上海大学 836 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图
211 院校共 9 题
难度：中等 宝典八道大题按一~八编号：状态空间四题（一~四），电路、根轨迹、校正、离散各一题，共九板块（「一」拆为两块）。
一(1)一(1)、状态空间线性变换与传函不变性#
思路
- 考查坐标变换下状态空间表达式的形式变化，以及传递函数矩阵为什么不随之改变
本卷考法
- 写出状态向量线性变换 x=Px̄ 后的状态空间表达式
本卷实例
- 关键一步：把 x=Px̄ 代入原方程，再左乘 P⁻¹ 消去 P
- 关键一步：得到 Ā=P⁻¹AP、B̄=P⁻¹B、C̄=CP、D̄=D 四式
- 关键一步：变换只改内部状态描述，不改输入输出关系
- 中间结果：Ā 与 A 相似，特征值相同，所以稳定性判断不受变换影响
- 卡点：把 P 的方向用反（写成 x̄=Px），四个矩阵全错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
- 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
- 系统的特征值等于传递函数的极点
- 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
- 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消
通用考法
- 本卷考过写出状态向量线性变换 x=Px̄ 后的状态空间表达式
- 由状态空间表达式求传递函数
- 判断状态空间实现是否存在零极点对消
- 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
- 漏掉直接传递项 D
- 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
本卷实例
- 关键一步：直接算 C̄(sI−Ā)⁻¹B̄+D̄，核心是把逆矩阵展开
- 关键一步：用 (sI−P⁻¹AP)⁻¹=P⁻¹(sI−A)⁻¹P 把 P 与 P⁻¹ 约掉
- 中间结果：对 (sI−Ā)⁻¹ 用相似变换恒等式，写成 P⁻¹(sI−A)⁻¹P
- 中间结果：代入后 P 与 P⁻¹ 首尾相消，只剩原系统的 C(sI−A)⁻¹B
- 卡点：只写一句「相似变换不改变传递函数」而不给推导，证明题拿不到分
- 卡点：宝典只在一(b)6分、二(2)7分、三(1)6分、三(2)12分等小问标分
- 卡点：逐年源未标任何分值，两源出入，本卷板块分值一律留空
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过证明变换后传递函数矩阵不变
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
一(2)一(2)、李雅普诺夫稳定性的含义#
思路
- 纯概念题，要求说清「李雅普诺夫意义下渐近稳定」与「大范围渐近稳定」两个定义的差别
本卷考法
- 简述李雅普诺夫意义下渐近稳定与大范围渐近稳定的含义
本卷实例
- 关键一步：李雅普诺夫意义下稳定：初值充分靠近平衡点，解永远不跑出给定的邻域（有界）
- 关键一步：渐近稳定：在稳定的基础上，t→∞ 时解收敛到平衡点
- 关键一步：大范围渐近稳定：对状态空间的任意初始状态都渐近稳定（即吸引域是全空间）
- 中间结果：稳定只保证有界；渐近稳定再加收敛到平衡点
- 中间结果：大范围渐近稳定把吸引域扩大到整个状态空间
- 卡点：把「稳定」与「渐近稳定」当成一回事——稳定只要求有界，不要求收敛
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
- 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
- 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
- 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定
步骤
- 选取或构造李雅普诺夫函数
- 沿系统轨迹求其对时间的导数
- 判断函数与导数的正负定性
- 据此得出稳定性结论
通用考法
- 本卷考过简述李雅普诺夫意义下渐近稳定与大范围渐近稳定的含义
- 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
- 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
- 分析非线性系统的稳定性范围
常见易错
- 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
- 只判断 V 正定就下结论而未检查导数
二二、由闭环传函写微分方程与约当标准型#
思路
- G(s)=(s²+5s−3)/((s−1)²(s+2))；先由分母写微分方程，再按重根拆成约当标准型
本卷实例
- 关键一步：分母多项式对应各阶导数、分子多项式对应输入的导数组合，交叉相乘后还原
- 中间结果：分母 (s−1)²(s+2) 展开为 s³−3s+2
- 中间结果：分子 s²+5s−3，交叉相乘后两边阶次逐项对应
- 卡点：分母有 (s−1)² 重根，展开时容易漏项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由闭环传递函数写出常微分方程表达式
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
本卷实例
- 关键一步：重根 s=1（二重）对应一个 2×2 约当块 [[1,1],[0,1]]
- 关键一步：单根 s=−2 只对应一个 1×1 约当块
- 关键一步：各块按对角线拼接成 A，B 与约当块结构配套，C 由分子系数确定
- 中间结果：G 是真分式但分子阶数与分母差 1，直接项 D=0
- 卡点：约当块的 1 写在对角线上方（不是下方）
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过写出约当标准型状态空间表达式
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
三三、状态转移矩阵与状态方程解18 分#
思路
