福州大学 812 自动控制理论（含现控） 2025 年真题思维导图

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难度：中等　全卷6题，覆盖信号流图与梅森公式、由阶跃响应反求模型并求稳态量与时域指标、奈奎斯特判据求稳定域、滞后校正与Bode图、离散系统脉冲传函与稳定域、状态反馈极点配置。框图与曲线条件多，逐年与宝典均未标每题分值，卷首只印全卷满分150分。

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1一、信号流图与梅森公式#

思路

• 由系统结构图先画出信号流图，标注各支路增益与独立回路，再用梅森增益公式求闭环传递函数

梅森增益公式与信号流图 传递函数

本卷考法

• 由控制系统图求信号流图并用梅森公式求闭环传函

本卷实例

• 关键一步：先把方框图的环节与汇点改画成信号流图的节点与有向支路
• 中间结果：特征式按独立回路及两两不接触回路逐层累加
• 卡点：方框图未读图，回路条数与比较点引出支路需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
• 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
• 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
• 不接触回路才会计入高阶乘积项

步骤

• 由结构图改画信号流图，标出各节点
• 找出全部单独回路，求特征式 Δ
• 找出全部前向通路 P_k
• 对每条通路求余子式 Δ_k
• 代入公式求总传输

通用考法

• 本卷考过由控制系统图求信号流图并用梅森公式求闭环传函
• 由信号流图求 C(s)/R(s)
• 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
• 判断某条回路是否与给定前向通路接触

常见易错

• 不接触回路找漏或重复计数
• 余子式中未剔除与通路接触的回路
• 把前向通路的增益写成了回路增益

公式

3三、由阶跃响应反求模型与时域指标#

思路

• 先由单位阶跃响应反求开环传递函数并写出闭环传函，再用终值定理求斜坡输入下的稳态输出与稳态误差，最后用闭环主导极点估计调节时间

由响应曲线反求传递函数 传递函数

本卷考法

• 由单位阶跃响应反求开环传函G0(s)

本卷实例

• 关键一步：对阶跃响应作拉普拉斯变换，再除以输入的1/s得到G0
• 中间结果：响应中的指数衰减项对应一阶惯性环节的极点
• 卡点：逐年OCR把指数衰减系数读成5，宝典印2.5，需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态值决定增益 K
• 超调量只由阻尼比 ξ 决定
• 峰值时间与振荡频率共同确定 ωn
• 时间常数由响应达到稳态值 63.2% 的时刻给出

步骤

• 从曲线上读出稳态值、超调量、峰值时间或时间常数
• 判断系统是一阶还是二阶（看有无振荡）
• 由超调量反求 ξ，再由峰值时间反求 ωn
• 写出标准形式并补上增益

通用考法

• 本卷考过由单位阶跃响应反求开环传函G0(s)
• 由实验阶跃响应曲线求传递函数
• 由给出的性能指标反求参数

常见易错

• 未判断系统阶数就直接套用二阶公式
• 把稳态值当成了增益而漏掉输入幅值

公式

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 求斜坡输入下的稳态输出与稳态误差

本卷实例

• 关键一步：用终值定理求误差传函乘输入后s趋于零的极限
• 中间结果：系统型别决定斜坡误差是有限值还是无穷
• 卡点：用终值定理前需先确认闭环系统稳定

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过求斜坡输入下的稳态输出与稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

高阶系统的降阶与主导极点 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由已知闭环根用主导极点估计调节时间

本卷实例

• 关键一步：由已知闭环根分解闭环特征多项式，找出主导复极点对
• 中间结果：远离虚轴的实极点可与邻近零点近似构成偶极子
• 卡点：降阶前需确认被略去的极点确实次要

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离虚轴最近的极点起主导作用，其余极点对应快速衰减分量
• 闭环零点会增大超调、缩短峰值时间
• 极点实部相差 5 倍以上时可按主导极点降阶

