浙江大学 845 自动控制理论（含现控） 2024 年真题思维导图

大纲导图全屏

难度：难　10 题各 15 分共 150 分，逐年每题均印分值；从反馈极性、稳态误差、采样系统稳定域、参数根轨迹、幅值裕度、离散稳定域到能控性证明、状态反馈、描述函数与李雅普诺夫法，覆盖面极广且多题跨模块

板块 考点 全部 ＋ － 适应

点击节点展开/折叠　·　滚轮缩放　·　拖拽平移

控制考研哪家强，万人教育来领航
28考研交流群：1104923352
B站账号：控制考研阿祖

一一、由阶跃响应判反馈极性#

思路

• 由两种单位阶跃响应形态反推两处反馈极性：输出收敛对应负反馈，振荡发散对应正反馈

串联、并联与反馈等效 结构图与方框图

本卷考法

• 由输出的收敛或发散反判两处反馈的极性
• 按两种接法分别写出闭环传递函数与特征方程

本卷实例

• 关键一步：对主、副反馈的每种极性组合列出闭环特征方程，再比较特征根实部符号
• 中间结果：均为负反馈时特征式各项系数同号，二阶系统稳定
• 中间结果：任一反馈极性反转会改变特征式一次项符号
• 卡点：只凭输出曲线形状下结论，未回代特征方程验证极性
• 卡点：结构图与响应图均以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 串联环节相乘，并联环节相加（同向）或相减（反向）
• 负反馈等效为 G/(1+GH)，正反馈为 G/(1-GH)
• 反馈等效的前提是单回路、无交叉

步骤

• 识别环节之间的连接方式
• 分别套用串联、并联或反馈等效公式
• 逐层化简直到只剩一个等效环节

通用考法

• 本卷考过由输出的收敛或发散反判两处反馈的极性
• 本卷考过按两种接法分别写出闭环传递函数与特征方程
• 多环节系统求闭环传递函数
• 判断反馈极性对分母符号的影响

常见易错

• 把负反馈的分母写成 1-GH
• 并联环节相减时符号取反

公式

二二、输入与扰动稳态误差#

思路

• 由结构图列闭环误差传函，用终值定理分别求输入与扰动稳态误差，再选增益使两者同时较小

典型输入下的稳态误差计算 稳态误差

本卷考法

• 单位阶跃输入下由误差传函求稳态误差

本卷实例

• 关键一步：先判闭环稳定，再由误差传函用终值定理求 s 趋于零的极限
• 中间结果：误差传函分母与闭环特征多项式相同，分子由回路结构决定
• 卡点：未先判稳就套终值定理，算出的稳态误差无意义
• 卡点：回路接法以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 稳态误差由系统型别与输入类型共同决定
• 0 型对阶跃有差、Ⅰ型对斜坡有差、Ⅱ型对加速度有差
• 低型别系统对高阶输入的误差为无穷大

步骤

• 判断系统型别并联立稳定性检查
• 写出输入信号的拉氏变换
• 用终值定理求 e_ss，或直接查表
• 必要时按叠加原理分别计算各分量

通用考法

• 本卷考过单位阶跃输入下由误差传函求稳态误差
• 求给定输入下的稳态误差
• 由稳态误差要求反求开环增益
• 比较不同型别系统的跟踪能力

常见易错

• 未判稳就使用终值定理
• 输入为组合信号时漏掉某一分量
• Ⅰ型系统求阶跃误差时误代入速度误差公式

公式

扰动作用下的稳态误差 稳态误差

本卷考法

• 求扰动作用下的稳态误差

本卷实例

• 关键一步：求扰动误差时把参考输入置零，单独列扰动到误差的通道
• 中间结果：扰动误差传函的分子由反馈通道的传递函数构成
• 卡点：把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入引起的分量

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 扰动误差与输入误差必须分开计算再叠加
• 扰动误差取决于扰动作用点到误差点的传递函数
• 增大扰动点前的增益可减小扰动误差

