浙江工业大学 828 自动控制理论（含现控） 2018 年真题思维导图

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难度：中等　9题覆盖电路、结构图、时域、频域、离散、非线性与状态空间，现控题量比前几年增加；含图题较多，个别题面在逐年源中 OCR 有缺

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1图示电路的传递函数15 分#

思路

• 用复阻抗法列分压关系，逐步化简得输出与输入之比

由电路或机械系统求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由 RLC 网络求输出电压对输入电压的传递函数

本卷实例

• 关键一步：把电感与电容写成复阻抗后列节点分压
• 中间结果：先求中间节点电压再乘后级分压比
• 卡点：电路拓扑由插图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
• 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
• 先列物理定律方程，再消去中间变量
• 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律

步骤

• 画出复阻抗等效电路或受力分析图
• 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
• 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
• 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)

通用考法

• 本卷考过由 RLC 网络求输出电压对输入电压的传递函数
• 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
• 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
• 含运算放大器的有源网络求传递函数

常见易错

• 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
• 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
• 运放电路忘记使用虚短与虚断条件

公式

2PID控制器的参数稳定域15 分#

思路

• 写含控制器参数的闭环特征方程，用劳斯判据解参数不等式

PID 控制器与参数整定 系统校正

本卷考法

• 分析P、PI、PID控制器参数对闭环稳定性的影响

本卷实例

• 关键一步：分别写出三种控制器下的开环传函
• 中间结果：把控制器与对象串联后求闭环特征式
• 卡点：被控对象的结构以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 比例项提高快速性但存在稳态误差
• 积分项消除稳态误差但降低稳定性、增大超调
• 微分项提供超前相位改善动态性能但对噪声敏感
• PD 相当于超前校正，PI 相当于滞后校正

步骤

• 按误差类型选择需要引入的环节
• 先调比例再调积分最后调微分
• 用稳定裕度或性能指标校验并微调

通用考法

• 本卷考过分析P、PI、PID控制器参数对闭环稳定性的影响
• 设计 PID 控制器满足给定指标
• 分析各参数变化对系统性能的影响
• 说明微分项对噪声的影响

常见易错

• 把 PI 的相位影响说成超前
• 积分增益过大导致系统振荡甚至不稳定

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 求使闭环系统稳定的控制器参数取值范围

本卷实例

• 关键一步：把特征多项式按降幂排列并补零
• 中间结果：联立劳斯表首列各元的不等式取交集
• 卡点：漏掉某个首列约束会使稳定范围偏大

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过求使闭环系统稳定的控制器参数取值范围
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

3二阶系统超调条件与超调量15 分#

思路

• 由结构图化闭环传函，对照标准二阶形式得阻尼比与自然频率

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由闭环传函化为标准二阶形式求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：令分母一次项等于两倍阻尼乘自然频率
• 中间结果：由分母常数项开方得到自然频率
• 卡点：结构图含局部反馈，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由闭环传函化为标准二阶形式求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比判断是否存在超调并计算超调量

本卷实例

• 关键一步：按阻尼比是否小于一判断有无超调
• 中间结果：把阻尼比代入二阶超调量计算式
• 卡点：把阻尼比与超调量公式的对应关系记反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由阻尼比判断是否存在超调并计算超调量
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

4阶跃输入下稳态误差为零的补偿#

思路

• 用梅森公式写误差对输入的传函，令其零点抵消常数项

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求阶跃输入下系统的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先用终值定理前判断系统稳定性
• 中间结果：写出误差传函后取 s 趋于零的极限
• 卡点：结构含补偿支路，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求阶跃输入下系统的稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

反馈校正与复合控制 系统校正

本卷考法

• 由误差传函分子为零确定补偿支路增益

本卷实例

• 关键一步：用梅森公式求误差对参考输入的传函
• 中间结果：令常数项分子等于零解补偿增益
• 卡点：补偿通道符号取反会使结果差一负号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 反馈校正可改变被包围环节的特性，抑制参数波动
• 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
• 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
• 前馈不改变闭环稳定性，可与反馈叠加使用

步骤

• 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
• 写出等效后的传递函数
• 按不变性原理列写前馈补偿器条件
• 求解补偿器并校验可实现性

通用考法

• 本卷考过由误差传函分子为零确定补偿支路增益
• 设计反馈校正装置改善被包围环节
• 求前馈补偿器实现不变性
• 分析复合控制对稳态误差的作用

常见易错

• 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分，不可实现却直接采用
• 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大

