一一、由微分方程求初值与终值并用实数域表达式验证15 分#
思路
- 对一阶微分方程作拉氏变换求出输出的像函数，用初值定理与终值定理求两端值；再作部分分式展开与反变换得时域全响应，并用响应表达式复核两个端值
线性微分方程的时域求解与全响应
基本概念与信号
本卷考法
- 对给定一阶微分方程作拉氏变换求全响应
本卷实例
- 关键一步：对方程两边作拉氏变换并代入零初始条件
- 中间结果：解出输出像函数并按部分分式展开
- 卡点：初值与终值定理成立的条件需先确认
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 全响应由零输入响应与零状态响应两部分叠加而成
- 零输入响应的形式由特征根决定，系数由初始条件定
- 零状态响应用卷积或拉氏变换法求，也可查典型输入的响应表
- 初值条件要区分零时刻前后的跳变，含输入导数项的方程会在零时刻产生跳变
步骤
- 写出微分方程并取拉氏变换，把初始条件作为等效输入移到等号右端
- 分别求零输入解与零状态解，再相加得全响应
- 用初始条件定常数，必要时用终值核对稳态值
- 检查求得的解在零时刻是否等于给定初值
通用考法
- 本卷考过对给定一阶微分方程作拉氏变换求全响应
- 由微分方程与初始条件求系统的全响应
- 分别求零输入响应与零状态响应
- 判断给定初值下响应是否单调或是否有极值
常见易错
- 本卷考过用终值定理前未检查输出是否收敛
- 只求零状态响应而漏掉由初值决定的自由响应
- 分子含输入导数时忽略零时刻的跳变，导致初值对不上
公式
传递函数的定义与基本性质
传递函数
本卷考法
- 由微分方程写出系统传递函数
本卷实例
- 关键一步：把输出与输入的微分算子之比写成传函
- 中间结果：传函为输入输出算子多项式之比
- 卡点：传函只在零初始条件下成立
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 定义：零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比 G(s)=C(s)/R(s)
- 只由系统结构与参数决定，与输入形式无关
- 分母为特征多项式，其根是极点；分子的根是零点
- 工程可实现系统必为真分式（分子阶数 ≤ 分母阶数）
步骤
- 对微分方程两边取拉氏变换，初始条件全部置零
- 把输出项移到左边、输入项移到右边
- 整理成 C(s)/R(s) 的降幂形式
通用考法
- 本卷考过由微分方程写出系统传递函数
- 由微分方程直接写出传递函数
- 指出系统的阶数、极点个数与零点个数
- 判断给定分式能否作为实际系统的传递函数
常见易错
- 本卷考过忽略零初始条件这一前提
- 忽略“零初始条件”这一前提，把初始值带进变换结果
- 分子分母系数按升幂抄写导致顺序颠倒
公式