- A=[[0,1],[−1,−2]]，初值 x(0)=[1,−2]ᵀ，u=1(t)；用 (sI−A)⁻¹ 拉氏反变换求 Φ(t)，再用卷积积分求全解
本卷考法
- 用拉氏反变换求状态转移矩阵 Φ(t)
- 给定 u(t)=1(t) 求状态方程解
本卷实例
- 关键一步：先求 (sI−A)⁻¹ 并做部分分式
- 关键一步：再逐项查表反变换，得 Φ(t)=L⁻¹[(sI−A)⁻¹]
- 关键一步：全解 x(t)=Φ(t)x(0)+∫₀ᵗΦ(t−τ)Bu(τ)dτ，两部分都要算
- 中间结果：题目已给关键公式 L⁻¹[1/(s+a)]=e^{−at}
- 中间结果：以及 L⁻¹[1/(s+a)²]=t·e^{−at}，可直接查用
- 中间结果：A 的特征值为 −1（二重），Φ(t) 里会出现 te^{−t} 项
- 卡点：卷积积分中变量代换写错；或忘记把初值代进去
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
- 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
- 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
- 含输入时用卷积积分写出全响应
步骤
- 计算 (sI-A)^{-1}
- 求拉氏反变换得到 e^{At}
- 代入全响应公式求状态与输出
- 用初值条件校验结果
通用考法
- 本卷考过用拉氏反变换求状态转移矩阵 Φ(t)
- 本卷考过给定 u(t)=1(t) 求状态方程解
- 求状态转移矩阵
- 求给定初始条件下的状态与输出响应
- 用性质验证转移矩阵是否正确
常见易错
- 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
- 卷积积分中变量代换写错
四四、能控标准型与状态反馈/观测器#
思路
- 三阶系统，一题三问：判能控并写能控标准型 → 状态反馈配置极点到 −10,−6,−4 → 观测器极点到 −6,−6,−6
本卷实例
- 关键一步：先由 B、AB、A²B 堆成能控性矩阵，满秩后再做变换
- 关键一步：把能控性矩阵本身取作变换阵 P，可化成能控标准型
- 中间结果：三阶系统要补算 A²B，得到三阶判别方阵
- 中间结果：变换后 B 阵化为 [1,0,0]ᵀ 形式，A、C 随 P 同步变换
- 卡点：三阶系统只算到 A^{n−1}B 就停，判别矩阵不满三列
- 卡点：做变换前先确认能控性矩阵满秩，否则 P 不可逆
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
- 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
- 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
- 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
- 构造能控性矩阵并求秩
- 构造能观性矩阵并求秩
- 与系统阶数 n 比较得出结论
- 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
- 本卷考过判断系统是否能控，能控则写出能控标准型
- 判断系统的能控性与能观性
- 求使系统能观的参数取值
- 对不可控系统进行结构分解
常见易错
- 本卷考过只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 只算到 A^{n-2}B 就下结论
- 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
本卷实例
- 关键一步：期望特征多项式为 (s+10)(s+6)(s+4)
- 关键一步：把它展开后与 det(sI−A+BK) 逐项比对求 K
- 关键一步：A 不是能控标准型时，要么先做变换，要么直接解方程组
- 中间结果：期望特征式展开成三次多项式，系数是 K 分量的线性式
- 中间结果：det(sI−A+BK) 与期望式同幂系数相等，得三元一次方程组
- 卡点：未先验证能控性就直接配极点
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
- 状态反馈不改变系统的零点
- 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
- 状态反馈可能改变能观性
步骤
- 先验证系统能控
- 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
- 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
- 比较系数解出反馈增益阵 K
通用考法
- 本卷考过设计状态反馈使闭环极点为 −10、−6、−4
- 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
- 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
- 分析状态反馈对系统性能的影响
常见易错
- 未验证能控性就直接做极点配置
- 特征多项式比较系数时符号写反
本卷实例
- 关键一步：观测器误差动态由 A−LC 决定
- 关键一步：把 (s+6)³ 与 det(sI−A+LC) 逐项比对求 L
- 关键一步：极点全取同一个值（三重根）说明要求观测器足够快且响应无振荡
- 中间结果：期望观测器特征式 (s+6)³ 与 det(sI−A+LC) 系数逐项相等
- 中间结果：观测器增益 L 只通过 A−LC 影响误差动态，与 B 无关
- 卡点：把观测器增益 L 写成状态反馈增益 K 的形式
- 卡点：逐年与宝典答案都判该三阶系统能观性矩阵秩为 1
- 卡点：据此称观测器极点无法配置，与本实例口径不一致，待核
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态观测器用输出与输入重构状态，前提是系统能观
- 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
- 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
- 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
- 验证系统能观性