步骤

• 令参考输入为零，求扰动到误差的传递函数
• 代入扰动信号求稳态值
• 与输入引起的误差叠加

通用考法

• 本卷考过求扰动作用下的稳态误差
• 求扰动引起的稳态误差
• 比较扰动与输入对误差的不同影响
• 分析提高前向增益的作用

常见易错

• 把扰动误差直接当作总误差，遗漏输入分量
• 求扰动传函时没有把参考输入置零

公式

减小稳态误差的措施 稳态误差

本卷考法

• 调整两个增益使输入与扰动稳态误差同时较小

本卷实例

• 关键一步：把两项误差的绝对值之和写成两个增益的函数，再求偏导为零的驻点
• 中间结果：驻点解出后要回代稳定条件筛选，剔除使系统不稳定的组合
• 卡点：只求驻点不做稳定性筛选，选到不可用的增益组合

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 提高开环增益可减小有差系统的误差，但会削弱稳定性
• 增加积分环节可提高型别，代价是相位滞后与超调增大
• 采用复合控制或前馈补偿可在不影响稳定性的前提下减小误差
• 采用扰动补偿可提高扰动不变性

步骤

• 判断误差来源是输入型别不足还是增益太小
• 按需选择提高增益、增加积分或加入补偿器
• 校验补偿后系统仍然稳定
• 重新计算稳态误差确认达标

通用考法

• 本卷考过调整两个增益使输入与扰动稳态误差同时较小
• 分析提高开环增益对误差与稳定性的双重影响
• 设计前馈补偿器实现给定信号不变性
• 说明为何单纯提高增益不可行

常见易错

• 只谈误差减小而不检查稳定性是否被破坏
• 把增加积分环节的影响单一化，忽略超调

公式

三三、采样系统稳定采样周期#

思路

• 先由超调量与调节时间反求二阶参数，再引入采样开关与零阶保持器，用朱利判据定采样周期上界

由性能指标要求反求参数 时域响应与动态性能

本卷考法

• 由超调量和调节时间反求二阶系统参数

本卷实例

• 关键一步：超调量只由阻尼比决定，先反解阻尼比，再由调节时间确定自然频率
• 中间结果：调节时间按百分之二误差带取系数，得阻尼比与自然频率之积
• 卡点：百分之二与百分之五误差带的调节时间系数混用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 超调量要求给出 ξ 的下界，调节时间要求给出 ξωn 的下界
• 多个指标同时给出时需求参数可同时满足的公共区域
• 指标之间往往相互制约，需权衡取舍

步骤

• 把每个指标要求翻译成对 ξ 或 ωn 的不等式
• 在参数平面上画出各不等式的可行域
• 取交集并选取合适的参数值
• 回代验证全部指标是否满足

通用考法

• 本卷考过由超调量和调节时间反求二阶系统参数
• 由超调量和调节时间要求设计开环增益与阻尼
• 求满足指标要求的参数取值范围
• 判断给定指标组合是否可实现

常见易错

• 只满足单项指标就下结论，未做交叉验证
• 把 ξ 的可行域方向取反

公式

脉冲传递函数 离散控制系统

本卷考法

• 求含零阶保持器的开环脉冲传递函数

本卷实例

• 关键一步：把连续部分部分分式展开后逐项查 z 变换表，再乘一减 z 的负一次幂
• 中间结果：脉冲传函分母出现 z 减一与 z 减指数衰减因子两个极点
• 卡点：部分分式展开漏项，脉冲传函的极点写错
• 卡点：采样开关位置以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 脉冲传递函数是零初始条件下输出与输入 z 变换之比
• 连续环节串联时若中间没有采样开关，不能直接相乘
• 闭环脉冲传递函数的写法取决于采样开关的位置
• G(z)=Z[G(s)] 中的保持器要一并计入

