1一、正弦信号的采样与 z 变换#
思路
- 求正弦信号的拉氏变换、采样序列、z 变换以及对应的采样函数表达式
采样过程与香农采样定理
离散控制系统
本卷考法
- 写出给定采样周期下的采样序列与采样函数表达式
本卷实例
- 关键一步：把连续时间代入采样时刻的整数倍，得到以采样序号为自变量的序列
- 关键一步：采样函数是序列与冲激串的乘积，写出来就是把每个采样值乘以对应时刻的冲激
- 关键一步：采样周期的取值决定序列的书写形式，本题代入后可直接写出含常数角度的正弦序列
- 中间结果：采样周期与信号的角频率相乘得到序列里每个样点之间的相位增量
- 卡点：把采样序号与采样时刻混用；或采样函数里漏掉冲激串
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- 采样把连续信号变成脉冲序列，采样周期 T 是关键参数
- 采样定理要求采样频率不低于信号最高频率的两倍
- 采样频率不足会产生频率混叠
- 零阶保持器把离散信号恢复为连续信号，并引入半个采样周期的延迟
步骤
- 确定信号最高频率或系统带宽
- 按采样定理确定采样频率与采样周期上限
- 必要时加入前置滤波器抑制混叠
通用考法
- 本卷考过写出给定采样周期下的采样序列与采样函数表达式
- 由信号最高频率确定采样周期
- 判断给定采样频率是否满足采样定理
- 说明零阶保持器的频率特性
常见易错
- 把采样定理写成采样周期不大于信号周期即可
- 忽略零阶保持器带来的相位滞后
公式
z 变换与 z 反变换
离散控制系统
本卷考法
- 求采样序列的 z 变换
本卷实例
- 关键一步：先写出采样序列的通项，再套用标准正弦与余弦序列的 z 变换公式
- 关键一步：把指数形式拆成共轭两项相加，可以避免记错公式的分子形式
- 关键一步：结果的分母是二次的，其根就是 z 平面上的极点，可用极点位置核对收敛域
- 中间结果：采样周期代入后指数项变成常数，z 变换的分母系数就由这些常数确定
- 卡点：把连续信号的拉氏变换当成 z 变换；或忘记采样周期与角频率相乘这一步
考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）
要点
- z 变换是离散信号的拉氏变换，令 z=e^{Ts} 得到
- 常用函数的 z 变换要熟记
- z 反变换可用部分分式法、幂级数法或留数法
- 左半 s 平面映射到 z 平面单位圆内
步骤
- 将连续传递函数展开为部分分式
- 逐项查表做 z 变换
- 需要时做 z 反变换求时间序列
通用考法
- 本卷考过求采样序列的 z 变换
- 求给定函数的 z 变换
- 求 z 反变换得到采样序列
- 说明 s 平面与 z 平面的映射关系
常见易错
- 把 z 变换结果中的 e^{-aT} 写成 e^{-a}
- 部分分式分解时漏项导致反变换出错
公式