上海大学 836 自动控制理论（含现控） 2023 年真题思维导图

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难度：中等偏难　九道大题：状态空间四题（传递函数与线性变换、对角标准型、状态转移矩阵与李雅普诺夫、能控标准型与极点配置）、梅森公式与扰动补偿、根轨迹、Bode 图反求校正、离散系统、非线性（描述函数加相平面）各一题，覆盖面最全。

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1一、传递函数与线性变换不变性8 分#

思路

• 由状态空间表达式求 G(s)=C(sI−A)⁻¹B+D，并证明非奇异线性变换不改变传递函数

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式求传递函数 G(s)
• 证明非奇异线性变换后传递函数矩阵不变

本卷实例

• 关键一步：第一问直接按 G(s)=C(sI−A)⁻¹B+D 计算矩阵求逆再相乘
• 关键一步：第二问代入变换后矩阵，用 (P⁻¹AP) 的逆拆成 P⁻¹(sI−A)⁻¹P
• 关键一步：让首尾的 P 与 P⁻¹ 相消，即得与原系统相同的 G(s)
• 中间结果：关键恒等式是 (sI−P⁻¹AP)⁻¹=P⁻¹(sI−A)⁻¹P
• 中间结果：变换只改变内部状态描述，输入输出关系保持不变
• 卡点：只写相似变换不改变传递函数而不给推导，证明题难拿分
• 卡点：把 P 的作用方向写反，四个矩阵全错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式求传递函数 G(s)
• 本卷考过证明非奇异线性变换后传递函数矩阵不变
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

2二、对角标准型与状态空间结构图12 分#

思路

• G(s)=(2s²+6s+6)/[(s+1)(s+2)(s+3)]，部分分式展开成三个一阶并联，写出对角标准型并画结构图

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写对角标准型状态空间表达式并绘制状态空间结构图

本卷实例

• 关键一步：先做部分分式展开成 A/(s+1)+B/(s+2)+C/(s+3)
• 关键一步：通分后按同幂系数列三个方程解出 A、B、C
• 关键一步：以三个实极点为对角元写 A，输入与输出矩阵由展开系数定
• 中间结果：三个互异实极点对应 3×3 对角阵，无约当块
• 中间结果：结构图是三路一阶并联再求和
• 卡点：部分分式系数解错；结构图未读图，支路连接需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写对角标准型状态空间表达式并绘制状态空间结构图
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

3三、状态转移矩阵与李雅普诺夫第二法10 分#

思路

• A=[[0,2],[−1,b]]：第一问 b=−2 时求 Φ(t)；第二问 u=0 时用李雅普诺夫第二法讨论渐近稳定性

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求给定系统在 b=−2 时的状态转移矩阵 Φ(t)

本卷实例

• 关键一步：写出 sI−A 并求逆，得到含 (s+1)²+1 的有理矩阵
• 关键一步：用 e^{−t}sin t、e^{−t}cos t 两条反变换公式逐项求逆变换
• 中间结果：特征值为 −1±j，Φ(t) 含 e^{−t}sin t 与 e^{−t}cos t 项
• 卡点：矩阵求逆时忘记检查行列式；把共轭复根对应的时间函数写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求给定系统在 b=−2 时的状态转移矩阵 Φ(t)
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第二法讨论系统渐近稳定性

本卷实例

• 关键一步：取 Q=I 为正定，设对称正定阵 P 并代入方程 AᵀP+PA=−Q
• 关键一步：按对应元素相等解出 P 的三个独立元素
• 关键一步：判 P 的两个顺序主子式是否都大于零，得参数 b 的范围
• 中间结果：方程给出一组关于 P 元素与 b 的代数方程
• 中间结果：P 取 [m1 m2; m2 m4]，只需三个独立元素
• 卡点：只判 P 正定而忘记 Q 必须取正定；把 P、Q 的角色写反
• 卡点：本题须用李雅普诺夫方法，只由特征值符号下结论不给分

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第二法讨论系统渐近稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

4四、能控标准型、状态反馈与全维观测器20 分#

思路

• 三阶 A、b、c 给定：先判能控并化能控标准型，再配极点 −1、−2、−4，最后判能观并配观测器极点 −1、−2、−3

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断系统能控性并写出能控标准型状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：由 [b Ab A²b] 堆成能控性矩阵求秩，满秩后再做相似变换
• 关键一步：变换阵 P 由 qᵀ、qᵀA、qᵀA² 堆成，qᵀ 是能控性矩阵求逆的末行
• 中间结果：变换后 A 化为友矩阵、b 化为 [0,0,1]ᵀ 的能控标准型
• 卡点：三阶系统只算到 Ab 就下结论；变换阵 P 取错方向