- 写出观测器方程并求误差动态矩阵
- 按期望特征多项式比较系数求出 L
- 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
- 本卷考过设计状态观测器使极点为 −6、−6、−6
- 设计全维状态观测器
- 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
- 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
- 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
- 忽略观测器极点过快会放大噪声
五五、电路系统建模#
思路
- 给定 C₁、C₂、R₁、R₂ 与初值（i(0)=0.1A、uc(0)=0.1V），要求先化微分方程再求 uc/ur
本卷考法
- 对两电容电阻网络列 KCL/KVL 方程并化成微分方程
本卷实例
- 关键一步：先用复阻抗或直接列两个节点的 KCL，消去非输出变量
- 关键一步：题目明确要求「先化成微分表达式」，所以必须写出时域微分方程这一步，不能直接给 s 域比值
- 中间结果：电路含两个电容，传函分母一般为 s 的二次式
- 中间结果：先列两个节点方程，消去电流 i 得 uc 与 ur 的 s 域关系
- 卡点：只给传递函数不给微分方程，漏掉题目要求的那一步
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 无源网络用复阻抗分压或节点法
- 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
- 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
- 画出复阻抗等效电路
- 用分压公式或节点电流方程列写关系
- 整理为输出与输入的比值
通用考法
- 本卷考过对两电容电阻网络列 KCL/KVL 方程并化成微分方程
- RC 网络或有源滤波器求传递函数
- 求运算电路的输出表达式
常见易错
- 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
- 把反相输入的负号漏掉
本卷实例
- 关键一步：按两个节点列 KCL，消去电流变量后整理输出与输入关系
- 关键一步：电容用 1/(sC) 复阻抗，代元件值前先写成一般传函
- 中间结果：分母由电阻电容乘积组成二阶特征多项式
- 卡点：电容复阻抗是 1/(sC)，不要写成 sC 或 C
- 卡点：元件串并联与节点编号需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过求传递函数 uc/ur
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 本卷考过电容复阻抗误写成 Cs
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
本卷实例
- 关键一步：传递函数定义在零初始条件下；题给的 i(0)、uc(0) 只用于时域解，求传函时应置零
- 中间结果：零初始条件下取拉氏变换，含 i(0)、uc(0) 的项全为零
- 中间结果：传函只由 R1、R2、C1、C2 决定，与题给初值无关
- 卡点：把初值带进传递函数的推导——传函本身与初值无关
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过说明初值在传递函数意义下如何处理
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
六六、根轨迹与稳定范围#
思路
- G=2(k*+s)/(s(s²+2s))=2(k*+s)/(s²(s+2))；有两个积分环节，且可变参数 k* 在零点位置而非增益
本卷考法
- 画出以 k* 为变量的根轨迹，标出渐近线、出射角、与虚轴交点
本卷实例
- 关键一步：开环有两个极点在原点、一个极点在 −2，零点在 −k*（随参数移动）
- 关键一步：注意 k* 不是增益而是零点位置 → 这是参数根轨迹，要先整理成 1+k*·G*(s)=0
- 中间结果：n−m=2，渐近线 2 条，夹角 ±90°
- 卡点：把 k* 当增益直接套常规根轨迹法则，零点位置会被当常量
- 卡点：k* 含义三处不一致：题面称增益，本卷按可变零点处理
- 卡点：宝典答案又按定常等效开环增益处理，三种口径需回原卷核
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 起于开环极点、终于开环零点（无穷远零点），分支数等于极点数 n
- 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时，该段属于根轨迹
- 渐近线条数为 n-m，交点在实轴上，与实轴夹角等分 360°
- 根轨迹关于实轴对称
步骤
- 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
- 计算渐近线交点与夹角
- 求出分离点、出射角、与虚轴交点
- 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
- 本卷考过画出以 k* 为变量的根轨迹，标出渐近线、出射角、与虚轴交点
- 按法则绘制根轨迹草图
- 指出渐近线条数与夹角
- 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
- 实轴段判据中的零极点个数算错
- 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
本卷实例
- 关键一步：先由闭环特征式整理成 1+k*·G_eq(s)=0 的等效开环形式
- 关键一步：列劳斯表并令首列各元素同号，解出稳定区间
- 中间结果：等效开环由特征式整理得到，原可变零点不直接出现
- 中间结果：临界 k* 由劳斯表首列元素恰为零的条件给出
- 卡点：只代一组虚轴交点 ω 会漏掉另一组解
- 卡点：稳定区间随 k* 的含义而变，三种解释不一致
- 卡点：详见 rl_02 卡点，区间端点暂不挂靠任一种口径
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
- 可用劳斯判据令首列为零，或令 s=jω 代入特征方程求解