步骤

• 确定采样开关位置并画出离散化结构图
• 对包含保持器的连续部分整体做 z 变换
• 按串并联或反馈等效写出脉冲传递函数

通用考法

• 本卷考过求含零阶保持器的开环脉冲传递函数
• 求开环或闭环脉冲传递函数
• 比较不同采样开关位置对结果的影响
• 由连续传递函数求脉冲传递函数

常见易错

• 把两个无采样开关隔开的连续环节直接相乘
• 忘记把零阶保持器计入 G(z)

公式

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 用朱利判据求使离散系统稳定的采样周期范围

本卷实例

• 关键一步：写出闭环特征多项式后逐条代入朱利判据的稳定条件
• 中间结果：稳定条件化为采样周期的不等式，得到其上界
• 卡点：离散系统判据用特征根模小于一，勿套实部小于零

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过用朱利判据求使离散系统稳定的采样周期范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

四四、以1/a为参数的根轨迹#

思路

• 由状态方程求特征方程，把含参数的项移到一侧化为根轨迹标准形式，再按参数根轨迹法则绘图

广义根轨迹与参数根轨迹 根轨迹法

本卷考法

• 以状态方程中某系数为参数绘制根轨迹

本卷实例

• 关键一步：先展开状态矩阵的特征多项式，把含参数项整理成等效开环传函
• 中间结果：等效开环的零点极点由不含参数的多项式之比决定
• 卡点：未把参数完整提到分子，等效开环形式写错

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 可变参数不是开环增益时称为参数根轨迹
• 方法是用等效开环传递函数把参数提到标准位置
• 正反馈系统或零度根轨迹的相角条件是 0°+360°l

步骤

• 把特征方程整理成 1+αG*(s)=0 的形式
• 把 α 以外部分视为等效开环传递函数
• 按常规根轨迹法则绘制
• 注意相角条件是否变成 0°

通用考法

• 本卷考过以状态方程中某系数为参数绘制根轨迹
• 以时间常数或其他参数为变量绘制根轨迹
• 绘制正反馈系统的零度根轨迹
• 比较零度与 180 度根轨迹的差别

常见易错

• 整理时没有把参数完整地提到分子位置
• 零度根轨迹仍沿用 180° 相角条件

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态方程求系统特征方程

本卷实例

• 关键一步：特征方程为状态矩阵的 sI 减 A 的行列式，先展开成多项式
• 中间结果：展开后含参数项与不含参数项可分离
• 卡点：行列式展开时符号写错，特征方程多一个负号

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态方程求系统特征方程
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

五五、临界增益与幅值裕度#

思路

• 先由临界的幅值条件求最大增益，再取一半增益处的相角交越频率算幅值裕度

稳定裕度 频域分析

本卷考法

• 求给定开环增益下的幅值裕度

本卷实例

• 关键一步：先由相角等于负一百八十度求相角交越频率，再算该频率处幅值的倒数
• 中间结果：幅值裕度以分贝表示为负二十倍对数幅值
• 卡点：增益交越频率与相角交越频率用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 相角裕度 γ 在幅值穿越频率 ωc 处定义，γ=180°+∠G(jωc)
• 幅值裕度 Kg 在相位穿越频率 ωg 处定义，单位可为分贝
• γ>0 且 Kg>1 时闭环稳定（最小相位系统）
• γ 主要影响超调，ωc 主要影响响应速度

步骤

• 由幅频特性求 |G|=1 对应的穿越频率 ωc
• 由相频特性求 ∠G=-180° 对应的频率 ωg
• 分别代入公式求相角裕度与幅值裕度
• 由裕度符号判断稳定性

通用考法

• 本卷考过求给定开环增益下的幅值裕度
• 求系统的相角裕度与幅值裕度
• 由裕度要求反求开环增益
• 分析增益变化对裕度的影响

常见易错

• 把 ωc 与 ωg 两个频率用反
• 幅值裕度取倒数未取，导致结论反了
• 非最小相位系统仍用同一判据

公式

劳斯判据 稳定性分析

本卷考法

• 由临界稳定条件求最大开环增益

本卷实例

• 关键一步：令幅频特性等于一对应临界增益，或令劳斯表首列边界为零求解
• 中间结果：临界增益与两个转折频率的乘积成反比关系
• 卡点：把临界增益直接当成稳定域上界使用

