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大连海事大学 805 自动控制理论(含现控) 2025 年真题思维导图

211 院校共 8 题

难度:中等 全卷8题,经典自控与现控综合卷。题面覆盖机电混合建模、多回路结构图与前馈补偿、根轨迹、二阶闭环幅频与相角裕度、离散采样系统、非线性描述函数、状态空间能控性与全维观测器。卷首只印全卷满分,各题未标分值;四道题配有原卷插图。

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1一、简答·减小或消除稳态误差的措施#

思路
  • 从稳态误差的来源入手,按开环增益不足与系统型别不够两类情形分别给出措施,并说明各措施的代价。
本卷考法
  • 试述稳定性基本概念并区分线性与非线性系统的稳定决定因素
本卷实例
  • 关键一步:先由扰动消失后能否回到原平衡状态界定稳定性
  • 关键一步:再按线性与非线性分别讨论稳定性的决定因素
  • 中间结果:线性系统的稳定性只由自身结构与参数决定
  • 中间结果:非线性系统可有多个平衡状态,还与输入和初值有关
  • 卡点:把线性系统的稳定性误说成与输入或初值有关
  • 卡点:只答稳定性定义而漏掉两类系统决定因素的对比
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环系统按给定、比较、放大、执行、对象、检测六个环节串联成环
  • 按有无反馈分为开环、闭环与复合控制;按给定信号分为恒值、随动与程序控制
  • 检测变送元件把被控量转换成可比较的信号,是反馈通道的入口
  • 控制系统的基本要求是稳、准、快三条
步骤
  • 从工艺或物理描述里找出被控量与操纵量
  • 逐个指认给定、比较、控制、执行、对象与检测六个环节对应的实物
  • 按信号流向把环节串成闭环方框图
  • 说明系统靠什么维持被控量等于给定量
通用考法
  • 本卷考过试述稳定性基本概念并区分线性与非线性系统的稳定决定因素
  • 指出系统的被控对象、被控量与操纵量
  • 说明检测变送元件在闭环系统中的作用
  • 画出给定系统的闭环方框图并说明工作过程
常见易错
  • 把被控量与操纵量搞反
  • 只画方框图而不指认环节,或反之,漏答一半
本卷考法
  • 列举减小或消除稳态误差的常用措施
本卷实例
  • 关键一步:先判断误差来自开环增益偏小还是系统型别偏低
  • 中间结果:可归结为提高增益、增加积分、前馈补偿与扰动补偿四类
  • 卡点:只答提高增益而漏掉稳定性代价,或漏掉复合控制方案
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 提高开环增益可减小有差系统的误差,但会削弱稳定性
  • 增加积分环节可提高型别,代价是相位滞后与超调增大
  • 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
  • 采用扰动补偿可提高扰动不变性
步骤
  • 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
  • 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
  • 校验补偿后系统仍然稳定
  • 重新计算稳态误差确认达标
通用考法
  • 本卷考过列举减小或消除稳态误差的常用措施
  • 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
  • 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
  • 说明为何单纯提高增益不可行
常见易错
  • 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
  • 把增加积分环节的影响单一化,忽略超调
公式