步骤

• 求出全部闭环极点并按距虚轴远近排序
• 用主导极点对近似为二阶系统
• 用零点修正式修正超调量与峰值时间

通用考法

• 本卷考过由已知闭环根用主导极点估计调节时间
• 把高阶系统近似为二阶系统并估算性能指标
• 判断附加闭环零点对超调量的影响
• 说明某极点能否忽略的理由

常见易错

• 忽略零点对超调量的放大作用
• 只看极点距离而不管该极点的留数大小

公式

欠阻尼动态性能指标 时域响应与动态性能

本卷考法

• 按5%误差带用二阶近似式估计调节时间

本卷实例

• 关键一步：取主导极点实部的绝对值作为衰减系数
• 中间结果：调节时间与主导极点实部绝对值成反比
• 卡点：不同误差带的公式常数不同，需按题给误差带选取

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量只由 ξ 决定，与 ωn 无关
• 峰值时间、上升时间、调节时间都与 ωn 成反比
• 调节时间与 ξωn 的乘积成反比，ξωn 是衰减因子
• 振荡次数与 ξ 直接相关

步骤

• 由标准形式读出 ξ 与 ωn
• 用超调量公式先求 ξ
• 依次代入峰值时间、调节时间、上升时间公式
• 必要时计算振荡次数

通用考法

• 本卷考过按5%误差带用二阶近似式估计调节时间
• 给定 ξ 与 ωn 求全部动态性能指标
• 由超调量要求确定 ξ 的取值范围
• 分析 ωn 变化时各指标如何变化

常见易错

• 把两种误差带的调节时间系数搞混
• 峰值时间与上升时间混用
• 超调量公式中漏乘 100%

公式

5五、奈奎斯特判据与稳定域#

思路

• 由开环传递函数写出幅频与相频特性，画奈奎斯特曲线并求与负实轴的交点，再按判据由穿越条件列出使闭环稳定的增益范围

频率特性的物理意义与求法 频域分析

本卷考法

• 由开环传函求幅频与相频表达式

本卷实例

• 关键一步：把传递函数中的s替换为jω再按模与相角分解
• 中间结果：各因式的模相乘除、相角相加减
• 卡点：分母各环节的模需全部保留，不能只写积分环节

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 频率特性是传递函数中令 s=jω 得到的复变函数
• 幅频特性表示各频率正弦输入下的幅值放大倍数
• 相频特性表示输出相对输入的相位差
• 频率特性可用幅相曲线、Bode 图或尼柯尔斯图表示

步骤

• 由传递函数令 s=jω 得到 G(jω)
• 分别求出幅值 |G(jω)| 与相角 ∠G(jω)
• 按需要绘制幅相曲线或对数频率特性

通用考法

• 本卷考过由开环传函求幅频与相频表达式
• 求给定传递函数的幅频与相频表达式
• 计算某频率处的幅值与相角
• 说明频率特性的物理含义

常见易错

• 求幅值时忘记把分母复数取模后再相除
• 相角累加时漏掉积分环节的 -90°

公式

奈奎斯特判据 稳定性分析

本卷考法

• 用奈奎斯特判据求使系统稳定的k范围

本卷实例

• 关键一步：令s等于jω代入开环传函，找相角为负180度的频率
• 中间结果：曲线与负实轴交点对应临界穿越条件
• 卡点：开环含虚轴极点时需补画无穷大圆弧

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环稳定 ⇔ Z=N+P，其中 Z 为右半平面闭环极点数
• P 为开环右半平面极点数，须先数清楚
• N 为开环幅相曲线绕 (-1,j0) 点的净包围圈数
• 逆时针包围为正，顺时针为负

步骤

• 先求开环极点，数出右半平面个数 P
• 绘制开环幅相特性曲线（或利用 Bode 图判稳）
• 数出曲线对 (-1,j0) 点的包围圈数 N
• 由 Z=N+P 判断闭环稳定性

通用考法

• 本卷考过用奈奎斯特判据求使系统稳定的k范围
• 由开环幅相曲线判断闭环稳定性
• 求使闭环稳定的开环增益范围
• 判断补画虚轴绕行后曲线的包围情况

常见易错

• 开环含有积分环节时未补画无穷大半径圆弧
• 把包围圈数的正负号定义搞反
• 没有先数开环右半平面极点数 P

公式

参数稳定域的确定 稳定性分析

本卷考法

• 把奈奎斯特穿越条件化成k的稳定区间

本卷实例

• 关键一步：由负实轴交点坐标列出增益的临界不等式
• 中间结果：开环无右半平面极点时临界点须位于负一之右
• 卡点：区间端点处系统临界稳定，需说明开闭

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳定条件是一组关于参数的不等式
• 区间端点通常对应临界稳定，即根落在虚轴上
• 稳定域是不等式组的交集