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 特征方程各项系数全为正只是必要条件，不充分
• 劳斯表首列元素全部同号 ⇔ 系统稳定
• 首列符号变化次数等于右半平面闭环极点数
• 首列出现 0 时需用 ε 法或乘辅助多项式处理

步骤

• 写出闭环特征方程并整理成降幂排列
• 若某次幂系数缺项，该项补零
• 列劳斯表：前两行为系数，之后各行按交叉相减
• 检查首列符号：全同号则稳定，有变号则数出个数

通用考法

• 本卷考过由临界稳定条件求最大开环增益
• 判断给定系统的稳定性
• 指出右半平面闭环极点的个数
• 求使系统稳定的参数范围

常见易错

• 系数有缺项时不补零，直接套用判据
• 首列出现 0 后仍按常规继续算，未用 ε 法

公式

六六、离散二阶系统稳定域#

思路

• 写出二阶离散特征方程后套朱利判据，把稳定条件化为两个系数的不等式并在平面上画稳定域

离散系统稳定性分析 离散控制系统

本卷考法

• 求二阶离散系统稳定的系数取值范围

本卷实例

• 关键一步：对特征多项式逐条列朱利判据，得到三个不等式
• 中间结果：稳定域是以原点为中心的三角形区域，由三条直线围成
• 卡点：漏掉取绝对值的那条条件，稳定域判宽

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环脉冲传函的极点全部位于 z 平面单位圆内则稳定
• 可直接求解特征根，也可用朱里判据或 w 变换后套劳斯判据
• w 变换把单位圆内映射到左半平面
• 采样周期增大会使稳定性变差

步骤

• 写出闭环脉冲传递函数的特征方程
• 选择方法：求根、朱里判据或 w 变换后用劳斯判据
• 对含参数的系统求使稳定成立的参数范围
• 必要时分析采样周期对稳定域的影响

通用考法

• 本卷考过求二阶离散系统稳定的系数取值范围
• 判断离散系统是否稳定
• 求使系统稳定的采样周期或增益范围
• 用 w 变换后套用劳斯判据

常见易错

• 把稳定条件写成实部小于零而不是模小于 1
• w 变换公式记错导致映射关系颠倒

公式

离散系统的动态性能与极点分布 离散控制系统

本卷考法

• 由系数范围说明闭环极点在 z 平面的分布

本卷实例

• 关键一步：稳定条件等价于两个特征根都落在单位圆内
• 中间结果：区域边界对应特征根落在单位圆上
• 卡点：把 z 平面极点当作 s 平面极点直接读阻尼比

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 闭环极点在 z 平面上的位置决定响应形式
• 极点越靠近原点衰减越快，越靠近单位圆振荡越强
• 极点的幅角决定振荡频率，幅值决定衰减速度
• 采样周期增大会使动态性能变差甚至不稳定

步骤

• 求闭环脉冲传递函数的极点
• 按极点在单位圆内的位置判断响应形式
• 由极点的模与幅角估算衰减与振荡频率
• 与连续系统指标对应关系相互校验

通用考法

• 本卷考过由系数范围说明闭环极点在 z 平面的分布
• 由闭环极点分布判断动态性能
• 与连续域指标互相换算
• 说明采样周期对动态性能的影响

常见易错

• 把 z 平面极点当作 s 平面极点直接读阻尼比
• 忽略单位圆上极点对应等幅振荡

公式

七七、能控充要条件的证明#

思路

• 从左特征向量的正交性出发，证明能控性矩阵行向量线性相关与系统能控等价

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 证明系统能控的充要条件与左特征向量正交性等价

本卷实例

• 关键一步：反设存在与输入向量正交的左特征向量，用它左乘能控性矩阵
• 中间结果：利用左特征向量关系可得每一项为零，能控性矩阵行相关
• 卡点：把左特征向量写成右特征向量，正交性关系用反