2二、机电系统建模与状态空间#

思路
  • 按电与机械两部分分别列写线圈电压方程和质量块受力方程,把反电动势与电磁力作为耦合项,消去中间变量求传递函数,再按指定状态变量列写状态空间表达式。
直流电机等机电系统 建模与机电系统
本卷考法
  • 列线圈电压方程与质量块受力方程并联立
本卷实例
  • 关键一步:把反电动势与电磁力两个耦合项分别写进电气与机械方程
  • 中间结果:消去线圈电流后得到输入电压到输出位置的微分方程
  • 卡点:耦合系数 k2 同时出现在两个方程中,正负号容易取反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由电枢回路电压方程与转矩平衡方程联立
  • 反电动势与转速成正比,电磁转矩与电枢电流成正比
  • 机电时间常数由电气与机械两方面参数共同决定
步骤
  • 写出电枢回路电压平衡方程
  • 写出转矩平衡方程(含负载与粘性摩擦)
  • 消去电枢电流,得到转速或转角对电压的传递函数
通用考法
  • 本卷考过列线圈电压方程与质量块受力方程并联立
  • 求直流电机转速或位置对电枢电压的传递函数
  • 分析机电时间常数与电气时间常数的数量级关系
常见易错
  • 漏掉反电动势与电磁转矩的耦合项
  • 把电气时间常数与机电时间常数混淆
公式
本卷考法
  • 由机电系统的微分方程求 X(s)/U(s)
本卷实例
  • 关键一步:对含运算放大器的电路部分先按虚短虚断化简
  • 中间结果:传递函数分母由电气与机械两组参数共同组成
  • 卡点:运算放大器增益 F 的作用位置未读图,需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 电路用复阻抗法:电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
  • 机械平移系统三种元件:质量 m、阻尼 f、弹簧 k
  • 先列物理定律方程,再消去中间变量
  • 列方程的依据:KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
  • 画出复阻抗等效电路或受力分析图
  • 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
  • 消去中间变量,得到只含输入输出的方程
  • 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
  • 本卷考过由机电系统的微分方程求 X(s)/U(s)
  • 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
  • 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
  • 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
  • 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
  • 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
  • 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 按指定状态变量列写状态空间表达式
本卷实例
  • 关键一步:把题给的 z1、z2、z3 直接取作三个状态变量
  • 中间结果:由三个一阶微分方程整理出 A、B、C 矩阵
  • 卡点:输出取位置 x,输出方程只需保留含 z1 的一项
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过按指定状态变量列写状态空间表达式
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式

3三、结构图参数确定与复合控制#

思路
  • 由超调量确定阻尼比,由斜坡稳态误差确定开环增益关系,联立求出结构参数;再用梅森增益公式写出闭环传递函数,最后按不变性原理设计前馈增益 k3。
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由超调量反求二阶系统的阻尼比
本卷实例
  • 关键一步:把闭环传递函数化成标准二阶形式后逐项比对系数
  • 中间结果:超调量只与阻尼比有关,可先由超调量定出阻尼比
  • 卡点:结构图未读图,前向通路与反馈支路增益需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由超调量反求二阶系统的阻尼比
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
本卷考法
  • 用斜坡稳态误差条件求结构参数
本卷实例
  • 关键一步:写出误差传递函数并判断系统型别,再选斜坡误差公式
  • 中间结果:斜坡误差与开环增益成反比,可给出增益关系式
  • 卡点:用终值定理前要先确认前馈增益取零时系统稳定
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过用斜坡稳态误差条件求结构参数
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
本卷考法
  • 用梅森增益公式求闭环传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先找全部前向通路与独立回路,再逐个写余子式
  • 中间结果:前馈支路存在时前向通路由一条增加为两条
  • 卡点:前馈支路与回路是否接触决定余子式,容易漏减
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 信号流图适合处理多回路、比较点复杂系统
  • 特征式 Δ=1-ΣL+ΣLL-ΣLLL+…
  • 每条前向通路的余子式要剔除与它接触的回路
  • 不接触回路才会计入高阶乘积项
步骤
  • 由结构图改画信号流图,标出各节点
  • 找出全部单独回路,求特征式 Δ
  • 找出全部前向通路 P_k
  • 对每条通路求余子式 Δ_k
  • 代入公式求总传输
通用考法
  • 本卷考过用梅森增益公式求闭环传递函数
  • 由信号流图求 C(s)/R(s)
  • 结构图先用梅森公式化简再作性能分析
  • 判断某条回路是否与给定前向通路接触
常见易错
  • 不接触回路找漏或重复计数
  • 余子式中未剔除与通路接触的回路
  • 把前向通路的增益写成了回路增益
公式
本卷考法
  • 设计前馈增益使斜坡输入下无稳态误差
本卷实例
  • 关键一步:按不变性原理列写前馈补偿器需要满足的条件
  • 中间结果:前馈只改变误差通路,不改变闭环特征方程
  • 卡点:解出的补偿器可能含微分,需检查其可实现性
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 反馈校正可改变被包围环节的特性,抑制参数波动
  • 局部反馈能降低时间常数、提高响应速度
  • 复合控制通过前馈补偿实现给定或扰动不变性
  • 前馈不改变闭环稳定性,可与反馈叠加使用
步骤
  • 确定被包围的环节与反馈通道传递函数
  • 写出等效后的传递函数
  • 按不变性原理列写前馈补偿器条件
  • 求解补偿器并校验可实现性
通用考法
  • 本卷考过设计前馈增益使斜坡输入下无稳态误差
  • 设计反馈校正装置改善被包围环节
  • 求前馈补偿器实现不变性
  • 分析复合控制对稳态误差的作用
常见易错
  • 前馈补偿器求出的表达式含高阶微分,不可实现却直接采用
  • 忽略反馈校正可能引起的高频噪声放大
公式