步骤

• 由劳斯表首列各元素大于零列出不等式组
• 逐个解不等式并取交集
• 检查端点是否为临界稳定

通用考法

• 本卷考过把奈奎斯特穿越条件化成k的稳定区间
• 求使系统稳定的参数上界或下界
• 判断某参数取值是否满足稳定要求
• 比较不同参数对稳定域大小的影响

常见易错

• 只列出部分首列元素的不等式，漏掉某个约束
• 取交集时把端点是否包含搞错

公式

6六、滞后校正与Bode图#

思路

• 按校正后截止频率要求确定滞后校正装置的参数，写出校正后开环传递函数，再分别绘制校正前后的渐近对数幅频特性并求校正前截止频率

滞后校正 系统校正

本卷考法

• 确定滞后校正装置Gc(s)并写出校正后开环传函

本卷实例

• 关键一步：按校正后截止频率要求反推校正装置的零极点与增益
• 中间结果：滞后校正的零点转折频率高于极点转折频率
• 卡点：校正装置图像未读图，转折频率需回原卷核对

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 滞后校正利用高频段幅值衰减提高相角裕度
• 会使截止频率降低，响应变慢
• 转折频率要远低于新的截止频率以免引入过多相位滞后
• 可同时提高低频增益改善稳态精度

步骤

• 确定满足相角裕度要求的新截止频率
• 由未校正系统在该频率处的幅值确定衰减量
• 由衰减量求滞后网络的参数 β
• 取转折频率低于新截止频率一个数量级，写出传递函数

通用考法

• 本卷考过确定滞后校正装置Gc(s)并写出校正后开环传函
• 设计串联滞后校正装置
• 比较超前与滞后校正的效果差异
• 分析滞后校正对响应速度的影响

常见易错

• 把滞后网络的两个转折频率顺序写反
• 转折频率取得过高导致相位滞后抵消了增益改善

公式

开环对数频率特性的绘制 频域分析

本卷考法

• 分别绘制校正前后的开环对数幅频特性

本卷实例

• 关键一步：按各环节转折频率从小到大排列，逐段叠加斜率
• 中间结果：低频段斜率由积分环节个数决定
• 卡点：校正前后转折频率不同，需分别列写

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 熟记 lg2≈0.3、lg5≈0.7、20lg2≈6dB
• 从低频段开始逐段按各环节转折频率改变斜率
• 低频段斜率由系统型别决定，高度由开环增益决定
• 每经过一个转折频率斜率就叠加该环节的斜率变化

步骤

• 把开环传递函数写成典型环节的标准乘积
• 确定系统型别与开环增益，画出最低频段渐近线
• 按转折频率从小到大逐段改斜率
• 逐点叠加得到幅频与相频曲线

通用考法

• 本卷考过分别绘制校正前后的开环对数幅频特性
• 绘制开环对数渐近幅频特性
• 计算指定频率处的幅值与相角
• 由低频段斜率与高度判断型别与增益

常见易错

• 逐段改斜率时忘记累加而非替换
• 低频段起始高度没有乘上型别的 -20v dB/dec

公式

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求校正前的截止频率ωc0

本卷实例

• 关键一步：令校正前幅频特性等于1，反求对应频率
• 中间结果：截止频率落在哪一段决定采用哪段渐近线
• 卡点：需先判断截止频率所在频段再列方程

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求校正前的截止频率ωc0
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