- 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
- 把 s=jω 代入闭环特征方程
- 令实部与虚部分别为零，得到两个方程
- 联立解出 ω 与 K
- 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
- 本卷考过求使系统稳定的 k* 取值范围
- 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
- 确定系统稳定时 K 的取值范围
- 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
- 本卷考过只代一个 ω 漏掉另一组交点
- 只代一个 ω 就下结论，漏掉另一组交点
- 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
七七、由阶跃响应反求校正装置#
思路
- 校正装置的单位阶跃响应是 1−0.9e^(−t/150)，这是一阶惯性响应；反推出 Gc(s)，再与未校正系统对比
本卷考法
- 由校正装置的单位阶跃响应反求其传递函数 Gc(s)
本卷实例
- 关键一步：单位阶跃响应对应 C(s)=Gc(s)/s
- 关键一步：由 c(t)=1−0.9e^{−t/150} 看出稳态值为 1、时间常数为 150
- 关键一步：反变换回去得 Gc(s)=1/(150s+1)×(直流增益 1) 形式
- 中间结果：稳态值 1 → 直流增益 1；指数项系数 0.9 与稳态值之差给出另一部分系数
- 卡点：直接把响应表达式当成传递函数，忘记除以 1/s
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 稳态值决定增益 K
- 超调量只由阻尼比 ξ 决定
- 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
- 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出
步骤
- 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
- 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
- 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
- 写出标准形式并补上增益
通用考法
- 本卷考过由校正装置的单位阶跃响应反求其传递函数 Gc(s)
- 由实验阶跃响应曲线求传递函数
- 由给出的性能指标反求参数
常见易错
- 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
- 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值
本卷实例
- 关键一步：Gc(s) 是惯性环节，属串联滞后校正
- 关键一步：它在高频段幅值衰减，抬高相角裕度但降低截止频率
- 中间结果：单位阶跃响应对应 C(s)=Gc(s)/s，故求 Gc 要先乘回 s
- 中间结果：稳态值为 1 对应直流增益为 1；衰减项时间常数 150 决定极点
- 卡点：把滞后校正的相位影响说成超前
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 校正是在系统中引入附加装置以改善性能
- 串联校正、反馈校正与复合校正是三种基本形式
- 时域指标与频域指标存在对应关系
- 校正通常以相角裕度、开环增益与穿越频率为目标
步骤
- 由指标要求确定目标相角裕度与穿越频率
- 画出未校正系统的 Bode 图
- 比较未校正特性与目标要求的差距
- 选择校正方式并计算校正装置参数
通用考法
- 本卷考过写出校正装置类型并分析它对系统的影响
- 说明串联校正与反馈校正的适用场合
- 把时域指标折算为频域指标
- 分析未校正系统的主要缺陷
常见易错
- 把截止频率与相位穿越频率混用
- 只盯相角裕度而忽略带宽要求
本卷实例
- 关键一步：由校正装置单位阶跃响应反求 Gc，再与 G(s) 相乘得校正后开环
- 关键一步：在幅频 0 dB 处取剪切频率，代入相频算相角裕度
- 中间结果：校正后剪切频率下移，相角裕度在 0 dB 处相频基础上加 180°
- 卡点：ωc 与 ωg 两个频率不能混用，比较裕度看 ωc 处相角
- 卡点：Bode 图坐标与转折频率需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
- 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
- γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
- γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度
步骤
- 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
- 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
- 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
- 由裕度符号判断稳定性
通用考法
- 本卷考过绘制校正前后的 Bode 图并比较相角裕度
- 求系统的相角裕度与幅值裕度
- 由裕度要求反求开环增益
- 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
- 本卷考过ωc 与 ωg 两个频率用反
- 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
- 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
- 非最小相位系统仍用同一判据
八八、离散系统（脉冲传函与稳态误差）#
思路
- 由结构图确定采样开关位置，先求各连续环节组合的 z 变换与闭环脉冲传函；判稳后用终值定理分别处理阶跃输出的稳态值与斜坡输入的稳态误差，并比较 G4 取不同形式时通路的增减。
本卷考法
- 由含采样开关的结构图求闭环脉冲传函 C(z)/R(z)
本卷实例
- 关键一步：按采样开关把连续部分分组，先合并无开关隔开的环节，再围绕误差采样点列方程