4四、根轨迹绘制与稳定范围#

思路
  • 先标出开环零极点并判断实轴上的根轨迹段,按法则画渐近线与根轨迹,再令 s 等于 jω 代入特征方程求虚轴交点与临界增益,由此给出稳定范围。
本卷考法
  • 按绘制法则画 k* 由零到无穷的根轨迹
本卷实例
  • 关键一步:先确定开环零极点,再按右侧奇数判据定实轴根轨迹段
  • 中间结果:极点与零点个数之差给出渐近线条数与实轴交点
  • 卡点:开环极点实部为正,渐近线交点需重新计算
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 起于开环极点、终于开环零点(无穷远零点),分支数等于极点数 n
  • 实轴上某段右侧的零极点总数为奇数时,该段属于根轨迹
  • 渐近线条数为 n-m,交点在实轴上,与实轴夹角等分 360°
  • 根轨迹关于实轴对称
步骤
  • 标出全部开环零极点并判断实轴上的根轨迹段
  • 计算渐近线交点与夹角
  • 求出分离点、出射角、与虚轴交点
  • 按对称性连接各段并标出对应 K 值
通用考法
  • 本卷考过按绘制法则画 k* 由零到无穷的根轨迹
  • 按法则绘制根轨迹草图
  • 指出渐近线条数与夹角
  • 判断某段实轴是否属于根轨迹
常见易错
  • 实轴段判据中的零极点个数算错
  • 渐近线夹角公式中的 2k+1 写成 2k
公式
本卷考法
  • 求根轨迹与虚轴交点以确定稳定范围
本卷实例
  • 关键一步:把 s 等于 jω 代入闭环特征方程并分离实部与虚部
  • 中间结果:由两个实方程联立解出交点频率与临界增益
  • 卡点:解出的负频率要舍去,稳定范围取两临界增益之间
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 根轨迹与虚轴的交点对应系统临界稳定
  • 可用劳斯判据令首列为零,或令 s=jω 代入特征方程求解
  • 交点处的 K 是使系统稳定的临界增益
步骤
  • 把 s=jω 代入闭环特征方程
  • 令实部与虚部分别为零,得到两个方程
  • 联立解出 ω 与 K
  • 结合实轴段信息确定根轨迹穿越方向
通用考法
  • 本卷考过求根轨迹与虚轴交点以确定稳定范围
  • 求根轨迹与虚轴的交点及临界增益
  • 确定系统稳定时 K 的取值范围
  • 判断根轨迹穿越虚轴的方向
常见易错
  • 只代一个 ω 就下结论,漏掉另一组交点
  • 得到 K 后没有回到原题核对参数定义
公式

