华北电力大学(北京) 841 自动控制理论（含现控） 2023 年真题思维导图

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难度：中等　全卷9题，经典控制6题加现代控制3题。依次考反馈控制原理与方框图、稳态误差为零的证明与充分条件、由正弦稳态响应求参数与动态性能、状态反馈不改变能控性与极点配置、离散系统闭环脉冲传函与稳定性、描述函数法判断振幅增减、由Bode图反求传函与相角裕度、多入多出系统的标准型实现、李雅普诺夫法求参数。卷面逐题印分值。

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1一、反馈控制系统的组成与方框图15 分#

思路

• 描述人进行羽毛球运动时的负反馈控制过程，画出原理方框图，指出预期球况与期望位姿为输入、实际位姿为输出、大脑为控制装置、四肢和球拍为被控对象。

自动控制系统的基本组成与控制方式 基本概念与信号

本卷考法

• 由羽毛球运动过程指出输入、输出、控制装置与被控对象

本卷实例

• 关键一步：把期望球况与实际位姿之差作为偏差信号
• 关键一步：大脑作比较决策，四肢与球拍为执行并带动被控对象
• 中间结果：输入为预期球况与期望位姿，输出为实际位姿
• 卡点：被控对象是四肢和球拍，别写成羽毛球

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
• 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制；按给定信号分为恒值、随动与程序控制
• 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号，是反馈通道的入口
• 控制系统的基本要求是稳、准、快三条

步骤

• 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
• 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
• 按信号流向把环节串成闭环方框图
• 说明系统靠什么维持被控量等于给定量

通用考法

• 本卷考过由羽毛球运动过程指出输入、输出、控制装置与被控对象
• 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
• 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
• 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程

常见易错

• 把被控量与操纵量搞反
• 只画方框图而不指认环节，或反之，漏答一半

2二、稳态误差为零的证明与充分条件20 分#

思路

• 由误差定义写误差传递函数，在系统稳定前提下用终值定理证明阶跃输入稳态误差为零；再对加速度输入令误差表达式极限为零，给出对闭环传函分子系数的充分条件。

误差定义与误差传递函数 稳态误差

本卷考法

• 写出误差传递函数并证明阶跃输入下稳态误差为零

本卷实例

• 关键一步：由误差定义写 E(s)/R(s) 等于 1 减 Φ(s)
• 关键一步：用终值定理求 s 趋于零时的稳态误差
• 中间结果：1 减 Φ(s) 的分母为题给闭环特征多项式，分子含 s 的一次幂
• 卡点：用终值定理前需说明系统稳定这一前提

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 误差有两种定义：输入端 E(s)=R(s)-C(s) 与 E(s)=R(s)-B(s)，须看清题意
• 误差传递函数由结构决定
• 单位反馈时两种定义等价

步骤

• 按题意确定误差取在输入端还是反馈端
• 由结构图写出误差传递函数
• 乘输入后取 s→0 的极限

通用考法

• 本卷考过写出误差传递函数并证明阶跃输入下稳态误差为零
• 写出误差传递函数
• 说明不同误差定义对结果的影响

常见易错

• 非单位反馈时两种误差定义混用导致结果差一个 H(s)
• 忘记先判断系统是否稳定

公式

系统型别与静态误差系数 稳态误差

本卷考法

• 由系统型别分析加速度输入下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：写出加速度误差系数 Ka 的极限表达式
• 关键一步：令 Ka 为无穷大或使稳态误差表达式分子为零
• 中间结果：欲使加速度输入下误差为零，需开环至少含三个积分环节
• 卡点：充分条件要让误差表达式分子为零，别把系统型别判错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 型别 v 由开环传递函数中积分环节的个数决定
• 0 型有位置误差、Ⅰ型有速度误差、Ⅱ型有加速度误差
• 静态误差系数只与开环传递函数有关

步骤

• 把开环传递函数写成分式，数出 s 的幂次即型别
• 按型别选择对应的静态误差系数公式
• 代入求值

通用考法

• 本卷考过由系统型别分析加速度输入下的稳态误差
• 判断系统型别
• 求静态位置、速度、加速度误差系数
• 分析增加积分环节对精度的影响

常见易错

• 把开环增益与静态误差系数混为一谈
• 数错积分环节个数导致型别判错

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 在1问基础上求加速度输入下误差为零的充分条件

本卷实例

• 关键一步：把加速度输入的拉氏变换代入误差表达式
• 关键一步：令整理后表达式的极限为零，读出对分子系数的要求
• 中间结果：充分条件化为闭环传函分子若干低次项系数同时为零
• 卡点：充分条件不唯一，答出一组并说明理由即可

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过在1问基础上求加速度输入下误差为零的充分条件
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