7七、离散系统脉冲传函与稳定域#

思路

• 按零阶保持器的采样结构求广义被控对象的z变换，写出闭环脉冲传递函数，再由闭环特征方程根在单位圆内的条件求稳定k范围

连续系统的离散化 离散控制系统

本卷考法

• 含零阶保持器的连续部分离散化

本卷实例

• 关键一步：把连续传函乘零阶保持器后一起作z变换
• 中间结果：零阶保持器对应z域的一个一减z负一次方因子
• 卡点：采样开关位置影响连续部分能否先合并再离散

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 离散化状态方程由状态转移矩阵在采样周期处的取值构成
• 输入矩阵是状态转移矩阵与输入矩阵乘积在采样周期上的积分
• 带零阶保持器时即按上述积分式离散化，输出矩阵不变

步骤

• 求连续系统的状态转移矩阵
• 把采样周期代入得到离散状态矩阵
• 对输入矩阵做积分得到离散输入矩阵
• 写出差分形式的离散状态方程并按递推求采样点上的响应

通用考法

• 本卷考过含零阶保持器的连续部分离散化
• 求连续系统在给定采样周期下的离散化状态方程
• 由给出的状态响应反求系统矩阵再离散化
• 计算采样点上的状态与输出序列

常见易错

• 把采样周期直接当成时间常数代进连续传函
• 积分上限写成采样周期以外的量，或忘记乘输入矩阵

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求离散系统的闭环脉冲传递函数φ(z)

本卷实例

• 关键一步：按结构图把前向通道与反馈通道的z传函组合
• 中间结果：开环脉冲传函确定后按反馈公式得闭环
• 卡点：H(s)需先与连续部分合并再离散，不能直接离散

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求离散系统的闭环脉冲传递函数φ(z)
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 由闭环特征方程求系统稳定的k范围

本卷实例

• 关键一步：把闭环特征方程整理成z的多项式
• 中间结果：稳定性要求全部特征根位于z平面单位圆内
• 卡点：离散系统稳定边界是单位圆，不是虚轴

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过由闭环特征方程求系统稳定的k范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

9九、李雅普诺夫第二法判断稳定性#

思路

• 取题给的二次型作候选李雅普诺夫函数，沿状态方程对时间求导，由导数的定号性判断原点稳定性；题面只印出三阶状态矩阵的位置而未印出具体元素，需回原卷补出矩阵后再完成定号判断。

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第二法判断三阶系统稳定性

本卷实例

• 关键一步：按题给二次型写出候选 V(x)，再沿 ẋ=Ax 求 V 对时间的导数
• 中间结果：V 的导数可整理成以状态变量为自变量的二次型表达式
• 卡点：源文状态矩阵缺失，需回原卷核对后再定导数符号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第二法判断三阶系统稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式

10十、状态反馈极点配置#

思路

• 把给定闭环传递函数化为能控标准型实现，由能控性判断极点能否任意配置，再按目标传递函数对应的期望极点比较特征多项式系数求状态反馈阵

由传递函数写状态空间表达式 状态空间分析

本卷考法

• 由传递函数写出能控标准型状态空间实现

本卷实例

• 关键一步：按分母多项式系数写能控标准型，分子系数进输出方程
• 中间结果：状态矩阵末行取分母各系数的相反数
• 卡点：分子分母有公因式时实现阶数会降低

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
• 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
• 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
• 最小实现要求系统既能控又能观

步骤

• 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
• 按标准型规则写出 A、B、C、D
• 必要时用线性变换换成其他标准型

通用考法

• 本卷考过由传递函数写出能控标准型状态空间实现
• 由传递函数写出能控标准型
• 由传递函数写出能观标准型
• 判断给定的实现是否为最小实现

常见易错

• 真分式化分时直接项 D 处理错误
• 友矩阵中系数符号写反

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 判断能否用状态反馈任意配置极点

本卷实例

• 关键一步：构造能控性矩阵并判断其秩是否等于系统阶数
• 中间结果：传递函数零极点对消对应不能控或不能观
• 卡点：任意配置极点的前提是系统完全能控

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过判断能否用状态反馈任意配置极点
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 按期望极点求状态反馈增益阵

本卷实例

• 关键一步：由期望极点写特征多项式，与原特征多项式比较系数
• 中间结果：状态反馈不改变零点，目标传函出现零极点对消
• 卡点：比较系数时反馈阵各元符号容易整体取反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过按期望极点求状态反馈增益阵
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式