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过证明系统能控的充要条件与左特征向量正交性等价
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

八八、状态反馈控制器设计#

思路

• 由状态方程与期望闭环传函确定期望极点，验证能控后用状态反馈配置极点

状态反馈与极点配置 状态空间分析

本卷考法

• 按期望闭环传函配置状态反馈极点

本卷实例

• 关键一步：由期望闭环传函的分母定出期望极点，再写出期望特征多项式
• 中间结果：闭环特征多项式含三个反馈增益，与期望多项式逐项比对
• 卡点：未验证能控性就直接配置极点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 状态反馈 u=-Kx+v 可任意配置闭环极点，前提是系统完全能控
• 状态反馈不改变系统的零点
• 极点配置通过比较期望与实际的闭环特征多项式求解 K
• 状态反馈可能改变能观性

步骤

• 先验证系统能控
• 写出希望配置的极点并求期望特征多项式
• 求闭环系统特征多项式 det(sI-A+BK)
• 比较系数解出反馈增益阵 K

通用考法

• 本卷考过按期望闭环传函配置状态反馈极点
• 设计状态反馈使闭环极点位于指定位置
• 判断给定极点是否可通过状态反馈配置
• 分析状态反馈对系统性能的影响

常见易错

• 未验证能控性就直接做极点配置
• 特征多项式比较系数时符号写反

公式

状态空间与传递函数的关系 状态空间分析

本卷考法

• 由状态空间求原系统传递函数

本卷实例

• 关键一步：先求原系统的开环传函，再看其极点与期望闭环极点的关系
• 中间结果：原传函的极点与期望闭环极点不同，需靠反馈移动
• 卡点：分子的零点不随状态反馈改变，配置时只盯极点

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 由状态空间求传递函数为 C(sI-A)^{-1}B+D
• 传递函数只反映能控能观子系统，含零极点对消
• 系统的特征值等于传递函数的极点
• 同一传递函数对应的状态空间实现不唯一

步骤

• 计算 (sI-A)^{-1}
• 按公式求 G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D
• 与已知传递函数比对，判断是否发生零极点对消

通用考法

• 本卷考过由状态空间求原系统传递函数
• 由状态空间表达式求传递函数
• 判断状态空间实现是否存在零极点对消
• 比较不同实现对应的传递函数是否相同

常见易错

• 漏掉直接传递项 D
• 把特征值个数与传递函数极点数直接等同而不检查对消

公式

能控性与能观性 状态空间分析

本卷考法

• 用能控性判据验证极点可任意配置

本卷实例

• 关键一步：计算能控性矩阵的秩并与系统阶数比较
• 中间结果：能控性矩阵满秩，极点可任意配置
• 卡点：只算到矩阵前两列就下结论

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 能控性指能否用输入在有限时间内把任意初始状态驱动到原点
• 能观性指能否由输出在有限时间内确定初始状态
• 用能控性矩阵与能观性矩阵的秩判断
• 能控性与能观性经非奇异线性变换保持不变

步骤

• 构造能控性矩阵并求秩
• 构造能观性矩阵并求秩
• 与系统阶数 n 比较得出结论
• 不可控或不可观时进一步做结构分解

通用考法

• 本卷考过用能控性判据验证极点可任意配置
• 判断系统的能控性与能观性
• 求使系统能观的参数取值
• 对不可控系统进行结构分解

常见易错

• 只算到 A^{n-2}B 就下结论
• 把能控性判据与能观性判据的矩阵构造搞混

公式

九九、描述函数法求自振#

思路

• 按描述函数定义对非线性环节作一次谐波近似，再与线性部分频率特性联立求自振振幅与频率

用描述函数法分析自振 非线性系统

本卷考法

• 用描述函数法求自激振荡的振幅与频率并判稳定性

本卷实例

• 关键一步：画线性部分的频率特性与非线性环节的负倒描述函数曲线，求交点
• 中间结果：交点给出振荡频率和输入振幅，需按振幅增大方向判稳定性
• 卡点：未沿振幅增大方向判断，把不稳定自振点当成稳定自振
• 卡点：非线性特性以图给出，需回原卷核对图