5五、二阶闭环幅频与相角裕度#

思路
  • 把闭环传递函数写成二阶标准形式,利用自然频率处幅值与谐振频率两个条件联立求参数,再由终值定理求阶跃稳态输出,最后求幅值穿越频率与相角裕度。
二阶系统标准形式与阻尼比 时域响应与动态性能
本卷考法
  • 由闭环幅值条件反求二阶系统参数
本卷实例
  • 关键一步:在 s 等于 jωn 处计算闭环幅值并把给定条件代入
  • 中间结果:由幅值条件先解出阻尼比,再回代求自然频率
  • 卡点:题给谐振频率的单位或是否为比值需回原卷核对
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 标准形式由自然频率 ωn 与阻尼比 ξ 两个参数确定
  • ξ>1 过阻尼、ξ=1 临界阻尼、0<ξ<1 欠阻尼、ξ=0 无阻尼
  • 闭环极点位置只由 ξωn 与 ωn√(1-ξ²) 决定
  • β=arccos ξ 是极点与负实轴的夹角
步骤
  • 把闭环传递函数化成标准二阶形式
  • 比对系数求出 ωn 与 ξ
  • 写出闭环极点表达式
  • 按 ξ 的取值判断响应类型
通用考法
  • 本卷考过由闭环幅值条件反求二阶系统参数
  • 由闭环传递函数求 ωn 与 ξ
  • 判断响应是过阻尼还是欠阻尼
  • 在 s 平面上标出闭环极点的位置
常见易错
  • 化为标准形式时忘记把 s² 项系数归一化
  • 把开环增益误当成闭环传递函数的系数
公式
本卷考法
  • 用谐振频率与阻尼比的关系确定参数
本卷实例
  • 关键一步:把谐振频率写成自然频率与阻尼比的平方根表达式
  • 中间结果:谐振频率低于自然频率,两者的比由阻尼比决定
  • 卡点:阻尼比偏大时谐振峰消失,公式不再适用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 谐振峰值 Mr 越大振荡越强,通常要求 Mr 在 1.1 到 1.5 之间
  • 谐振频率 ωr 与峰值时间相关
  • 带宽频率 ωb 越大响应越快但抗噪能力下降
  • 由等 M 圆与等 N 圆可由开环频率特性求闭环特性
步骤
  • 由开环频率特性求闭环频率特性
  • 读出谐振峰值、谐振频率与带宽
  • 按经验公式估计超调量与调节时间
通用考法
  • 本卷考过用谐振频率与阻尼比的关系确定参数
  • 由闭环幅频特性求谐振峰值与带宽
  • 由 Mr 估算超调量
  • 分析带宽与响应速度的关系
常见易错
  • 当 ξ>0.707 时仍套用谐振峰值公式
  • 把开环谐振与闭环谐振混为一谈
公式
本卷考法
  • 求单位阶跃输入下系统的稳态输出
本卷实例
  • 关键一步:先用终值定理求输出的直流分量,再写出时域形式
  • 中间结果:阶跃稳态输出为常数,由闭环直流增益决定
  • 卡点:使用终值定理前要先确认闭环系统稳定
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
  • 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
  • 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大
步骤
  • 判断系统型别并联立稳定性检查
  • 写出输入信号的拉氏变换
  • 用终值定理求 e_ss,或直接查表
  • 必要时按叠加原理分别计算各分量
通用考法
  • 本卷考过求单位阶跃输入下系统的稳态输出
  • 求给定输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 比较不同型别系统的跟踪能力
常见易错
  • 未判稳就使用终值定理
  • 输入为组合信号时漏掉某一分量
  • Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式
公式
稳定裕度 频域分析
本卷考法
  • 求开环传递函数的相角裕度
本卷实例
  • 关键一步:先求幅值穿越频率,再代入相频表达式求相角
  • 中间结果:相角裕度由穿越频率处的相角补到一百八十度得到
  • 卡点:穿越频率与谐振频率不是同一个频率,勿混用
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义,γ=180°+∠G(jωc)
  • 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义,单位可为分贝
  • γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定(最小相位系统)
  • γ 主要影响超调,ωc 主要影响响应速度
步骤
  • 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
  • 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
  • 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度符号判断稳定性
通用考法
  • 本卷考过求开环传递函数的相角裕度
  • 求系统的相角裕度与幅值裕度
  • 由裕度要求反求开环增益
  • 分析增益变化对裕度的影响
常见易错
  • 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
  • 幅值裕度取倒数未取,导致结论反了
  • 非最小相位系统仍用同一判据
公式