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断系统能控性并写出能控标准型状态空间表达式
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 求状态反馈向量 K 使闭环极点为 −1、−2、−4

本卷实例

• 关键一步：在能控标准型下设 K=[k1 k2 k3]、u=−Kx+v，写出 det(sI−A+bK)
• 关键一步：把期望特征式 (s+1)(s+2)(s+4) 展开后与它逐项比对求 K
• 中间结果：能控标准型下闭环特征式各幂系数与 K 分量成线性对应
• 卡点：未先验证能控性就配极点；系数比对时符号写反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过求状态反馈向量 K 使闭环极点为 −1、−2、−4
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态观测器设计 状态空间分析

本卷考法

• 判断能否设计全维观测器并把极点配到 −1、−2、−3

本卷实例

• 关键一步：先算能观性矩阵 [c; cA; cA²] 的秩，确能观后才可任意配观测器极点
• 关键一步：设 H 为三维列向量，写出 det(sI−A+HC) 并与期望特征式比对求 H
• 中间结果：能观性矩阵满秩是观测器极点可任意配置的前提
• 卡点：没有先判能观就设计观测器；把 H 的矩阵形式写成 K 的形式

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
• 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
• 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
• 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍

步骤

• 验证系统能观性
• 写出观测器方程并求误差动态矩阵
• 按期望特征多项式比较系数求出 L
• 校验观测器收敛速度是否合适

通用考法

• 本卷考过判断能否设计全维观测器并把极点配到 −1、−2、−3
• 设计全维状态观测器
• 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
• 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点

常见易错

• 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
• 忽略观测器极点过快会放大噪声

公式

5五、梅森公式与扰动不变性补偿20 分#

思路

• 由结构图求 C/N 与 C/R，并设计 G2(s) 使扰动对输出无影响

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由结构图用梅森公式或结构图化简求 C(s)/N(s) 与 C(s)/R(s)

本卷实例

• 关键一步：先列全部独立回路并求特征式 Δ=1−ΣL+ΣLL−…
• 关键一步：分别以 N 与 R 为输入列前向通路及余子式
• 关键一步：求扰动传函时把参考输入置零，反之亦然
• 中间结果：C/N 含并联直通项，C/R 只由参考通路决定
• 卡点：求一个输入的传递函数时忘记把另一个输入置零
• 卡点：结构图未读图，回路与支路增益需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由结构图用梅森公式或结构图化简求 C(s)/N(s) 与 C(s)/R(s)
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

多输入与扰动作用下的传递函数 结构图与方框图

本卷考法

• 设计补偿环节 G2(s) 使扰动对输出无影响

本卷实例

• 关键一步：令扰动传函 C(s)/N(s)=0，把分子各项组合成关于 G2 的方程
• 关键一步：解出 G2(s) 的表达式，再检查其物理可实现性
• 中间结果：不变性条件是扰动通路的分子（含 Δ 项与并联项）整体为零
• 卡点：只令某一条支路为零，忽略直通项；解出的 G2 若含纯微分不可实现需说明

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 线性系统可用叠加原理，每次只保留一个输入
• 求扰动的传递函数时令参考输入为零
• 扰动误差与输入误差分别计算后再叠加

步骤

• 令 R(s)=0，求扰动到输出的传递函数
• 令 N(s)=0，求输入到输出的传递函数
• 按题目要求叠加或单独分析

通用考法

• 本卷考过设计补偿环节 G2(s) 使扰动对输出无影响
• 求扰动引起的输出或误差
• 分析满足扰动不变性的补偿条件

常见易错

• 两个输入同时存在时直接叠加却未验证系统的线性性
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

6六、根轨迹与稳定范围20 分#

思路

• 题面给结构图，闭环特征方程可整理为等效开环 G(s)=k(s+0.25)/[(s+0.75)²(s−1.4)]；求根轨迹与稳定 K 范围

根轨迹的绘制法则 根轨迹法

本卷考法

• 由闭环特征方程整理等效开环并绘制根轨迹

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程整理成 1+k·G_eq(s)=0 的等效开环形式
• 关键一步：读出开环极点 −0.75（二重）、1.4 与零点 −0.25，算渐近线与实轴交点
• 关键一步：判实轴根轨迹段并画草图
• 中间结果：等效开环有一个右半平面极点 1.4，是条件稳定系统
• 卡点：整理等效开环时没有把 k 完整提到分子；实轴段判据算错
• 卡点：结构图未读图，等效开环需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
• 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
• 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
• 根轨迹关于实轴对称