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 自振条件为 G(jω)N(A)=-1，即线性部分特性与负倒描述函数曲线相交
• 交点给出自振频率 ω 与自振幅值 A
• 负倒描述函数曲线上幅值增大的方向决定自振是否稳定
• 交点处两条曲线的走向关系决定极限环稳定性

步骤

• 求线性部分的频率特性 G(jω)
• 求非线性环节的负倒描述函数 -1/N(A) 并确定 A 的增大方向
• 在同一复平面上画两条曲线并求交点
• 由交点处的走向判断自振是否存在且稳定，读出 ω 与 A

通用考法

• 本卷考过用描述函数法求自激振荡的振幅与频率并判稳定性
• 判断系统是否产生自持振荡
• 求自振频率与自振幅值
• 分析参数变化对自振的影响

常见易错

• 画的是 N(A) 而不是负倒描述函数 -1/N(A)
• 未标注 A 的增大方向就判断稳定性
• 把交点频率当成截止频率

公式

描述函数法基础 非线性系统

本卷考法

• 求给定非线性环节的描述函数

本卷实例

• 关键一步：先判断非线性特性是否为奇函数，再按定义积分求基波分量
• 中间结果：奇对称特性的描述函数为实数，只含正弦项
• 卡点：把描述函数当成频率的函数，实际只与输入振幅有关

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 描述函数是非线性环节在正弦输入下的等效复放大倍数
• 描述函数是输入幅值的函数，与频率无关
• 只适用于非线性环节输入近似为正弦、线性部分具有低通滤波特性的系统
• 描述函数法用来判断自振的存在与参数

步骤

• 写出非线性环节在正弦输入下的输出表达式
• 取输出的一次谐波分量求基波幅值与相位
• 按定义求描述函数 N(A)
• 与线性部分特性联立判断自振

通用考法

• 本卷考过求给定非线性环节的描述函数
• 求饱和、死区、继电特性等典型非线性的描述函数
• 说明描述函数法的适用条件
• 指出描述函数与频率特性的区别

常见易错

• 把描述函数当成频率的函数
• 忽略一次谐波近似带来的误差条件

公式

十十、李雅普诺夫法判稳#

思路

• 先求平衡点，再构造二次型李雅普诺夫函数，按参数符号分类讨论平衡点的稳定性

李雅普诺夫稳定性分析 状态空间分析

本卷考法

• 用李雅普诺夫第二法判断平衡点的稳定性

本卷实例

• 关键一步：先令状态导数等于零求平衡点，再构造正定二次型函数并求其沿轨线的导数
• 中间结果：导数化为平方和乘以参数，按参数大于、等于、小于零分三种情况讨论
• 卡点：参数等于零时导数恒为零，需另用线性化或相平面法补充判断

考点详解（要点 / 步骤 / 公式 / 考法 / 易错）

要点

• 第一法通过线性化系统的特征值判断原系统的局部稳定性
• 第二法用李雅普诺夫函数直接判断稳定性，无需解方程
• 李雅普诺夫函数正定且其导数为负定则渐近稳定
• 线性定常系统中李雅普诺夫方程有正定解等价于系统稳定

步骤

• 选取或构造李雅普诺夫函数
• 沿系统轨迹求其对时间的导数
• 判断函数与导数的正负定性
• 据此得出稳定性结论

通用考法

• 本卷考过用李雅普诺夫第二法判断平衡点的稳定性
• 用李雅普诺夫方程判断系统稳定性
• 构造李雅普诺夫函数证明渐近稳定
• 分析非线性系统的稳定性范围

常见易错

• 李雅普诺夫方程中 P、Q 的角色混用
• 只判断 V 正定就下结论而未检查导数

公式