−1) 与 Φ(z) 相乘
• 关键一步：按 z⁻¹ 升幂作长除法
• 中间结果：长除得各采样时刻的输出序列
• 卡点：长除时幂次顺序写反，首项错位

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过由 C(z)=R(z)Φ(z) 用长除法作 z 反变换求输出序列
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统单位阶跃响应的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先由朱莉判据确认闭环稳定
• 关键一步：再按系统型别判断阶跃输入下的稳态误差
• 中间结果：I 型离散系统对阶跃输入的稳态误差为零
• 卡点：未判稳就直接对 C(z) 用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过求离散系统单位阶跃响应的稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

7七、串联校正装置设计与相角裕量#

思路

• 由校正后折线对数幅频特性求 Gc(s)，计算校正前后相角裕量差并判断校正装置类型

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正后 Bode 图反求开环传函并相减得 Gc(s)

本卷实例

• 关键一步：按转折频率写出校正后 G(s) 的零极点形式
• 关键一步：由给定截止频率处幅值为 1 定增益，再作 Gc=G/G0
• 中间结果：Gc(s) 的分子分母由校正前后的零极点相除得到
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正后 Bode 图反求开环传函并相减得 Gc(s)
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前后的相角裕量并作差

本卷实例

• 关键一步：分别由开环幅值为 1 求校正前后截止频率
• 关键一步：代入相频表达式求 γ=180°+∠G(jωc)
• 中间结果：两次相角裕量之差即所求增量
• 卡点：把截止频率与相位穿越频率两个量用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前后的相角裕量并作差
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

滞后-超前校正 系统校正

本卷考法

• 判断 Gc(s) 属何种校正装置并说明其功用

本卷实例

• 关键一步：读 Gc 的转折频率判断其低频与高频特性
• 关键一步：由兼具提升低频增益与相位超前判类型
• 中间结果：该装置同时改变低频段高度与中频段相角
• 卡点：把滞后超前校正误判为单纯超前或滞后

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 兼顾稳态精度与动态性能，适合指标要求较高的场合
• 低频段用滞后部分提高增益，中高频段用超前部分提高裕度
• 设计时先确定超前部分，再确定滞后部分

步骤

• 按稳态精度要求确定开环增益
• 选择新的截止频率并计算超前部分参数
• 计算为把低频增益抬到要求值所需的滞后部分参数
• 合并写出校正装置并校验

通用考法

• 本卷考过判断 Gc(s) 属何种校正装置并说明其功用
• 设计滞后-超前校正装置
• 说明为何单一校正无法满足指标
• 分析校正后系统的低频与高频特性

常见易错

• 先设计滞后部分导致截止频率反复调整
• 两部分的转折频率分布重叠，互相削弱

公式

8八、状态方程、输出方程与能控能观#

思路

• 由系统结构图列写状态方程与输出方程，再用判别矩阵的秩判断能控性与能观性

状态空间表达式的建立 状态空间分析

本卷考法

• 由结构图选取状态变量列写状态方程与输出方程

本卷实例

• 关键一步：每个一阶环节的输出取作一个状态变量
• 关键一步：把方程整理成 xdot=Ax+Bu、y=Cx 的矩阵形式
• 中间结果：A 为 2×2、B 为 2×1、C 为 1×2
• 卡点：需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
• 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
• 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
• 可处理多输入多输出系统

步骤

• 确定系统阶数并选取状态变量
• 列写各状态变量的一阶微分方程
• 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du

通用考法

• 本卷考过由结构图选取状态变量列写状态方程与输出方程
• 由物理系统列写状态空间表达式
• 判断状态变量选取是否合理
• 写出系统的 A、B、C、D 矩阵

常见易错

• 状态变量个数与系统阶数不匹配
• 输出方程中漏掉直接传递项 D

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 用能控性与能观性判别矩阵的秩判断系统

本卷实例

• 关键一步：构造能控判别矩阵 N=[B AB] 与能观判别矩阵 M=[C; CA]
• 关键一步：分别求秩并与系统阶数比较
• 中间结果：两个判别矩阵均满秩时系统同时能控且能观
• 卡点：把能控性与能观性的矩阵构造方式搞混

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过用能控性与能观性判别矩阵的秩判断系统
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式