6六、离散系统的脉冲传函、稳定性与稳态值#

思路
  • 先按采样开关位置把零阶保持器与连续部分一起离散化,求开环与闭环脉冲传递函数,再用朱里判据或 w 变换求稳定增益范围,最后用终值定理求阶跃稳态值。
脉冲传递函数 离散控制系统
本卷考法
  • 求含零阶保持器的闭环脉冲传递函数
本卷实例
  • 关键一步:先确定采样开关位置,再把保持器与连续部分整体做 z 变换
  • 中间结果:闭环脉冲传函由开环脉冲传函按反馈公式写出
  • 卡点:离散结构图未读图,采样开关位置需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
  • 连续环节串联时若中间没有采样开关,不能直接相乘
  • 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
  • G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入
步骤
  • 确定采样开关位置并画出离散化结构图
  • 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
  • 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数
通用考法
  • 本卷考过求含零阶保持器的闭环脉冲传递函数
  • 求开环或闭环脉冲传递函数
  • 比较不同采样开关位置对结果的影响
  • 由连续传递函数求脉冲传递函数
常见易错
  • 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
  • 忘记把零阶保持器计入 G(z)
公式
z 变换与 z 反变换 离散控制系统
本卷考法
  • 把连续部分展开成部分分式后查 z 变换表
本卷实例
  • 关键一步:对连续传函除以 s 后的式子做部分分式分解再逐项查表
  • 中间结果:极点映射后得到含采样周期指数的 z 分式
  • 卡点:查表时指数上的采样周期 T 不能漏乘
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • z 变换是离散信号的拉氏变换,令 z=e^{Ts} 得到
  • 常用函数的 z 变换要熟记
  • z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
  • 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内
步骤
  • 将连续传递函数展开为部分分式
  • 逐项查表做 z 变换
  • 需要时做 z 反变换求时间序列
通用考法
  • 本卷考过把连续部分展开成部分分式后查 z 变换表
  • 求给定函数的 z 变换
  • 求 z 反变换得到采样序列
  • 说明 s 平面与 z 平面的映射关系
常见易错
  • 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
  • 部分分式分解时漏项导致反变换出错
公式
离散系统稳定性分析 离散控制系统
本卷考法
  • 由特征方程求使系统稳定的增益范围
本卷实例
  • 关键一步:写出闭环特征方程,用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • 中间结果:稳定条件化为关于增益的一组不等式
  • 卡点:离散稳定看极点的模小于一,不是实部小于零
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
  • 可直接求解特征根,也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
  • w 变换把单位圆内映射到左半平面
  • 采样周期增大会使稳定性变差
步骤
  • 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
  • 选择方法:求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
  • 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
  • 必要时分析采样周期对稳定域的影响
通用考法
  • 本卷考过由特征方程求使系统稳定的增益范围
  • 判断离散系统是否稳定
  • 求使系统稳定的采样周期或增益范围
  • 用 w 变换后套用劳斯判据
常见易错
  • 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
  • w 变换公式记错导致映射关系颠倒
公式
离散系统的稳态误差 离散控制系统
本卷考法
  • 用终值定理求单位阶跃作用下的稳态值
本卷实例
  • 关键一步:把闭环脉冲传函代入输出终值公式再取 z 趋近于一
  • 中间结果:输出终值由闭环脉冲传函在 z 趋近于一处的值给出
  • 卡点:用终值定理前要先确认该增益下系统稳定
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 误差由输入类型与开环脉冲传函中 z=1 处极点的个数决定
  • 型别由 G(z)H(z) 中 z=1 处极点的重数确定
  • 用终值定理求稳态误差,前提是系统稳定
  • 采样周期也影响稳态误差大小
步骤
  • 求误差脉冲传递函数
  • 数出 z=1 处极点重数确定型别
  • 查表或用终值定理求稳态误差
  • 分析采样周期变化对误差的影响
通用考法
  • 本卷考过用终值定理求单位阶跃作用下的稳态值
  • 求离散系统在典型输入下的稳态误差
  • 由稳态误差要求反求开环增益
  • 分析采样周期对稳态精度的影响
常见易错
  • 直接用 s 域静态误差系数公式处理离散系统
  • 未判稳就用终值定理
公式