步骤

• 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
• 计算渐近线交点与夹角
• 求出分离点、出射角、与虚轴交点
• 按对称性连接各段并标出对应 K 值

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程整理等效开环并绘制根轨迹
• 按法则绘制根轨迹草图
• 指出渐近线条数与夹角
• 判断某段实轴是否属于根轨迹

常见易错

• 实轴段判据中的零极点个数算错
• 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k

公式

分离点与会合点 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹的分离点并判断取舍

本卷实例

• 关键一步：列分离点方程：各极点的 1/(d−p) 之和等于各零点的 1/(d−z) 之和
• 关键一步：解出候选根后按是否落在实轴根轨迹段上筛选
• 中间结果：候选根若为共轭复数则不在实轴上，应舍去
• 卡点：求出根后不筛选，把不在根轨迹上的解保留

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 分离点是根轨迹离开实轴或相汇的点，对应特征方程的重根
• 分离点必满足 dK/ds=0
• 用试探法求解代数方程时要注意舍去不在根轨迹上的根

步骤

• 由幅值条件解出 K 关于 s 的表达式
• 令 dK/ds=0 得分离点方程
• 解方程并用实轴段判据筛选
• 代回求分离点处的 K 值

通用考法

• 本卷考过求根轨迹的分离点并判断取舍
• 求根轨迹的分离点坐标
• 确定分离点处的临界增益
• 判断解的取舍

常见易错

• 求出方程根后不筛选，保留了不在根轨迹上的解
• 用 dK/ds=0 却未化成 K 的显式表达式

公式

与虚轴的交点及临界参数 根轨迹法

本卷考法

• 求根轨迹与虚轴交点及系统稳定的 K 范围

本卷实例

• 关键一步：把等效闭环特征式整理成 s 的多项式，令 s=jω 代入
• 关键一步：分别令实部、虚部为零，联立解出 ω 与对应 k
• 关键一步：结合根轨迹走向写出稳定区间
• 中间结果：虚轴交点给出两个临界 k，稳定区间落在两者之间
• 卡点：只取一组解漏掉另一组；得到 k 后未回原题核对参数定义

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
• 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
• 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益

步骤

• 把 s=jω 代入闭环特征方程
• 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
• 联立解出 ω 与 K
• 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向

通用考法

• 本卷考过求根轨迹与虚轴交点及系统稳定的 K 范围
• 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
• 确定系统稳定时 K 的取值范围
• 判断根轨迹穿越虚轴的方向

常见易错

• 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
• 得到 K 后没有回到原题核对参数定义

公式

7七、由 Bode 图反求校正装置20 分#

思路

• 原系统 2/[s(s+1)(s/2+1)(s/10+1)]，校正后稳态误差 0.1，校正装置对数幅频渐近曲线给定；反求 Gc 并算校正前后相角裕度

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由校正装置的对数幅频渐近曲线反求传递函数，并写出校正后开环传函

本卷实例

• 关键一步：从渐近曲线各段斜率和转折频率读出零点、极点位置与增益
• 关键一步：低频频段高度按型别折算，不能直接读成交叉点增益
• 关键一步：由校正后稳态误差要求定开环增益，再乘 Gc 得校正后开环
• 中间结果：转折频率处斜率每次变化对应一个一阶零点或极点
• 卡点：把渐近线延长线交点误当增益而未折算型别
• 卡点：校正装置 Bode 图未读图，转折频率需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由校正装置的对数幅频渐近曲线反求传递函数，并写出校正后开环传函
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前后系统的截止频率与相角裕度

本卷实例

• 关键一步：在幅频 0 dB 处取截止频率 ωc，代入相频算 γ=180°+∠G(jωc)
• 关键一步：校正后开环是 G 乘 Gc，按同一流程再算一次 γ
• 中间结果：校正前系统相角裕度为负，校正后靠 Gc 高频衰减把 ωc 左移
• 卡点：ωc 与 ωg 两个频率混用；相角正负与象限判断出错
• 卡点：校正前后曲线需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前后系统的截止频率与相角裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