3三、由正弦稳态响应求参数与动态性能15 分#

思路

• 由正弦输入输出的幅值比与相角差写出频率特性方程，求阻尼比与自然频率并判断稳定性，再计算单位阶跃下的各项动态性能指标。

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由正弦稳态响应的幅值与相角写幅频相频关系

本卷实例

• 关键一步：把 r(t) 与 c(t) 的幅值比作为该频率处的幅频值
• 关键一步：把输出相对输入的相角差作为该频率处的相频值
• 中间结果：正弦稳态下把 s 换成 jω 得频率特性表达式
• 卡点：输入频率由正弦信号的角频率确定，别代错 ω

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由正弦稳态响应的幅值与相角写幅频相频关系
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由幅频相频两个条件联立求阻尼比与自然频率

本卷实例

• 关键一步：写出闭环传函并令 s 等于 jω 得频率特性
• 关键一步：由幅值条件与相角条件列两个方程联立求解
• 中间结果：开环传函化标准形式后 ωn² 与 2ξωn 为待定参数
• 卡点：幅值条件与相角条件要同时满足，别只用一个

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
• ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
• 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
• β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角

步骤

• 把闭环传递函数化成标准二阶形式
• 比对系数求出 ωn 与 ξ
• 写出闭环极点表达式
• 按 ξ 的取值判断响应类型

通用考法

• 本卷考过由幅频相频两个条件联立求阻尼比与自然频率
• 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
• 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
• 在 s 平面上标出闭环极点的位置

常见易错

• 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
• 把开环增益误当成闭环传递函数的系数

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由阻尼比与自然频率计算各项动态性能指标

本卷实例

• 关键一步：按超调量公式算σ百分之，按定义算上升时间与峰值时间
• 关键一步：调节时间按百分之五误差带的公式计算
• 中间结果：欠阻尼下上升时间由反余弦阻尼比与自然频率共同决定
• 卡点：上升时间与峰值时间公式不同，别混用相位角

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过由阻尼比与自然频率计算各项动态性能指标
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

4四、状态反馈不改变能控性与极点配置20 分#

思路

• 先证明引入状态反馈后能控性矩阵与原矩阵互为初等变换、秩不变；再对给定系统构造状态反馈矩阵，注意不可控极点须包含在理想极点中。

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 证明状态反馈不改变能控性并判断系统能控性

本卷实例

• 关键一步：比较状态反馈前后的能控性矩阵，说明二者互为初等变换
• 关键一步：构造能控性矩阵 B AB A²B 并求秩
• 中间结果：引入状态反馈后能控性矩阵的每一列都由原列线性组合得到
• 卡点：本题系统不完全能控，不可控极点对应特征值需先找出

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过证明状态反馈不改变能控性并判断系统能控性
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 按理想极点构造状态反馈矩阵

本卷实例

• 关键一步：先确认哪些理想极点可由状态反馈配置
• 关键一步：把系统矩阵代入 A 加 BK 后比较特征多项式系数
• 中间结果：期望特征多项式为 (s 加一)(s 加二)² 的展开式
• 卡点：不可控极点必须包含在理想极点中，否则无解

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过按理想极点构造状态反馈矩阵
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

5五、离散系统闭环脉冲传函、稳定性与输出序列15 分#

思路

• 先求开环 z 变换并写闭环脉冲传函，用 w 变换把特征方程化到 w 域后用劳斯判据判稳，再用长除法求前几拍采样输出序列。

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器的闭环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：先求开环 ZOH 与连续部分的 z 变换 G(z)
• 关键一步：按单位负反馈关系写闭环脉冲传函
• 中间结果：闭环脉冲传函分母为 1 加 G(z)，分子为 G(z)
• 卡点：零阶保持器要与后续连续环节合并取 z 变换

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器的闭环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用 w 变换与劳斯判据判别离散系统稳定

本卷实例

• 关键一步：把 z 等于 (w 加一)/(w 减一) 代入特征方程
• 关键一步：对 w 域特征多项式列劳斯表判稳
• 中间结果：变换后特征多项式各系数同号则可判稳
• 卡点：w 变换后要重新整理成 w 的多项式再列劳斯表

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用 w 变换与劳斯判据判别离散系统稳定
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

z 变换与 z 反变换 离散控制系统

本卷考法

• 用长除法求采样输出序列到第六拍

本卷实例

• 关键一步：由 C(z) 等于 Φ(z)R(z) 写出 z 的负幂级数
• 关键一步：用长除法逐拍求出前六个采样值
• 中间结果：长除法每步取最高次项相除得到对应拍数的系数
• 卡点：题要求到第六节拍即可，别多算
• 卡点：离散序列绘图需回原卷核对该图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
• 常用函数的 z 变换要熟记
• z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
• 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内