公式

5由正弦稳态响应反求系统参数15 分#

思路

• 把闭环频率特性在给定频率处的模与相角同题给正弦稳态对应

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由单位反馈闭环传函写出阻尼比与自然频率的关系

本卷实例

• 关键一步：把开环传函代入闭环公式化为标准二阶
• 中间结果：对照分母系数读出两个特征参数
• 卡点：误把开环传函直接当闭环传函使用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由单位反馈闭环传函写出阻尼比与自然频率的关系
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 用闭环频率特性求正弦输入的稳态输出幅值与相角

本卷实例

• 关键一步：将传函中的 s 替换为虚频率变量
• 中间结果：幅值比取模、相角差取辐角代入稳态式
• 卡点：相位差正负号取反导致参数偏差

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过用闭环频率特性求正弦输入的稳态输出幅值与相角
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

6奈氏判据与临界增益、相位裕量#

思路

• 画奈氏曲线求与实轴交点，按穿越条件定临界增益再算裕量

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 由开环传函画奈氏曲线并求临界稳定增益

本卷实例

• 关键一步：令 s 等于虚频率变量分离实部与虚部
• 中间结果：曲线过临界点时对应开环增益为临界值
• 卡点：含积分环节未补画无穷大半径圆弧

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过由开环传函画奈氏曲线并求临界稳定增益
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 由截止频率求开环增益并计算相位裕量

本卷实例

• 关键一步：令开环幅值等于一解出截止频率处增益
• 中间结果：相角裕量为该处相角加一百八十度
• 卡点：把截止频率与相角穿越频率用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过由截止频率求开环增益并计算相位裕量
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

7离散系统脉冲传函与稳定性#

思路

• 按采样开关位置求开环脉冲传函，再用 z 域判据判闭环稳定

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器离散系统的开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先写连续部分与零阶保持器的串联传函
• 中间结果：对连续部分作 z 变换得到脉冲传函
• 卡点：采样开关位置以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器离散系统的开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 判断离散闭环系统在给定参数下是否稳定

本卷实例

• 关键一步：由脉冲传函写闭环特征方程
• 中间结果：特征根模全小于一则系统稳定
• 卡点：把稳定条件误写成实部小于零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过判断离散闭环系统在给定参数下是否稳定
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

8描述函数法分析自持振荡#

思路

• 画负倒描述函数与线性部分曲线，按交点及穿越方向判自振

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 由给定描述函数求负倒描述函数表达式

本卷实例

• 关键一步：把描述函数的实部与虚部分离
• 中间结果：负倒描述函数随输入振幅改变位置
• 卡点：非线性环节以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过由给定描述函数求负倒描述函数表达式
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 分析自持振荡稳定性并确定振荡频率与振幅

本卷实例

• 关键一步：在同一复平面上画两条曲线求交点
• 中间结果：由交点处负倒描述函数的振幅读出振幅
• 卡点：未标注振幅增大方向就判断稳定性

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过分析自持振荡稳定性并确定振荡频率与振幅
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

9状态空间表达式、矩阵指数与极点配置#

思路

• 由传函写能控标准型，用拉氏反变换求矩阵指数，再配置极点

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由给定传递函数写状态空间表达式

本卷实例

• 关键一步：按能控标准型写出系统矩阵与输入向量
• 中间结果：输出向量取首元为一其余为零
• 卡点：直通项或系统阶数写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由给定传递函数写状态空间表达式
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态转移矩阵 状态空间分析

本卷考法

• 求矩阵指数函数并写出零输入状态解

本卷实例

• 关键一步：对状态矩阵的单位阵差求逆再取拉氏反变换
• 中间结果：零输入解等于矩阵指数乘初始状态
• 卡点：矩阵求逆计算错误

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态转移矩阵 e^{At} 描述零输入下状态随时间的演化
• 可从 (sI-A)^{-1} 求拉氏反变换得到
• 满足 e^{A\cdot0}=I 且可逆
• 含输入时用卷积积分写出全响应

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 求拉氏反变换得到 e^{At}
• 代入全响应公式求状态与输出
• 用初值条件校验结果

通用考法

• 本卷考过求矩阵指数函数并写出零输入状态解
• 求状态转移矩阵
• 求给定初始条件下的状态与输出响应
• 用性质验证转移矩阵是否正确

常见易错

• 矩阵求逆时忘记检查行列式是否为零
• 卷积积分中变量代换写错

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 设计状态反馈增益使闭环极点落在指定位置

本卷实例

• 关键一步：先判定能控再设状态反馈增益向量
• 中间结果：比较期望特征式与闭环特征式系数求增益
• 卡点：期望共轭复极点未成对代入

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过设计状态反馈增益使闭环极点落在指定位置
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式