7七、非线性系统描述函数分析#

思路
  • 把给定描述函数写成幅值的函数并求其负倒数,在同一复平面上与线性部分的频率特性比较,由交点有无与走向判断系统是否存在自持振荡及运动特性。
描述函数法基础 非线性系统
本卷考法
  • 由给定描述函数分析非线性环节特性
本卷实例
  • 关键一步:把 N(A) 写成输入幅值的函数并求其负倒数
  • 中间结果:负倒描述函数落在负实轴上,随幅值增大而移动
  • 卡点:描述函数只取一次谐波,需线性部分满足低通条件
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
  • 描述函数是输入幅值的函数,与频率无关
  • 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
  • 描述函数法用来判断自振的存在与参数
步骤
  • 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
  • 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
  • 按定义求描述函数 N(A)
  • 与线性部分特性联立判断自振
通用考法
  • 本卷考过由给定描述函数分析非线性环节特性
  • 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
  • 说明描述函数法的适用条件
  • 指出描述函数与频率特性的区别
常见易错
  • 把描述函数当成频率的函数
  • 忽略一次谐波近似带来的误差条件
公式
本卷考法
  • 用负倒描述函数与频率特性判断自振
本卷实例
  • 关键一步:在同一复平面画线性部分频率特性与负倒描述函数曲线
  • 中间结果:两条曲线是否有交点决定系统是否存在自持振荡
  • 卡点:非线性结构图未读图,线性部分的传函需回原卷核对图
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 自振条件为 G(jω)N(A)=-1,即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
  • 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
  • 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
  • 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性
步骤
  • 求线性部分的频率特性 G(jω)
  • 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
  • 在同一复平面上画两条曲线并求交点
  • 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定,读出 ω 与 A
通用考法
  • 本卷考过用负倒描述函数与频率特性判断自振
  • 判断系统是否产生自持振荡
  • 求自振频率与自振幅值
  • 分析参数变化对自振的影响
常见易错
  • 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
  • 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
  • 把交点频率当成截止频率
公式
本卷考法
  • 由两条曲线的相对位置判断运动特性
本卷实例
  • 关键一步:按负倒描述函数上幅值增大的方向判断交点的稳定性
  • 中间结果:交点处两曲线的走向关系决定极限环是否稳定
  • 卡点:只画描述函数而不画负倒描述函数会判错方向
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 非线性系统只有局部稳定性概念,与初始条件有关
  • 极限环的稳定性可由相轨迹收敛或发散判断
  • 减小非线性影响可用加大线性部分增益或引入校正
  • 用描述函数或相平面结果指导参数选择
步骤
  • 判断系统是否存在极限环并确定其稳定性
  • 分析非线性环节参数对自振幅值频率的影响
  • 通过调整线性部分增益或加入校正削弱自振
  • 重新分析确认自振消除或幅值达标
通用考法
  • 本卷考过由两条曲线的相对位置判断运动特性
  • 提出消除自振的工程措施
  • 分析增益变化对极限环幅值的影响
  • 比较不同方案对稳定性与动态性能的利弊
常见易错
  • 仅调整增益而不检查是否引入新的自振点
  • 把不稳定极限环误判为可观测的自振