步骤

• 将连续传递函数展开为部分分式
• 逐项查表做 z 变换
• 需要时做 z 反变换求时间序列

通用考法

• 本卷考过用长除法求采样输出序列到第六拍
• 求给定函数的 z 变换
• 求 z 反变换得到采样序列
• 说明 s 平面与 z 平面的映射关系

常见易错

• 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
• 部分分式分解时漏项导致反变换出错

公式

6六、描述函数法判断振幅增减15 分#

思路

• 由负倒描述函数曲线与线性部分奈奎斯特曲线的相对位置划分稳定区与不稳定区，按初始振幅所在区间判断自振振幅是不断增大还是减小。

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 由负倒描述函数与奈奎斯特曲线位置判断振幅增减

本卷实例

• 关键一步：在被曲线包围区域标出不稳定区、其余为稳定区
• 关键一步：按初始振幅落在哪个区判断 A 增大还是减小
• 中间结果：曲线穿入稳定区处对应稳定自振，穿出处对应不稳定
• 卡点：同一曲线可能有多个穿越点，需分段讨论 A0 所在区间

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过由负倒描述函数与奈奎斯特曲线位置判断振幅增减
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 理解理想继电器负倒描述函数曲线的走向

本卷实例

• 关键一步：写出理想继电特性的负倒描述函数表达式
• 关键一步：分析其随 A 增大在复平面上的走向
• 中间结果：负倒描述函数为负实轴上随 A 增大向原点移动的一段
• 卡点：判断稳定区要按 A 增大方向，不能只看曲线形状

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过理解理想继电器负倒描述函数曲线的走向
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

7七、由Bode图反求传函与相角裕度15 分#

思路

• 由最小相位系统开环对数幅频特性曲线的低频段与各转折频率斜率变化反求传递函数，再求截止频率、相角裕度并判别稳定性。

由 Bode 图反求传递函数 频域分析

本卷考法

• 由开环对数幅频特性曲线反求传递函数

本卷实例

• 关键一步：由低频段斜率判断系统型别并读出开环增益
• 关键一步：按各转折频率斜率变化确定对应环节与时间常数
• 中间结果：斜率每变化负20分贝每十倍频程对应一个一阶环节
• 卡点：低频段高度要按型别折算，别把延长线交点直接当增益

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 低频段斜率给出积分环节个数即系统型别
• 低频段高度或延长线与 0 dB 交点给出开环增益
• 每个转折频率对应一个一阶或二阶环节
• 斜率变化 -20 对应惯性环节，+20 对应一阶微分，-40 可能是振荡环节

步骤

• 读低频段斜率确定型别 v
• 由低频段高度或延长线确定增益 K
• 逐个读出转折频率并判断对应环节类型
• 结合相频曲线与谐振峰判定二阶环节参数
• 写出并验证传递函数

通用考法

• 本卷考过由开环对数幅频特性曲线反求传递函数
• 由给定 Bode 图写出传递函数
• 由实验频率特性辨识系统模型
• 检验候选传递函数与曲线是否吻合

常见易错

• 把延长线交点误当作增益值而未折算型别
• 斜率变化为 -40 时直接写成一阶环节

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求截止频率与相角裕度并判别稳定性

本卷实例

• 关键一步：令开环幅值等于一求截止频率
• 关键一步：代入相频表达式算相角裕度并判断符号
• 中间结果：截止频率落在某个转折频率区间内，需先假设再验证
• 卡点：相角裕度为正对应稳定，但非最小相位系统要另作判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求截止频率与相角裕度并判别稳定性
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

8八、多入多出系统的标准型实现20 分#

思路

• 把传递函数矩阵真分式化分并整理各通道分子多项式，写能控标准型实现，按对偶关系写能观标准型，再约去零极点对消得对角标准型最小实现并画状态变量图。

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数矩阵写能控与能观标准型实现

本卷实例

• 关键一步：先求公分母与分子向量，真分式化分得直接传递项
• 关键一步：按分母系数写能控标准型，再取对偶得能观标准型
• 中间结果：多入多出系统按每个输出通道分别整理分子多项式系数
• 卡点：对角标准型最小实现需先约去零极点对消，别直接套标准型

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数矩阵写能控与能观标准型实现
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间表达式与传递函数矩阵互证

本卷实例

• 关键一步：用 C 乘 sI 减 A 的逆再乘 B 加 D 求传函阵
• 关键一步：与题给矩阵逐通道比对检验实现是否正确
• 中间结果：传函阵的分母为特征多项式，分子系数由各通道 C 与伴随矩阵决定
• 卡点：直接传递项 D 在真分式化分时容易漏写

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间表达式与传递函数矩阵互证
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

9九、李雅普诺夫法求参数使原点大范围渐近稳定15 分#

思路

• 设正定矩阵 P 令李雅普诺夫方程成立，解出 P 的各元素后按正定判据求参数 m 的取值，并与劳斯判据结论互证。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫法求参数使系统在原点大范围渐近稳定

本卷实例

• 关键一步：设正定矩阵 P 并令 A 的转置乘 P 加 P 乘 A 等于负单位阵
• 关键一步：解出 P 的各元素后用塞尔维斯特判据检查正定
• 中间结果：P 正定要求各阶顺序主子式都大于零
• 卡点：P 的正定性需逐阶主子式全为正，缺一阶都不能下结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫法求参数使系统在原点大范围渐近稳定
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式