8八、离散系统稳定性与稳态误差20 分#

思路

• 结构图含零阶保持器，G1=K/s²、G2=s、T=1；先求闭环脉冲传函判稳，再对 r(t)=2t 求稳态误差

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 由含零阶保持器的结构图求闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先按采样开关分组，把连续部分乘 (1−e^{−Ts})/s 后查 z 变换表
• 关键一步：G1 与 G1G2 两个采样通道要分别取 z 变换再组合
• 关键一步：由结构图列闭环脉冲传函
• 中间结果：K/s² 的 z 变换要用题给的 z[1/s³] 公式
• 中间结果：零阶保持器引入 (z−1)/z 因子
• 卡点：无采样开关隔开的连续环节各自取 z 变换再相乘
• 卡点：结构图未读图，采样开关位置需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过由含零阶保持器的结构图求闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 求使离散闭环系统稳定的 K 范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征多项式 D(z)，用朱利判据逐条检验或作 w 变换列劳斯表
• 中间结果：D(1) 大于零、D(−1) 符号与常数项条件要同时满足
• 卡点：离散稳定条件是极点模小于 1，不是实部小于零；未判稳就用终值定理

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过求使离散闭环系统稳定的 K 范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的稳态误差 离散控制系统

本卷考法

• 在给定 K 与斜坡输入下求系统稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先确认 K 落在稳定范围内，再用终值定理 ess=lim(z−1)E(z)
• 关键一步：把误差脉冲传函与 R(z) 相乘后再取 z→1 的极限
• 中间结果：斜坡输入 R(z)=Tz/(z−1)²，与误差传函约分后极限有限
• 卡点：未判稳直接套终值定理；把 R(z) 的 (z−1)² 约分时漏项

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
• 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
• 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
• 采样周期也影响稳态误差大小

步骤

• 求误差脉冲传递函数
• 数出 z=1 处极点重数确定型别
• 查表或用终值定理求稳态误差
• 分析采样周期变化对误差的影响

通用考法

• 本卷考过在给定 K 与斜坡输入下求系统稳态误差
• 求离散系统在典型输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 分析采样周期对稳态精度的影响

常见易错

• 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
• 未判稳就用终值定理

公式

9九、描述函数法与相平面分析20 分#

思路

• 非线性环节 M=1、h=1；第一问用描述函数法判自振，第二问在 c−ċ 相平面画相轨迹验证

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法分析系统稳定性并判断是否存在稳定自激振荡

本卷实例

• 关键一步：写出线性部分 G(jω) 及非线性环节的负倒描述函数 −1/N(A)
• 关键一步：在同一复平面画 G(jω) 与 −1/N(A)，并标出 A 增大方向
• 关键一步：看 −1/N(A) 是否从不稳定区穿越到稳定区，据此判断自振
• 中间结果：交点给出自振频率与自振振幅
• 卡点：未标注 A 的增大方向；把交点频率误当截止频率
• 卡点：非线性特性图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法分析系统稳定性并判断是否存在稳定自激振荡
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

相平面法 非线性系统

本卷考法

• 在 c−ċ 相平面绘制相轨迹并判断极限环

本卷实例

• 关键一步：由误差 e=r−c 与非线性继电特性分段写出 ċ、c̈ 的微分方程
• 关键一步：按开关线把相平面分区，各区域分别积分求相轨迹方程
• 关键一步：找封闭相轨迹并判断内外轨线的走向
• 中间结果：开关线由 ċ 的符号与误差等于 ±1 的条件确定
• 卡点：相轨迹斜率公式分子分母写反；把开关线与相轨迹方程混淆
• 卡点：相平面图需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相平面以误差及其导数为坐标，适用于一、二阶非线性系统
• 相轨迹的斜率由系统微分方程直接给出
• 奇点对应系统的平衡状态，奇点类型决定局部行为
• 极限环对应相平面上的孤立闭曲线

步骤

• 写出以误差及其导数表示的二阶微分方程
• 由等倾线法或解析法求相轨迹斜率
• 画出各区域相轨迹并判断奇点类型
• 由是否存在闭曲线判断极限环与自振

通用考法

• 本卷考过在 c−ċ 相平面绘制相轨迹并判断极限环
• 画出给定初始条件下的相轨迹
• 判断奇点类型与稳定性
• 分析极限环的存在与形态

常见易错

• 相轨迹斜率公式中分子分母写反
• 把相轨迹与根轨迹混淆

公式