- 关键一步：把 G4 支路并入后解出 C(z) 与 R(z) 的关系
- 中间结果：结果由前向通路项与 G4 直通项叠加，用 G1、G2、G3、G4、H 的 z 变换表示
- 卡点：结构图未读图，采样开关位置、G4 注入点与反馈支路需回原卷核对图
- 卡点：G4 支路与误差支路并联，不能当成一个串联环节直接相乘
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
- 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
- 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
- G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
- 确定采样开关位置并画出离散化结构图
- 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
- 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
- 本卷考过由含采样开关的结构图求闭环脉冲传函 C(z)/R(z)
- 求开环或闭环脉冲传递函数
- 比较不同采样开关位置对结果的影响
- 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
- 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
- 忘记把零阶保持器计入 G(z)
本卷实例
- 关键一步：把含积分与惯性环节的连续部分展开成部分分式，再逐项查 z 变换表
- 中间结果：s 域极点按 e^{-aT} 映射为 z 域极点，采样周期取题给 T=0.1s
- 卡点：无采样开关隔开的连续环节要先合并再取 z 变换，不能各自取变换后相乘
- 卡点：e^{-aT} 中的 T 要用题给采样周期，题给 e^{-2} 即由 T=0.1s 得到
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
- 常用函数的 z 变换要熟记
- z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
- 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内
步骤
- 将连续传递函数展开为部分分式
- 逐项查表做 z 变换
- 需要时做 z 反变换求时间序列
通用考法
- 本卷考过求连续环节组合的 z 变换
- 求给定函数的 z 变换
- 求 z 反变换得到采样序列
- 说明 s 平面与 z 平面的映射关系
常见易错
- 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
- 部分分式分解时漏项导致反变换出错
本卷实例
- 关键一步：写出闭环特征多项式，用朱利判据逐条检验，或求特征根看是否都在单位圆内
- 中间结果：特征式在一与负一处的符号以及常数项条件要同时满足
- 卡点：离散稳定条件是极点模小于一，不是实部小于零
- 卡点：未判稳就用终值定理会使稳态误差结论失效
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
- 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
- w 变换把单位圆内映射到左半平面
- 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
- 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
- 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
- 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
- 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
- 本卷考过判断离散闭环系统的稳定性
- 判断离散系统是否稳定
- 求使系统稳定的采样周期或增益范围
- 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
- 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
- w 变换公式记错导致映射关系颠倒
本卷考法
- 求典型输入下的稳态值或稳态误差，并分析 G4 的影响
本卷实例
- 关键一步：先由误差脉冲传函确定 z=1 处极点重数得到系统型别，再查表或用终值定理求稳态误差
- 关键一步：G4 取零时通路减少，G4 取给定形式时把新增通路并入误差传函后重新按型别判断
- 中间结果：阶跃输入的稳态值由闭环脉冲传函在 z 趋于一时的取值决定
- 中间结果：斜坡输入的稳态误差由系统型别与开环增益共同决定
- 卡点：宝典答案自注回归数据有误，且 G4 印成 0.05s+1
- 卡点：题面为 0.005s+1，第四问数据需回原卷核对
- 卡点：G4=s(0.005s+1) 引入的支路会改变闭环传函，分析时不能只改开环增益
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
- 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
- 用终值定理求稳态误差，前提是系统稳定
- 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
- 求误差脉冲传递函数
- 数出 z=1 处极点重数确定型别
- 查表或用终值定理求稳态误差
- 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
- 本卷考过求典型输入下的稳态值或稳态误差，并分析 G4 的影响
- 求离散系统在典型输入下的稳态误差
- 由稳态误差要求反求开环增益
- 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
- 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
- 未判稳就用终值定理
