1一、机械平移系统建模与状态方程#
思路
- 已知质量1、弹簧刚度2、阻尼系数3的平移系统，(1)由牛顿第二定律列写运动微分方程；(2)对微分方程拉氏变换求 X(s)/F(s)；(3)由传函写时间标准型（能控标准型）状态方程。题面以图给出。
机械系统建模
建模与机电系统
本卷考法
- 由弹簧-质量-阻尼系统列写运动微分方程
本卷实例
- 关键一步：分别写出惯性力、阻尼力与弹簧力，按牛顿第二定律求合力
- 中间结果：方程为质量乘加速度加阻尼乘速度加刚度乘位移等于外力
- 卡点：阻尼力与弹簧力方向取反；接法需回原卷核对图
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 依据牛顿第二定律或达朗贝尔原理列方程
- 三种基本元件：质量 m、粘性阻尼 f、弹簧 k
- 同一方向取正，反向取负，逐项列出合力
步骤
- 选定正方向并作受力分析
- 分别写出质量、阻尼、弹簧对应的力
- 按 F=ma 列写运动方程
- 取拉氏变换整理成传递函数
通用考法
- 本卷考过由弹簧-质量-阻尼系统列写运动微分方程
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 两质量块经弹簧阻尼连接的系统建模
常见易错
- 阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 多质量系统漏掉相互作用力的反作用项
公式
由电路或机械系统求传递函数
传递函数
本卷考法
- 由机械系统微分方程求传递函数 X(s)/F(s)
本卷实例
- 关键一步：对微分方程两端作零初始条件拉氏变换
- 中间结果：传函分母为二阶特征多项式，系数由质量、阻尼、刚度组成
- 卡点：忽略零初始条件；把分子写成 s 的多项式
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 电路用复阻抗法：电阻 R、电感 Ls、电容 1/(Cs)
- 机械平移系统三种元件：质量 m、阻尼 f、弹簧 k
- 先列物理定律方程，再消去中间变量
- 列方程的依据：KCL/KVL 或牛顿第二定律
步骤
- 画出复阻抗等效电路或受力分析图
- 按 KVL/KCL 或牛顿第二定律列出微分方程组
- 消去中间变量，得到只含输入输出的方程
- 取拉氏变换并整理成 C(s)/R(s)
通用考法
- 本卷考过由机械系统微分方程求传递函数 X(s)/F(s)
- 给定 RLC 网络求 U_o(s)/U_i(s)
- 弹簧-质量-阻尼系统求位移对力的传递函数
- 含运算放大器的有源网络求传递函数
常见易错
- 复阻抗法把电容阻抗误写成 Cs
- 机械系统阻尼力与弹簧力的正负方向取反
- 运放电路忘记使用虚短与虚断条件
公式
由传递函数写状态空间表达式
状态空间分析
本卷考法
- 由传递函数写时间标准型（能控标准型）状态方程
本卷实例
- 关键一步：把 s² 项系数归一后按能控标准型写 A、B
- 中间结果：A 为友矩阵、末行取负的分母系数，输出取首元素
- 卡点：友矩阵系数符号写反；输出矩阵与状态变量顺序不匹配
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 同一传递函数可对应无穷多个状态空间实现
- 常用能控标准型、能观标准型与对角标准型
- 能控标准型的 A 阵为友矩阵形式
- 最小实现要求系统既能控又能观
步骤
- 把传递函数化为真分式，分离直接项 D
- 按标准型规则写出 A、B、C、D
- 必要时用线性变换换成其他标准型
通用考法
- 本卷考过由传递函数写时间标准型（能控标准型）状态方程
- 由传递函数写出能控标准型
- 由传递函数写出能观标准型
- 判断给定的实现是否为最小实现
常见易错
- 真分式化分时直接项 D 处理错误
- 友矩阵中系数符号写反
公式