1一、两级 RC 网络建模与状态空间30 分#
思路
- 由基尔霍夫定律与电容电流关系画动态结构图，以两电容电压为状态变量列状态空间方程，再用梅森公式求传递函数
电路网络与有源网络建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由两级 RC 网络列写微分方程并建立动态结构图
本卷实例
- 关键一步：对每个节点用 KCL 写电流关系，对电容用电流等于电容乘电压变化率
- 关键一步：把方程拉氏变换后按中间变量 i1、v、i2 串成结构图
- 中间结果：两级 RC 含两个储能元件，系统为二阶
- 中间结果：各支路电流电压关系可由变换后的方程读出
- 卡点：两级耦合关系写错；需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 无源网络用复阻抗分压或节点法
- 含运放的网络使用虚短与虚断两个条件
- 有源滤波器与 RC 网络是常见载体
步骤
- 画出复阻抗等效电路
- 用分压公式或节点电流方程列写关系
- 整理为输出与输入的比值
通用考法
- 本卷考过由两级 RC 网络列写微分方程并建立动态结构图
- RC 网络或有源滤波器求传递函数
- 求运算电路的输出表达式
常见易错
- 含运放时忽略虚短虚断导致方程数不足
- 把反相输入的负号漏掉
公式
状态空间表达式的建立
状态空间分析
本卷考法
- 选取两电容两端电压为状态变量建立状态空间方程
本卷实例
- 关键一步：对每个电容节点列 KCL 得两个一阶微分方程
- 关键一步：整理成状态方程与输出方程的矩阵形式
- 中间结果：状态矩阵含电阻与电容的组合参数
- 中间结果：输出取第二级电容电压
- 卡点：状态变量个数与储能元件数不等；输出方程漏写直通项
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 状态方程为一阶微分方程组，输出方程是状态与输入的代数关系
- 状态变量的个数等于系统阶数，选取不唯一
- 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
- 可处理多输入多输出系统
步骤
- 确定系统阶数并选取状态变量
- 列写各状态变量的一阶微分方程
- 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
- 本卷考过选取两电容两端电压为状态变量建立状态空间方程
- 由物理系统列写状态空间表达式
- 判断状态变量选取是否合理
- 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
- 状态变量个数与系统阶数不匹配
- 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
梅森增益公式与信号流图
传递函数
本卷考法
- 分别由动态结构图与状态空间方程求传递函数并互验
本卷实例
- 关键一步：由结构图找前向通路与回路，用梅森公式写特征式与余子式
- 关键一步：由状态空间独立算一遍同样的传递函数作校验
- 中间结果：两种方法应得到相同的二阶传递函数
- 中间结果：分母由两回路与不接触回路组合而成
- 卡点：不接触回路漏算；矩阵求逆展开时符号写错
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
- 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
- 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
- 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
- 由结构图改画信号流图，标出各节点
- 找出全部单独回路，求特征式 Δ
- 找出全部前向通路 P_k
- 对每条通路求余子式 Δ_k
- 代入公式求总传输
通用考法
- 本卷考过分别由动态结构图与状态空间方程求传递函数并互验
- 由信号流图求 C(s)/R(s)
- 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
- 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
- 不接触回路找漏或重复计数
- 余子式中未剔除与通路接触的回路
- 把前向通路的增益写成了回路增益
公式