8八、状态空间能控性、传递函数与全维观测器#

思路
  • 由给定矩阵构造能控性矩阵判别能控性,按状态空间与传递函数的关系求传递函数,反画状态结构图,最后按期望极点设计全维观测器。
能控性与能观性 状态空间分析
本卷考法
  • 用能控性矩阵判别二阶系统的能控性
本卷实例
  • 关键一步:由 A 与 b 构造能控性矩阵并判断其秩
  • 中间结果:能控性矩阵行列式非零时系统能控
  • 卡点:只算到 b 而不乘 A 就下结论会判错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
  • 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
  • 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
  • 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变
步骤
  • 构造能控性矩阵并求秩
  • 构造能观性矩阵并求秩
  • 与系统阶数 n 比较得出结论
  • 不可控或不可观时进一步做结构分解
通用考法
  • 本卷考过用能控性矩阵判别二阶系统的能控性
  • 判断系统的能控性与能观性
  • 求使系统能观的参数取值
  • 对不可控系统进行结构分解
常见易错
  • 只算到 A^{n-2}B 就下结论
  • 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混
公式
本卷考法
  • 由状态空间表达式求传递函数
本卷实例
  • 关键一步:按 C 乘 sI 减 A 的逆再乘 B 的公式展开
  • 中间结果:二阶矩阵的逆按伴随矩阵除以行列式求
  • 卡点:特征多项式的各项与传递函数分母的对应关系易看错
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
  • 传递函数只反映能控能观子系统,含零极点对消
  • 系统的特征值等于传递函数的极点
  • 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一
步骤
  • 计算 (sI-A)^{-1}
  • 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
  • 与已知传递函数比对,判断是否发生零极点对消
通用考法
  • 本卷考过由状态空间表达式求传递函数
  • 由状态空间表达式求传递函数
  • 判断状态空间实现是否存在零极点对消
  • 比较不同实现对应的传递函数是否相同
常见易错
  • 漏掉直接传递项 D
  • 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消
公式
状态空间表达式的建立 状态空间分析
本卷考法
  • 由 A、b、c 矩阵反画状态结构图
本卷实例
  • 关键一步:每个状态变量对应一个积分器,按矩阵系数连接支路
  • 中间结果:A 的非对角元表示两个状态之间的耦合通路
  • 卡点:输出方程只含第一个状态,画图时勿把第二个状态接到输出
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态方程为一阶微分方程组,输出方程是状态与输入的代数关系
  • 状态变量的个数等于系统阶数,选取不唯一
  • 状态空间描述可同时刻画内部状态与外部输出
  • 可处理多输入多输出系统
步骤
  • 确定系统阶数并选取状态变量
  • 列写各状态变量的一阶微分方程
  • 写成矩阵形式 x'=Ax+Bu 与 y=Cx+Du
通用考法
  • 本卷考过由 A、b、c 矩阵反画状态结构图
  • 由物理系统列写状态空间表达式
  • 判断状态变量选取是否合理
  • 写出系统的 A、B、C、D 矩阵
常见易错
  • 状态变量个数与系统阶数不匹配
  • 输出方程中漏掉直接传递项 D
公式
状态观测器设计 状态空间分析
本卷考法
  • 设计全维观测器把极点配置到给定位置
本卷实例
  • 关键一步:先验证能观性,再写误差动态矩阵的特征多项式
  • 中间结果:观测器增益由期望极点多项式与系统特征多项式的系数差给出
  • 卡点:观测器增益阵与状态反馈增益阵的形式不同,容易写反
考点详解(要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错)
要点
  • 状态观测器用输出与输入重构状态,前提是系统能观
  • 极点配置法与龙伯格观测器是两种常用形式
  • 观测器误差动态由 A-LC 的特征值决定
  • 观测器极点通常取得比系统极点快若干倍
步骤
  • 验证系统能观性
  • 写出观测器方程并求误差动态矩阵
  • 按期望特征多项式比较系数求出 L
  • 校验观测器收敛速度是否合适
通用考法
  • 本卷考过设计全维观测器把极点配置到给定位置
  • 设计全维状态观测器
  • 由期望观测器极点求反馈增益阵 L
  • 分析观测器与状态反馈组合后的系统极点
常见易错
  • 把观测器增益阵写成了状态反馈增益阵的形式
  • 忽略观测器极点过快会放大噪声
公式